多元函数微分法及其应用6PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用6的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、二元函数极值的概念一、二元函数极值的概念第1页/共25页1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义第2页/共25页(1)(2)(3)1.1.处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz . .处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz . .处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 例如例如: :第3页/共25页定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(

2、00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.第4页/共25页例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时

3、为仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的零的点，均称为函数的驻点驻点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，第5页/共25页又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，第6页/共25页第7页/共25页第8页/共25页求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步

4、骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.第9页/共25页求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最

5、小值极值来求函数的最大值和最小值.二、二元函数的最值二、二元函数的最值第10页/共25页第11页/共25页第12页/共25页第13页/共25页第14页/共25页第15页/共25页第16页/共25页第17页/共25页第18页/共25页解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为第19页/共25页第20页/共25页第21页/共25页多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值第22页/共25页思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？第23页/共25页思考题解答思考题解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 ,