多元函数的极值与拉格朗日乘数法PPT学习教案

1、会计学1多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法2一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义: 是在一点附近将函数值比大小.定义点P0为函数的极大值点. 类似可定义极小值点和极小值.设在点P0的某个邻域, ),()(0PfPf 为极大值.则称)(0Pf多元函数的极值与拉格朗日乘数法第1页/共44页3 注 函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的, 一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.多元函数的极值与拉

2、格朗日乘数法第2页/共44页4xyzOxyzO例2243yxz 例22yxz 例xyz 函数 存在极值, 在(0,0)点取极小值. 在(0,0)点取极大值. (也是最大值).在(0,0)点无极值.椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数多元函数的极值与拉格朗日乘数法 xyzO 第3页/共44页52.极值的必要条件证定理1(必要条件),(),(00yxyxfz在点在点设函数设函数 具有具有处处且在点且在点),(00yx则它在该点的偏导数必然为零:, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy,偏偏导导数数,有有极极值值处处在点在点),(),(00

3、yxyxfz 有极大值,不妨设的某邻域内任意的某邻域内任意则对于则对于),(00yx),(),(00yxyx 都有),(),(00yxfyxf 多元函数的极值与拉格朗日乘数法,00时时故当故当xxyy ),(),(000yxfyxf 有有说明一元函数处处在在00),(xxyxf 有极大值,必有; 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy类似地可证第4页/共44页6推广 如果三元函数),(),(000zyxPzyxfu在点在点 具有偏导数,则它在),(000zyxP有极值的必要条件为, 0),(000 zyxfx, 0),(000 zyxfy. 0),(000 zyxfz多元函数的极值与

4、拉格朗日乘数法均称为函数的驻点极值点仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如,的的是函数是函数点点xyz )0 , 0(驻点, 但不是极值点. 注第5页/共44页73.极值的充分条件定理2(充分条件),(),(00yxyxfz在点在点设函数设函数 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 0),(00 yxfx又又, 0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy ,),(00Byxfxy ),(),(00yxyxf在点在点则则处是否取得极值的条件如下:(1)时时02 BAC有极值,时时当当0 A有极大值,时时当当0 A有

5、极小值;(2)时时02 BAC没有极值;(3)时时02 BAC可能有极值,也可能无极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法第6页/共44页8求函数 极值的一般步骤:),(yxfz 第一步解方程组 0),(0),(yxfyxfyx求出实数解,得驻点.第二步 对于每一个驻点),(00yx求出二阶偏导数的值.CBA、第三步 定出2BAC 的符号,再判定是否是极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法第7页/共44页9例 解又在点(0,0)处, 在点(a,a)处, )0(3),(33 ayxaxyyxf求函数求函数 03303322yaxfxayfyx).,(),0 , 0(aa驻驻点点 xxf xyf yyf

6、229aBAC 故),(yxf2227aBAC aA6 且且故),(yxf即.),(3aaaf 的极值.0 在(0,0)无极值;0 在(a,a)有极大值,0 ,6x ,3a.6y 多元函数的极值与拉格朗日乘数法第8页/共44页1004222 xxzzzx解求由方程010422222 zyxzyx.),(的极值的极值确定的函数确定的函数yxfz 将方程两边分别对x, y求偏导数,04222 yyzzzy 由函数取极值的必要条件知,驻点为),1, 1( P将上方程组再分别对x, y求偏导数,21|zzAPxx , 0| PxyzB,21|zzCPyy 多元函数的极值与拉格朗日乘数法法一第9页/共4

7、4页11故22)2(1zBAC )2( z函数在P有极值.0 010422222 zyxzyx)1, 1( P将将代入原方程,6, 221 zz有有,21时时当当 z41 A, 0 2)1, 1( fz为极小值;,62时时当当 z41 A, 0 6)1, 1( fz为极大值.zzAPxx 21|0| PxyzBzzCPyy 21|多元函数的极值与拉格朗日乘数法所以所以第10页/共44页12求由方程010422222 zyxzyx.),(的极值的极值确定的函数确定的函数yxfz 多元函数的极值与拉格朗日乘数法解 法二 配方法 方程可变形为16)2()1()1(222 zyx 于是22)1()1(

8、162 yxz,1, 1时时当当 yx 显然, 根号中的极大值为4,由可知,42 z为极值.即6 z为极大值,2 z为极小值.第11页/共44页13取得. 然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如: 函数22yxz 不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.注由极值的必要条件知, 极值只可能在驻点处但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数多元函数的极值与拉格朗日乘数法第12页/共44页14多元函数的极值与拉格朗日乘数法2003年考研数学(一), 4分选择题已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻

9、域内连续, 1)(),(lim22200 yxxyyxfyx且且则(A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点.(B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点.(C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y)的极值点.第13页/共44页15其中最大者即为最大值, 与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.4.多元函数的最值求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,多元函数的极值与拉格朗日乘数法第14页/共44页16解 (1) 求函数在D

10、内的驻点 由于所以函数在D内无极值.(2) 求函数在 D边界上的最值(现最值只能在边界上)与与在在求函数求函数0, 0212 yxyxxz1 yx直直线线围成的三角形闭域D上的0 最大(小)值.例xzx21 2 yz 多元函数的极值与拉格朗日乘数法1 yxDxyO第15页/共44页17在边界线在边界线由于最小, 由于又在端点(1,0)处,yxxz212 所以,最大.yz21 21xxz ,21ddxxz ,21 x43)0 ,21( z有驻点 函数值有, 0 x单调上升.2dd yz, 0 yz21 1)0 , 0( z3)1 , 0( z, 0 y. 1)0 , 1( z,10上上 y,10

11、上上 x多元函数的极值与拉格朗日乘数法1 yxDxyO第16页/共44页18在边界线所以, 最值在端点处.yxxz212 )1(212xxxz由于 函数单调下降,)0 ,21( z及及43)0 ,21(min zz3)1 , 0(max zz, 1 yx233xx xxz23dd 0 ),10( x(3)比较),0 , 0( z),0 , 1( z)1 , 0( z,10上上 x43)0 ,21( z1)0 , 0( z3)1 , 0( z1)0 , 1( z多元函数的极值与拉格朗日乘数法1 yxDxyO第17页/共44页19解, 02 xfx令令08 yfy)0 , 0(),(422yxfy

12、x代入代入将将 133),(2yyxf2 , 2 yyyg6)( 令令0 y此时24yx ,2时时当当 y9)0 , 0( f. 9,25),(最最小小值值为为上上的的最最大大值值为为在在故故Dyxf13)0 , 2( f25)2, 0( f的最大值与最小值.驻点得)(yg0 2 0 x均均有有多元函数的极值与拉格朗日乘数法上在求4:94),(2222yxDyxyxf第18页/共44页20对自变量有附加条件的极值.其他条件.无条件极值对自变量除了限制在定义域内外,并无条件极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法二、条件极值 拉格朗日乘数法第19页/共44页21解,18 zyxyxz 18xyzV ：

13、区域区域D02182 yxyyVx02182 xyxxVy)18(yxxy 2218xyyxxy 例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为, zyx、由题意长方体的体积为18, 0, 0 yxyx)6 , 6(驻驻点点 多元函数的极值与拉格朗日乘数法且长方体体积一定有最大值,体体积最大.故当的长、宽、高都为6时长方由于V在D内只有一个驻点,第20页/共44页22xyzV 18 zyx上例的极值问题也可以看成是求三元函数zyx、但但的极值,要受到条件的限制, 这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法 有时

14、条件极值目标函数中化为无条件极值.可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的. 下面要介绍解决条件极值问题的一般方法:下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法第21页/共44页23拉格朗日乘数法:现要寻求目标函数),(yxfz 0),( yx 在约束条件 下取得利用隐函数的概念与求导法 如函数(1)在),(00yx0),(00 yx 由条件0),( yx (1)(2)极值的必要条件.取得所求的极值,那末首先有(3)确定y是x的隐函数).(xyy 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 不必将它真的解出来,则于是函数(1),(00yx在在0 xx 即, 取得所取得极值.求的极值.),(,(xyxfz第2

15、2页/共44页24其中 0ddxxxy代入(4)得:)5(0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 0),( yx 由一元可导函数取得极值的必要条件知: 0ddxxxz00yyxxxf (4)000ddxxyyxxxyyf 0 ),(),(0000yxyxyx 多元函数的极值与拉格朗日乘数法0 xx 取得极值.在(3) ,(5)两式),(00yx在在取得极值的必要条件.就是函数(1)在条件(2)下的)3(0),(00 yx )1(),(yxfz )2(0),( yx )(,(xyxfz第23页/共44页25 设 ),(),(0000yxyxfyy上述必要条件变为

16、: (6)中的前两式的左边正是函数:0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 0),(),(0000 yxyxfxx0),(00 yx 0),(),(0000 yxyxfyy(6)多元函数的极值与拉格朗日乘数法,0),(00 yx ),(),(),(yxyxfyxL 的两个一阶偏导数在),(00yx的值. 参参数数函数),(yxL称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子, 是一个待定常数.第24页/共44页26拉格朗日乘数法:),(yxfz 0),( yx 极值的必要条件在条件要找函数下的可能极值点, 先构造函数),(),(),(yxyxfyxL 为某一常数,其中可由

17、 解出, yx其中就是可能的极值点的坐标.yx,多元函数的极值与拉格朗日乘数法, 0),(),( yxyxfxx, 0),(),( yxyxfyy. 0),( yx 第25页/共44页27如何确定所求得的点实际问题中, 非实际问题我们这里不做进一步的讨论.拉格朗日乘数法可推广:判定.可根据问题本身的性质来的情况.自变量多于两个是否为极值点多元函数的极值与拉格朗日乘数法第26页/共44页28例例 将将正正数数 12 分分成成三三个个正正数数zyx,之之和和 使使得得zyxu23 为为最最大大. 解.691224623max u则故最大值为故最大值为又是实际问题,解得唯一驻点)2 , 4 , 6(

18、一定存在最值.令 ),(zyxLzyx23)12( zyx 023 yzxLy0322 zyxLx023 yxLz12 zyx此题是否也可化为无条件极值做多元函数的极值与拉格朗日乘数法第27页/共44页29解),(000zyxP设设为椭球面上的一点,令1),(222222 czbyaxzyxF则,2|20axFPx ,2|20byFPy 202|azFPz 的切平面方程为),(000zyxP过过在第一卦限内作椭球面的使切平面与三个坐标面所围成的例1222222 czbyax切平面,四面体体积最小, 求切点坐标.0)()()(020020020 zzczyybyxxax多元函数的极值与拉格朗日乘

19、数法第28页/共44页30目标函数该切平面在三个轴上的截距各为化简为1202020 czzbyyaxx,02xax ,02yby 02zcz 所求四面体的体积xyzV61 0002226zyxcba 约束条件在条件1220220220 czbyax下求V 的最小值,多元函数的极值与拉格朗日乘数法第29页/共44页31约束条件1220220220 czbyax令000lnlnlnzyxu ),(000zyxL000lnlnlnzyx 1220220220czbyax 由 , 00 xL01220220220 czbyax, 00 yL00 zL目标函数,6000222zyxcbaV 多元函数的极

20、值与拉格朗日乘数法第30页/共44页32可得即当切点坐标为)3,3,3(cba四面体的体积最小abcV23min ),(000zyxL000lnlnlnzyx 1220220220czbyax 021200 axx 021200 byy 021200 czz 01220220220 czbyax 30ax 30by 30cz 多元函数的极值与拉格朗日乘数法第31页/共44页33.)21, 1 , 1(22的最短距离的最短距离到曲面到曲面求点求点yxz 解 d为简化计算,令222)21()1()1(),( zyxzyxf22yxz ),(zyx设设是曲面上的点,它与已知点的距离为问题化为在),(

21、zyxf下求的最小值.222)21()1()1( zyx目标函数约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法第32页/共44页34 ),(zyxL)(22yxz 02)1(2 xxLx 得得由由)2(),1(22xz 得得由由 )1(xx1 得得代代入入)3(xxxz212121 222)21()1()1( zyx设02)1(2 yyLy 0212 zLz22yxz (1)(2)(3)(4)yx 得得代代入入)4(多元函数的极值与拉格朗日乘数法第33页/共44页35由于问题确实存在最小值，与与由由22xz xxxz212121 故xx2122 有最小值有最小值d得唯一驻点24,41,41 zyx33

22、3222141412 33处处，故在点故在点 244141333多元函数的极值与拉格朗日乘数法还有别的简单方法吗用几何法!第34页/共44页36解22)1(yxz 先求函数先求函数 0202yzxzyx驻驻点点22)2(yxz 再再求求 为此作拉格朗日乘函数: ),(yxL上的最大值与最小值.在圆内的可能的极值点;在圆上的最大、最小值.22yx 9)2()2(22 yx )0 , 0(多元函数的极值与拉格朗日乘数法9)2()2(2222yxyxz在圆求函数第35页/共44页37)(0)2(22axxLx 可可知知由由)(),(ba得得代代入入)(c225 yx比较比较)3(,25 z. 0 z

23、, yx 22 yx和和)(0)2(22byyLy )(9)2()2(22cyx 最大值为最小值为、)0 , 0( z、 225,225z 22,22z多元函数的极值与拉格朗日乘数法 9)2()2(),(2222yxyxyxL22yxz函数上，在圆9)2()2(22yx第36页/共44页38多元函数的极值与拉格朗日乘数法2002年考研数学(一), 7分 设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为,75),( 22 xyyxyxD 小山的高度函数为.75),(22xyyxyxh (1) 设M(x0 , y0)为区域D上一点,问h(x, y)在该点沿平面上什么方向的方向导数

24、最大? 若记此方向导数的最大值为g(x0 , y0),试写出g(x0 , y0)的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.是说,要在D的边界线7522 xyyx上找出使(1)中的g(x, y)达到最大值的点.试确定攀岩起点的位置.也就第37页/共44页39多元函数的极值与拉格朗日乘数法解 (1) 由梯度的几何意义知, 方向的方向导数最大,h(x, y)在点M(x0 , y0)处沿梯度)2,2(),(grad0000),(00yxxyyxhyx 方向导数的最大值为该梯度的模, 所以20020000)2()2(),(yxxyyxg .855002020yxyx (2) 令,855),(),(222xyyxyxgyxf 由题意,只需求),(yxf在约束条件7522 xyyx下的最大值点.令),75(855),(2222xyyxxyyxyxL 第38页/共44页40),75(855),(2222xyyxxyyxyxL 多元函数的极值与拉格朗日乘数法则, 0)2(810 xy