《必修2：圆的标准方程》教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长分钟2课时知识点圆的标准方程和一般方程 ,求圆的方程的一般方法教学目标会用待定系数法求圆的方程教学重点求圆的方程教学难点选取适当的圆的方程【教学建议】圆的方程是在直线的根底上进一步让学生建立方程研究几何图形性质的思想。充分调动学生学习数学的热情 ,激发学生自主探究问题的兴趣。【知识导图】教学过程一、导入1.如何写出圆心在原点 ,半径为的圆的方程？2.如果圆心在 ,半径为时又如何呢？3.把圆的方程化简之后形式如何？4.这种化简之后的形式有没有限制条件？二、知识讲解考点1 圆的标准方程方程xa)2(yb)2r2 叫做以为圆心 ,为半径的圆的标准

2、方程。特别地 ,当圆心在原点 ,半径为r时 ,圆的标准方程为：x2+y2=r2.注：圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见 ,要确定圆的方程 ,只需确定a、b、r这三个独立变量即可。考点2 圆的一般方程把x2y2DxEyF=0配方得： (1)当D2E24F0时 ,方程表示以 ,为圆心,为半径的圆。2当D2E24F=0时 ,方程只有实数解 ,即只表示一个点 ,。3当D2E24F<0时时 ,方程没有实数解 ,因而它不表示任何图形综上所述 ,方程x2y2DxEyF=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2E24F0时 ,它表示的曲线才是圆。我们把形如x2y2DxEyF=0 (D2E24F0)的方

3、程称为圆的一般方程 ,其特点为：x2和y2的系数相同且为1;没有含xy的二次项D2E24F0.三 、例题精析例题1类型一 求圆的方程在平面直角坐标系中 ,记二次函数与两坐标轴有三个交点经过三个交点的圆记为1求实数的取值范围；2求圆的方程；3问圆是否经过定点其坐标与的无关？请证明你的结论【解析】1令 ,得抛物线于轴的交点是令 ,得 ,由题意且 ,解得且2设所求圆的一般方程为令 ,得 ,这与是同一个方程 ,故 ,令 ,得 ,此方程有一个根为 ,代入得所以圆的方程为3圆必过定点 ,证明如下：将代入圆的方程 ,得左边 ,右边所以圆必过定点；同理可证圆C必过定点.【总结与反思】1.确定圆的方程的主要方法

4、是待定系数法 ,即列出关于的方程组 ,求或直接求出圆心和半径.2.待定系数法求圆的步骤：（1） 根据题意设所求的圆的标准方程为；（2） 根据条件 ,建立关于的方程组；（3） 解方程组 ,求出的值 ,并代入所设的方程 ,得到圆的方程.例题2 线段的端点的坐标是 ,端点在圆上运动 ,求线段的中点的轨迹方程.【解析】设点M的坐标为x ,y ,点A的坐标为x0 ,y0由于点B的坐标是4 ,3 ,且点M是线段AB的中点 ,所以 ,于是有 , 因为点A在圆上运动 ,所以点A的坐标满足方程即 把代入得整理得所以 ,点M的轨迹方程为。【总结与反思】 方程中含有三个参变数 ,因此必须具备三个

5、独立的条件 ,才能确定一个圆 ,还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.四、课堂运用根底1. 圆经过点 ,圆心在点的圆的标准方程.2. 判断以下二元二次方程是否表示圆的方程？如果是 ,请求出圆的圆心及半径.3. 写出圆心为 ,半径长为5的圆的方程 ,并判断点是否在这个圆上.4. 的三个顶点的坐标是 ,求它的外接圆的方程.5.求以为圆心 ,并且和直线相切的圆的方程.答案与解析1【解析】 (x-8)2 + (y+3)2 = 252【解析】1是圆,圆心为(1/2,-3/2),半径为1/2 2不是圆.3【解析】 ,点M1在圆上 ,点M2不在圆上4【解析】x-22+y+32=25256255【解析】

6、(x-1)2+(y-3)2=稳固1. 圆关于关于原点对称的圆的方程 .2. 过点向圆所引的切线方程 .3.过点 ,圆心在轴上的圆的方程是 .4. 求过三点的圆的方程 ,并求这个圆的半径长和圆心坐标.5. 一个圆的直径端点是 ,试求此圆的方程 .答案与解析1【解析】x-22+y2=5 2【解析】x=2或3x-4y+10=03【解析】x-22+y2=104【解析】圆心坐标为4 ,-3圆的半径r=5圆的标准方程为：x-42+y+32=255【解析】(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0拔高1. 圆的圆心在直线上 ,且与直线切于点 ,求圆的标准方程.2. 圆 求：过点的切线方程. 过点

7、的切线方程3. 设直线和圆相交于 ,求弦的垂直平分线方程. 4. 求经过点且与直线相切于点的圆的方程. 5.根据以下条件 ,求圆的方程：(1)经过P(2,4)、Q(3 ,1)两点 ,并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y4x上 ,且与直线l：xy10相切于点P(3 ,2)答案与解析1【解析】x-12+y+22=22【解析】14x-3y-25=0221x-20y+145=0或x=-53【解析】3x-2y-3=04【解析】x2+y2-11x+3y-30=05【解析】(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0 ,将P、Q点的坐标分别代入得又令y0 ,得x2DxF0.设x1 ,x2是方程的两根

8、,由|x1x2|6有D24F36 ,由、解得D2 ,E4 ,F8 ,或D6 ,E8 ,F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80 ,或x2y26x8y0.(2)方法一如图 ,设圆心(x0 ,4x0) ,依题意得1 ,x01 ,即圆心坐标为(1 ,4) ,半径r2 ,故圆的方程为(x1)2(y4)28.方法二设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2 ,根据条件得.因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.五、课堂小结一方法规纳利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.比拟点到圆心的距离与半径的大小 ,能得出点与圆的位置关系.借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时 ,可大大化简计算的过程与难度.二圆的标

9、准方程的两种求法：根据题设条件 ,列出关于的方程组 ,解方程组得到得值 ,写出圆的标准方程.根据确定圆的要素 ,以及题设条件 ,分别求出圆心坐标和半径大小 ,然后再写出圆的标准方程.三待定系数法是数学中常用的一种方法 ,在以前也已运用过.例如：由条件确定二次函数 ,利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用 ,要求熟练掌握.四.使用待定系数法的一般步骤：根据题意 ,选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于或的方程组；解出或 ,代入标准方程或一般方程.六、课后作业根底1 假设直线axby1与圆x2y21相交 ,那么P(a ,b)和圆的关系为_2 圆C：x2y2

10、mx40上存在两点关于直线xy30对称 ,那么实数m的值为_3 圆的半径为2 ,圆心在x轴的正半轴上 ,且与直线3x4y40相切 ,那么圆的方程是_4 圆x2y22x4ya0关于直线y2xb成轴对称 ,那么ab的取值范围是_5假设PQ是圆O：x2y29的弦 ,PQ的中点是M(1,2) ,那么直线PQ的方程是_答案与解析1【解析】由条件<1 ,即a2b2>1.因此点P(a ,b)在圆外2【解析】圆上存在关于直线xy30对称的两点 ,那么xy30过圆心 ,即30 ,m6.3【解析】设圆心为C(m,0) (m>0) ,因为所求圆与直线3x4y40相切 ,所以2 ,整理得：|3m4|

11、10 ,解得m2或m(舍去) ,故所求圆的方程为(x2)2y24.4【解析】圆的方程化为(x1)2(y2)25a ,其圆心为(1,2) ,且5a>0 ,即a<5.又圆关于直线y2xb成轴对称 ,22b ,b4.aba4<1.5【解析】由圆的几何性质知kPQkOM1.kOM2 ,kPQ ,故直线PQ的方程为y2(x1) ,即x2y50.稳固1过原点的直线与圆相交所得弦的长为 ,那么该直线的方程为_2圆内一点 ,过点的直线的倾斜角为 ,直线交圆于两点(1)当时 ,求AB的长；(2)当弦被点平分时 ,求直线的方程2. AC、BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦 ,垂足为M(1

12、,) ,那么四边形ABCD的面积的最大值为_3. 圆C和直线x6y100相切于点(4 ,1) ,且经过点(9,6) ,求圆C的方程5圆C通过不同的三点P(k,0) ,Q(2,0) ,R(0,1) ,圆C在点P处的切线斜率为1 ,试求圆C的方程答案与解析1【解析】圆的方程化为标准形式为 ,又相交所得弦长为 ,故相交弦为圆的直径 ,由此得直线过圆心 ,故所求直线方程为.2【解析】(1)(2) .3【解析】如图 ,取AC的中点F ,BD的中点E ,那么OEBD ,OFAC.又ACBD ,四边形OEMF为矩形 ,设OFd1 ,OEd2 ,ddOM23.又AC2 ,BD2 ,S四边形ABCDAC

13、3;BD2·2.0d3.当d时 ,S四边形ABCD有最大值是5.4【解析】因为圆C和直线x6y100相切于点(4 ,1) ,所以过点(4 ,1)的直径所在直线的斜率为6 ,其方程为y16(x4) ,即y6x23.又因为圆心在以(4 ,1) ,(9,6)两点为端点的线段的中垂线 ,即5x7y500上 ,由解得圆心坐标为(3,5) ,所以半径为 ,故所求圆的方程为(x3)2(y5)237.5【解析】设圆C的方程为x2y2DxEyF0 ,那么k、2为x2DxF0的两根 ,k2D,2kF ,即D(k2) ,F2k ,又圆过R(0,1) ,故1EF0.E2k1.故所求圆的方程为x2y2(k2)

14、x(2k1)y2k0 ,圆心坐标为.圆C在点P处的切线斜率为1 ,kCP1 ,k3.D1 ,E5 ,F6.所求圆C的方程为x2y2x5y60.拔高1 直线与圆相切 ,那么实数_2 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为_3 实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值4.设定点M(3,4) ,动点N在圆x2y24上运动 ,以OM、ON为两边作平行四边形MONP ,求点P的轨迹答案与解析1【解析】2【解析】3【解析】(1)原方程化为(x2)2y23 ,表示以点(2,0)为圆心 ,以为半径的圆设k ,即ykx ,当直线ykx与圆相切时 ,斜率k取最大值和最小值 ,此时 ,解得k±.故的最大值为 ,最小值为. (2)设