连续时间信号的分析讲义

1、信号分析与处理信号分析与处理1第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2.1 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析 2.1.1 基本连续时间信号基本连续时间信号 2.1.2 连续时间信号的冲激表示连续时间信号的冲激表示2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析 2.2.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 2.2.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱2.3 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换 2.3.1 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换 2.3.2 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶

2、变换的性质2.4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换2.5 连续信号的拉普拉斯变换连续信号的拉普拉斯变换 2.5.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 2.5.2 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换第二章第二章 连续时间信号的分析连续时间信号的分析信号分析与处理信号分析与处理2第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析 时域分析时域分析 以以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。这里用于系统分析的独立变量是。这里用于系统分析的独立变量是时间。时间。 频域分析频域分析 本章将

3、以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意输入为基本信号，任意输入信号可分解为一系列信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是里用于系统分析的独立变量是频率频率。信号分析与处理信号分析与处理3第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2.1 2.1 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析2.1.1 基本连续时间信号基本连续时间信号1、单位斜变信号、单位斜变信号数学描述：数学描述：0 0( ) 0tr ttt信号分析与处理信号分析与处理4第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的

4、分析2、单位阶跃信号、单位阶跃信号突然接入的直流电压突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源突然接通又马上断开电源（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）阶跃信号的物理背景（开关作用）to1nn to1 (t)0, 10,210, 0)(lim)(deftttttnn函数序函数序列列n n(t)(t)阶跃信号和冲激信号都是奇异信号阶跃信号和冲激信号都是奇异信号, 阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型。阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型。阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位。阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位。信号分析与处理信号分析与处理5第第2章连续时间

5、信号的分析章连续时间信号的分析00 10)(ttt000 10)(tttttt（2）阶跃信号的数学描述）阶跃信号的数学描述延迟时间的阶跃函数延迟时间的阶跃函数 单位阶跃函数单位阶跃函数（3）阶跃信号的单边特性）阶跃信号的单边特性对函数对函数 t0 部分的截取部分的截取 ( ) ( 0)( ) ( )0 ( 0实数实数jjtXtjtjt1e1dee)(0)(0 221argarctanXaXa 信号分析与处理信号分析与处理45第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2. 矩形脉冲信号矩形脉冲信号 （门函数）（门函数） 22x tEtt 22222sinSa22j tj tj tEXx t

6、edtEedtejEE信号分析与处理信号分析与处理46第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析3. 符号函数符号函数 1,0sgn1 ,0tx ttt 00,e0,e)(1tttxtt)(lim)sgn(10txt2211211)()(jjjXtxjjXt22lim)(lim)sgn(22010信号分析与处理信号分析与处理47第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析4. 单位冲激信号单位冲激信号 0( )( )1j tjXt edte 5. 直流信号直流信号 (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有)(de21ttj将将 t t，t-t- )(de21ttj再根据傅

7、里叶变换定义式再根据傅里叶变换定义式)(2)(2de1ttj信号分析与处理信号分析与处理48第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1， (t) 等，但傅等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列可构造一函数序列xn(t)逼近逼近x (t) ，即，即而而xn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且xn(t)的傅里叶变换所形成的的傅里叶变换所形成的序列序列Xn( )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义x(t)的傅里叶变换的傅里叶变换X

8、 ( )为为)(lim)(txtxnn)(lim)(nnXX这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 广义傅里叶变换广义傅里叶变换信号分析与处理信号分析与处理49第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析6. 单位阶跃信号单位阶跃信号jtt1)()sgn(2121)( 7. 双边指数信号双边指数信号 x(t) = et , 0 2200211deedee)(jjttXtjttjt信号分析与处理信号分析与处理50第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1. 线性线性(Linear Property)

9、1 1221122F a x ta xta Xa X 11F x tX 22F xtX若若，则对于任意常数则对于任意常数a1和和a2，有，有 证明证明: F a1 x1(t) + a2 x2(t)ttxatxatjde)()(2211ttxattxtjtjde)(de)(a2211= a1 X1() + a2 X2() 信号分析与处理信号分析与处理51第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2. 对偶性对偶性(Symmetrical Property)若若 x (t) X() 则则证明证明:de)(21)(tjXtx（1）in (1) t ，t thenttXxtjde)(21)( （2

10、）in (2) - - thenttXxtjde)(21)( X(t) 2x () endX( t ) 2x ()信号分析与处理信号分析与处理52第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析3. 尺度变换性质尺度变换性质(Scaling Transform Property)若若 x (t) X() 则则 其中其中 “a” 为不等于零的实常数。为不等于零的实常数。证明：证明：F x (a t ) =teatxtjd)(For a 0 F x (a t ) d1e)(axajataXa1for a 0 0时时收敛域收敛域收敛边界收敛边界即单边拉氏变换的即单边拉氏变换的ROCROC为：为：Res

11、= 0信号分析与处理信号分析与处理77第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析可以归纳出可以归纳出ROC的以下性质：的以下性质：1. ROC是是 S 平面上平行于平面上平行于 轴的带状区域。轴的带状区域。2. 在在ROC内无任何极点。内无任何极点。3. 时限信号的时限信号的ROC是整个是整个 S 平面。平面。4. 右边信号的右边信号的ROC是是 S 平面内某一条平行于平面内某一条平行于 轴的直线的右边。轴的直线的右边。jjThe Region of Convergence for Laplace Transforms信号分析与处理信号分析与处理78第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号

12、的分析若若 ，则，则11( )tTx t edt11()()( )( )ttTTtTx t eedtex t edt1表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。( )tTx t edt 若若 是右边信号是右边信号, , , , 在在ROC内内，则有则有 绝对可积，即：绝对可积，即：( )tx t e( )x tTt 信号分析与处理信号分析与处理79第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析5. 左边信号的左边信号的ROC是是S平面内的一条平行于平面内的一条平行于 轴的直线的左边。轴的直线的左边。j 若若 是左边信号，定义于是左边信号，定义于 , 在在 ROC 内，内， ，则，则1( )x t(

13、,T11()( )( )TTtttx t edtx t eedt1()( )TTtex t edt 1表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。信号分析与处理信号分析与处理80第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析6. 双边信号的双边信号的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面内平面内平行于平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。j0()0()( )11TatstTs a ts a TX seedtedtesa例例1.0( )0atetTx tother信号分析与处理信号分析与处理81第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析考查零点，令考查零点，令()1s a Te 2sajk

14、T 得得例例2.( )b tx te( )( )()btbtx tetet有极点有极点sa ( )X s 显然显然 在在 也有一阶零点，由于零也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。平面上无极点。sa ( )X s信号分析与处理信号分析与处理82第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析当当 时，上述时，上述ROC有公共部分，有公共部分，0b11( )X ssbsbRe bsb 当当 时，上述时，上述 ROC 无公共部分，表明无公共部分，表明 不存在。不存在。0b ( )X s1(),btetsb Re( ) sb 1( ),btetsbRe( )

15、sbbjb信号分析与处理信号分析与处理83第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析 当当 是有理函数时，其是有理函数时，其ROC总是由总是由 的的极点分割的。极点分割的。ROC必然满足下列规律：必然满足下列规律： 1. 右边信号的右边信号的ROC一定位于一定位于 最右边极点最右边极点的右边。的右边。 2. 左边信号的左边信号的ROC一定位于一定位于 最左边极点最左边极点的左边。的左边。 3. 双边信号的双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之可以是任意两相邻极点之间的间的带状区域带状区域。( )X s( )X s( )X s( )X s信号分析与处理信号分析与处理84第第2章连续时间信号的

16、分析章连续时间信号的分析例例3.21( )321112X sssssj12可以形成三种可以形成三种 ROC：1) ROC： 此时此时 是右边信号。是右边信号。2) ROC： 此时此时 是左边信号。是左边信号。3) ROC： 此时此时 是双边信号。是双边信号。Re( )2s Re( )1s 2Re( )1s ( )x t( )x t( )x t信号分析与处理信号分析与处理85第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析(1) (t) 1， -(2) (t)或或1 1/s ， 01d)(de )()(00ttttsXst利用利用0_0_系统，可以计算信号在系统，可以计算信号在 t=0 t=0 时

17、发生的冲激。时发生的冲激。全全 s s 域内均存在拉氏变换。域内均存在拉氏变换。注意注意：阶跃信号只在：阶跃信号只在 的区域内存在拉的区域内存在拉 氏变换，氏变换， 是区域边界。是区域边界。 是是 的极点实部。的极点实部。000 sX当当s 的实部的实部 时，时， ，故，故 00etstssX1)(0001)()(stststesdtedtetsX3 3、常见信号的拉氏变换、常见信号的拉氏变换信号分析与处理信号分析与处理86第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析00()000e( )eed()s sts tstF stss0Re()0ss时，有时，有001es tss注意：注意：指数信

18、号只在指数信号只在 的区域内存在拉氏的区域内存在拉氏变换，变换， 是区域边界。是区域边界。0 0 cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2 202sssin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 2020s(3) 指数函数指数函数e-s0t 01ss -Res0= 0信号分析与处理信号分析与处理87第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析4 4、拉氏变换的性质、拉氏变换的性质1 122( )( )a x ta x t1122( )( )a X sa Xs00() ()x tttt0( )steX s0( )s tx t e0()X ss()x at

19、1( )sXaa( )dx tdt( )(0 )sX sx( )tx t( )dX sds( )txd( 1)(0 )( )xX sss( )x tt( )sX s ds12( )( )x tx t12( )( )X s Xs 线性线性时移时移频移频移尺度变换尺度变换t 域微分域微分s 域微分域微分t 域积分域积分s 域积分域积分t 域卷积域卷积信号分析与处理信号分析与处理88第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。解：解：x1(t) = (t) (t-1)， x2(t) = (t+1) (t-1)X1(s)=)e1 (1ssX

20、2(s)= X1(s)注意注意: X2(s) )e(1sses例例2:求求x(t)= e-2(t-1)(t1) X (s)=?21( )2tets2(1)1(1)2tsetes例例3:求求x(t)= e-2(t-1)(t) X (s)=?x(t)= e-2t e2(t)2(1)21( )2tetes信号分析与处理信号分析与处理89第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析例例4:已知已知x1(t) X1(s), 求求x2(t) X2(s)。解：解： x2(t) = x1(0.5t) x10.5(t-2)x1(0.5t) 2X1(2s)x1 0.5(t-2) 2X1(2s)e-2sx2(t)

21、 2X1(2s)(1 e-2s)例例5:已知因果信号已知因果信号x(t)的象函数的象函数X(s)= 12ss求求e-tx(3t-2)的象函数。的象函数。 解：解：e-tx(3t-2) 22(1)(1)33221(1)/31ee3(1)/31(1)9ssssss信号分析与处理信号分析与处理90第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析例例6: (n)(t) ? 例例7:?)(2cosddttt22222144sss 2sin(2 ) ( )( )tttns例例9: t2 (t) ? )(d)(0ttxxt20( )d( )2ttxxxt322)(stt解解:21( )tts例例8: t (t

22、) ?2d11( )ds ss信号分析与处理信号分析与处理91第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析例例10：?)(sinttt11)(sin2sttsstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2例例11:已知因果信号已知因果信号x(t)如图如图 ,求求X(s)。)0()(d)( 0 xtxxt解解:由于由于x(t)为因果信号，故为因果信号，故 x(0-)=0txtx0d)( )(1( )( )(2)2 (2)( )x ttttX s221(1 e)2esss)(1sXssXsX)()(1结论：若结论：若x(t)为因果信号，已知为因果信号，已知x(n)(t)

23、Xn(s) 则则 x(t) Xn(s)/sn信号分析与处理信号分析与处理92第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析 102jstjx tX s e dstj 2.5.2 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换1 1、基本思想、基本思想 根据线性性质，把象函数分解为基本单元的组合，根据线性性质，把象函数分解为基本单元的组合，再求取拉普拉斯逆变换。再求取拉普拉斯逆变换。 直接求取相当困难！直接求取相当困难！)()()()(321sXsXsXsX)()()()(321txtxtxtx信号分析与处理信号分析与处理93第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析NNNMMMasasabsbsbsDsNs

24、X110110)()()(MN 0)(sD的根称为的根称为X(s)的的极点极点，用，用 表示表示 Nppp,210)(sN的根称为的根称为X(s)的的零点零点，用，用 表示表示 Mzzz,21) j1)(j1()2)(3()(ssssssX例如：例如：12j1-j1-1-2-3ooj2 2、零极点、零极点信号分析与处理信号分析与处理94第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析若象函数若象函数X(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 若若MN （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数X(s)分解为有分解为有理多项式理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理

25、真分式之和。 )()()()(0sDsNsPsF6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssX由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变的拉普拉斯逆变换由换由冲激函数冲激函数构成。构成。3 3、部分分式展开法、部分分式展开法NNNMMMasasabsbsbsDsNsX110110)()()(信号分析与处理信号分析与处理95第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析NNpskpskpsksX2211)(1) 单极点单极点 互不相等互不相等Nppp,21ipsiisXpsk)()()()eee(

26、)(2121tkkktxtpNtptpN下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。 D(s)称为称为X(s)的的特征多项式特征多项式，方程，方程D(s)=0称为称为特征方程特征方程，它，它的根称为的根称为特征根特征根，也称为，也称为X(s)的的固有频率固有频率（或自然频率）。（或自然频率）。信号分析与处理信号分析与处理96第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析(2) 复数极点复数极点*21pp 2211)(pskpsksX1)()(11pssXpsk2)()(22pssXpskk1和和k2也呈共轭关系也呈共轭关系假定假定,j1p1j11e|kk 11j()1111(

27、)2Re( e)2Reee2|ecos() ( )p ttttx tkkktt 复数极点必以共轭形式出现，令复数极点必以共轭形式出现，令信号分析与处理信号分析与处理97第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析(3) 重极点重极点 X(s) 含有含有 r 重极点重极点 p1)()()()(111112111pskpskpsksXrrr 1111rspKspX s 1121rspdKspX sds 12131212rspdKspX sds 1111111,1 !irrspidKspX sirids 信号分析与处理信号分析与处理98第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析解解: :例例1

28、：已知已知6511156)(223ssssssX，求其逆变换求其逆变换。65541)(2sssssX37231sss)(e7)(e3)()()(32tttttxtt例例2： 已知已知，求其逆变换。求其逆变换。52106)(2ssssX解解: :2 j12 j1)(21sksksX927. 05j43)2 j1)(2 j1(106)2 j1(2j11sssssk)()927. 02cos(e10Re2)(11tteAtxttp*12kk 2 j12, 1p信号分析与处理信号分析与处理99第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析例例3： 已知已知，求其逆变换。求其逆变换。3) 1(2)(ssssX解解: :sksksksksX213212311) 1() 1() 1()(sssXssX2)() 1()(31令令3)(1111ssXk2)(1112ssXdsdk2)(21112213ssXdsdk2)(02ssXsk)()2e2e2e23()(2ttttxtttsssssX2) 1(2) 1(2) 1(3)(23信号分析与处理信号分析与处理100第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析例