多元函数的极值73581PPT学习教案

1、会计学1多元函数的极值多元函数的极值73581(1)(2)(3). )0 , 0(43)1(22处有极小值处有极小值在在函数函数yxz 如： . )0 , 0()2(22处有极大值处有极大值在在函数函数yxz . )0 , 0()3(处无极值处无极值在在函数函数xyz 第1页/共10页2、多元函数取得极值的条件 定理（必要条件）： . 0),(, 0),(:,),(,),(),(00000000 yxfyxfyxyxyxfzyx则必有则必有可偏导可偏导且在点且在点值值有极有极在点在点设函数设函数驻点：使所有一阶偏导数同时为零的点。 多元函数的极值点可能是驻点或使所有一阶偏导数中至少有一个不存在

2、的点。 第2页/共10页定理（充分条件）： .,0)3(;0)2(;0,0 ,0)1(:),(),(),(,),(,),(0),(, 0),(,),(),(22200000000000000另作讨论另作讨论时不能确定时不能确定时没有极值时没有极值时有极小值时有极小值当当时有极大值时有极大值当当时具有极值时具有极值下下是否取得极值的条件如是否取得极值的条件如在点在点则则令令又又导数导数且有一阶及二阶连续偏且有一阶及二阶连续偏内连续内连续的某邻域的某邻域在点在点设函数设函数 BACBACAABACyxyxfCyxfByxfAyxfyxfyxfyxyxfzyyxyxxyx第3页/共10页例1、求下列

3、函数的极值。 xyxyxyxfxyxyxf933),()2(12),()1(223322 求函数极值的一般步骤： .0),(, 0),( )1(得驻点得驻点解方程组解方程组 yxfyxfxx.,),( )2(00CBAyx求出求出对于每个驻点对于每个驻点.,)3(2再判定是否是极值再判定是否是极值的符号的符号定出定出BAC 第4页/共10页3、多元函数的最值 求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 例2、 ., 6)4(),(2的最大值与最小值的最大值与最小值上上轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域轴和轴

4、和在直线在直线求函数求函数Dyxyxyxyxyxfz xyo6 yxD第5页/共10页二、条件极值 条件极值：对自变量有约束条件的极值 处理方法： （1）化为无约束极值问题； （2）拉格朗日乘子（数）法。 例3、 ?,),0(,长方体的体积最大长方体的体积最大试问边长如何试问边长如何高之和为高之和为宽宽设长方体的长设长方体的长 aa1、化有约束为无约束 第6页/共10页2、拉格朗日乘数法 方法： ),(),(),( )1(yxyxfyxL 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 0),(0),(),(0),(),( :)2(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx值点值点解下面方程组得可能极解下面

5、方程组得可能极.称为拉格朗日乘子称为拉格朗日乘子其中其中 .0),(),(下的极值下的极值在约束在约束求函数求函数 yxyxfz第7页/共10页例4、 .2体积体积而体积最大的长方体的而体积最大的长方体的求表面积为求表面积为a例5、 .0),(000的最短距离的最短距离到平面到平面求空间一点求空间一点 DCzByAxzyx例6、 . , ,1222222求切点坐标求切点坐标的四面体的体积最小的四面体的体积最小所围成所围成使切平面与三个坐标面使切平面与三个坐标面的切平面的切平面在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面 czbyax第8页/共10页练 习 题. )0, 0, 0, 0(1111. 4.)(:),0, 0( . 3.,12. 2.),( 010422. 121123222下的极值下的极值在约束在约束求求最大值为最大值为证明证明设设为最大为最大使得使得之和之和分成三个正数分成三个正数将正数将正数的极值的极值确定的函