5圆中最值问题

1、五、圆中最值问题1、（ 2014安顺）如图，MN是半径为1的O的直径, 是直径MN上一个动点，贝U PA+PB的最小值为（）点A在0上，中点，点P / AMN=30 , B为AN弧的A. 22 B. 2 C.1 D.22、( 2014东营)在O O中,AB是O O的直径,AB=8cm, AC 二 CD 二 BD , M 是 AB 上动点，CM+DI的最小值是cm.1题3、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（-4,0）、B（0,4）,坐标原点），点P在直线AB上，过点P作O 0的一条切线PQ Q为切点,则切线长PQ的最小值为4、（2014张家界）如图，AB CD是半径为5的0 0的

2、两条弦,H3 .翔4题AB=8 CD=6 MN是直径，AB _L MN于点E, CDL MN于点F, P为EF上的任意一点，贝U PA+PC勺最小值 为5、已知：如图,2SABC内接于O 0,0H _L AC于H / B=30 ° ,过A点的直线与0C的延长线交于点 D / CAD=30 ,AD=10Q (1) 求证：AD 是 OO 的切线;若E为OO上一动点，连接AE交直线0D于点P,问：是否存在点P,使得PA+PH的值最小?若存在求PA+PH勺最小值；若不存在，说明理由。6、（2015?安徽）在O 0中，直径 AB=6 BC 是弦，/PQABC=30，点上，且 OPLP在BC上，

3、点Q在0 a（1）如图1,当PQ/ AB时，求PQ的长度；（2）如图2,当点P在BC上移动时，求长的最大值.PQ答案1、考点：圆周角定理，垂径定理，轴对称 分 析：过A作关于直线MN的对称点A ,最小值, 由对称的性质可知AN=AN ,再由圆周角定理 可求出/ A ON-最短路线问题Q连接A B,由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的B,由轴对称的性质可知A B即为的度数，再由勾股定理即可求解.解答：过A作关于直线MN的对称点A,连接APA+PB的最小值，连接 OB 0A" , AA" , ?/ AA 关于直线 MN 对称，？?N =AN ,?/ AMN=30 ,?/ ON

4、=60/ BON=30AOB=90在 RtAA OB 中，OB=O A =1 ,.? .A B= .OB?_OA 2即PA+PB的最小值,2 .故选B.2、考点：轴对称-最短路线问题，勾股定理，垂径定理为 CM+D分析：作点C关于AB的对称点C,连接CD与AB相交于点M,根据轴对称确定最短路线问 题，点M 口的最小值时的位置，根据垂径定理可得AC = AC,然后求出CD为直径，从而得解.解答：如图，作点C关于AB的对称点G,连接CD与AB相交于点M此时，点M为CM+D 口的最小值时的位置，由垂径定理，AC二AC ,?BD二AC,?/ AC二CD二BD, AB为直径，C?D为直径，? CM+DM

5、 勺最小值是8cm.故答案为：83、考点：切线的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，等腰直角三角形，矩形的判定与性质分析：连接OP?根据勾股定理知PQ=OP-O&，当OPL AB时，线段OP最短，即线段PQ最短.解答：连接OR OQ.? PQ 是 OO 的切线，OQL PQ根据勾股定理知PQUOP-OQ",?步OL AB时，线段PQ最短； 又？A(-4,0)、B(0,4) ,?OA=OB=4? AB= 4 2 , ? OP= A AB =2 2 , ? PQ=. 7 ；故答案为：.7.4、考点：垂径定理，轴对称的性质PA+PC分析：A B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+

6、RC 即当B、C P在一条直线上时,的值最小，即BC的值就是PA+PC勺最小值解答：连接OA OB OC作CH垂直于AB于H.11根据垂径定理,得至lj BE=-AB=4,CF=- CD=3 ,22OE=O$-B 吕.52 - 4 2=3OF=OC - CF = , 5 232 =4 ,CH=OE+OF=3+4=7 BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7在直角BCH中根据勾股定理得到BC= 7.2 ,则PA+PQ的最小值为7 2.故答案为：7,25、考点：切线的判定分析：（1）连结OA如图，根据圆周角定理得/ AOC=2B=60，则可判断A OAC为等边三 角形，所以/ OAC=60 , 则

7、/ OADMCAD # OAC=90 ,于是可根据切线的判定定理得到AD是OO的切线；在RtZOAD中利用含30。的直角三角形三边的关系得到OAEFADUIQ贝U AC=OA=103作弦AF _L OC连结HF交OD于P,延长AP交OO于E点，根据垂径定理得到 OC平分AF,即OC垂直平分AF, 贝U PA=PF所以PA+PH=PF+PH=HF 根据两点之间线段最短得此时 PA+PH的值最小；能证出/ HOF=90 , OF=10 OH=5 S/3，由勾股定理求出HF.AC=OA=10解答：证明：连结OA如图，?/ AO(=2Z B=2X 30° =60° ,? OAC等边

8、三角形，OAC=60 ,而/ CAD=30 , ?/ OAD/ CAD-Z OAC=90 ,?OA! AD ?AD是。O的切线；(2)存在。在 Rt OA中,V/ AOD=60 , / D=30 ° , ?OAAADJ x 10 .3=10 33作弦AF! OC连结HF交OD于P,延长AP交O O于E点，?/ OCL AF ,. OC 平分 AF,即 P OC 垂直平分 AF, T. PA=PF ,? PA+PH=PF+PH=HF止匕时 PA+PH 的值最/J、， ?/ OH! AC, ? HC=AH=5 OH= 5.32在 Rt HOF 中，HF= . OH2 OF2 =J(5V3

9、 )102 = 5.7 ,V/ COF=60 ,/ HOP=30 ?/ HOF=90即PA+PH的最小值为5.、7.6、【分析】(1)连结OQ如图1,由PQ/ AB, OPL PQ 得到OPLAB,在RtAOBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30 =,然后在Rt AOPQ中利用勾股定理可计算出PQ=:；（2）连结OQ如图2,在RtAOPQ中，根据勾股定理得到PQ= J -'',则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到 OPBC则OP= OB=，所以PQ长的最大值=【解答】解：（1）连 结OQ如图1,?/ PQ/ AB, OPL PQ?OP! AB,OP在 RtOBP 中，V tan / B=二? OP=3ta n30 =",在 Rt/XOPQ 中，T OP= :, OQ=3(2)连结OQ如图2,-11 ,当OP的长最小时，PQ的