线性代数矩阵学习教案

1、会计学1第一页，共103页。2第1页/共103页第二页，共103页。3下面引入一个(y )一般的概念如求方程 的根，210 x 此方程不仅在有理数范围(fnwi)内无解，就是在实数范围(fnwi)内也无解，只在复数范围(fnwi)内有解。为了在以后的讨论中能把具有共同(gngtng)运算性质的数集统一处理在研究某些问题时，常常和所研究对象的取值范围有关。第2页/共103页第三页，共103页。4则称集合F构成一个数域定义(dngy)1.1例如(lr): 有理数集、实数集、复数集都构成数域。 但整数集不构成数域。 第3页/共103页第四页，共103页。5定义(dngy)1.2如果一个数集F中任意两

2、个数经过某一种运算后所得结果仍在该数集中,则称数集F对该运算封闭.例如: 整数集对加法运算封闭(fngb)，但对除法运 算不封闭(fngb)。 因此,要证明一个数集是否构成(guchng)数域只要能证明该数集中含有数0和1,并且对加、减、乘、除四种运算都封闭即可。第4页/共103页第五页，共103页。6注意(zh y):（1）本书中涉及(shj)到的数都是指某个数域中的数 例1 设 则 是一个 数域。 3, ,Faba bQF（2）若没有特别说明涉及(shj)到的数域一般是指实数域第5页/共103页第六页，共103页。7引例(yn l):例1 设某种物资，如煤炭等，有 个产地， ， 个销地，

3、，如果以 aij表示由第i个产地销往第 j个销地的数量，mn12,mA AA12,nB BB1112112122221212jnjniiijinmmmjmnaaaaaaaaaaaaaaaa矩阵表示由第 个产地销往第 个销地的数量ijaij则这类物资的调运方案，可用一个数表表示(biosh)如下：第6页/共103页第七页，共103页。8由mn 个数 aij ( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)按一定次序排成 m 行 n 列的矩形(jxng)数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为一个(y ) m 行 n 列的矩阵，简记为 (aij)mn一般用大写

4、字母 A，B，表示，m行n列的矩阵A也记为Amn，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。定义(dngy)1.3m nA第7页/共103页第八页，共103页。9(1)如果矩阵(j zhn)A的元素aij全为实(复)数,就称A为实(复)矩阵(j zhn)。一般的，仅讨论实矩阵(j zhn)。(2)如果矩阵的行数等于列数 ， 则称矩阵为 阶矩阵或 阶方阵，记做mnnnnA实际上，一阶矩阵就是(jish)一个数。(3)若两个(lin )矩阵行数和列数分别相等，则称这两个(lin )矩阵是同型矩阵，否则称为非同型矩阵。(4)若两个矩阵不但是同型矩阵，而且对应的

5、元素也相等，则称这两个矩阵相等。注意：第8页/共103页第九页，共103页。10矩阵(j zhn)应用举例：例1：把下图中四个城市之间的航线(hngxin)用矩阵表示出来 城市2城市3城市4城市1解:设1,140ijaij从城市i到城市j有一条航线（，）， 从城市i到城市j没有航线则得到(d do)邻接矩阵40110101101000010A第9页/共103页第十页，共103页。11例2：把下列成绩统计表用矩阵表示(biosh)出来 姓名高数 英语 邓论 普物张一98908772李二89908698王三97847587刘六85888588解：用矩阵(j zhn)表示为9890877289908

6、6989784758785888588第10页/共103页第十一页，共103页。12l列矩阵：只有一列的矩阵12mbbBbl零矩阵(j zhn)：元素都是零的矩阵(j zhn) 记作O。几种比较特殊(tsh)的矩阵：有多少个？它们都相等吗？l行矩阵：只有一行的矩阵12(,)nAaaa第11页/共103页第十二页，共103页。13形如 的方阵11121222000nnnnaaaaaa形如 的方阵11212212000nnnnaaaaaa上、下三角(snjio)矩阵统称为三角(snjio)矩阵第12页/共103页第十三页，共103页。14l对角矩阵：方阵并且除主对角线上的元素(yun s)外其余

7、元素(yun s)全为零通常用 表示),(21ndiag即 = ),(21ndiagnnn00000021例如(lr):100(1, 2,3)020003diag 是一个三阶(sn ji)对角矩阵第13页/共103页第十四页，共103页。15l数量矩阵：对角矩阵中当 时n21例如(lr)：5000050000500005就是一个数量(shling)矩阵也就是说，数量矩阵是对角(du jio)矩阵的一种特例第14页/共103页第十五页，共103页。16 特点:从左上角到右下角的直线(zhxin)(主对角线)上的元素都是1，其他元素都是0。100010001E即l单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常

8、数为1，称为单位矩阵，用字母 或 表示 nEE第15页/共103页第十六页，共103页。17如果(rgu)变量y1 ,y2 ,. ,ym可由变量x1 ,x2 ,. ,xn线性表示, . ,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay称为由变量x1 ,x2 , . ,xn到变量y1 ,y2 , . ,ym的变换为线性变换。线性变换由 个 元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。mn线性变换：定义(dngy)1.4即第16页/共103页第十七页，共103页。18111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA其中,

9、由系数(xsh)构成的矩阵可以看出给定一个(y )矩阵必定对应于一个(y )线性变换如：单位矩阵100010001nE对应的线性变换为1122nnyxyxyx称为恒等变换第17页/共103页第十八页，共103页。19再如: 线性变换 .,222111nnnxyxyxy 对应(duyng)n阶系数矩阵为12000000nA是一个(y )对角矩阵。也就是说，线性变换和系数(xsh)矩阵是一一对应的。第18页/共103页第十九页，共103页。202 矩阵(j zhn)的运算一. 矩阵(j zhn)的加法定义(dngy)2.1 设有两个mn矩阵A=(aij), B=(bij),那么A与B的和记为C=A

10、+B,规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnabababababababababCA B背景: 矩阵之所以有用,不在于把一组数能排成矩形数表,而在于能进行有实际意义的运算。第19页/共103页第二十页，共103页。21加法满足运算规律: (1) A+B= B + A; (交换律) (2) (A + B)+C= A +(B +C) . (结合律)特别的:AAOOA=+=+) 3 (OAAAA=+=+)- ()- ()4(A是A的负矩阵nmijaA)(注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行(jnxng)加法运算，其运算法则就是把它们的对应元素相加。第20页/共

11、103页第二十一页，共103页。22nmijijbaBABA=+=)-()- (-例：计算下列两个(lin )矩阵的和与差102110,321213AB解：012212,512134ABAB第21页/共103页第二十二页，共103页。23二. 数与矩阵相乘(xin chn)（简称为数乘）定义2.2 数与矩阵(j zhn)A的乘积记作 A,规定为111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 数与矩阵相乘满足(mnz)运算规律:)()(1(AA AAA )(2(BABA )()3(第22页/共103页第二十三页，共103页。24例2设431,205A120103B求 A3B解：3603

12、309B4313603205309AB191504说明：矩阵的加法(jif)运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算第23页/共103页第二十四页，共103页。2512,t t123,x x x111 112 2221 122 2331 132 2xb tb txb tb txb tb t123,x x x12,y y111 1122133221 1222233ya xa xa xya xa xa x12,t t12,y y11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2yab tb tab tb tab tb tyab t

13、b tab tb tab tb t第24页/共103页第二十五页，共103页。26即：111 11122113 31111 12122213 322221 11222123 31121 12222223 322ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt上述(shngsh)运算也称为两个线性变换的乘积根据线性变换与矩阵的关系，也可以(ky)理解为111213212223aaaaaa111221223132bbbbbb矩阵与的乘积为第25页/共103页第二十六页，共103页。27111211121311 1112 2113 3111 1212 2213 3

14、2212221222321 1122 2123 3121 1222 2223 323132bbaaaa ba ba ba ba ba bbbaaaa ba ba ba ba ba bbb按上述方法定义的矩阵乘法(chngf)有实际意义。由此推广得到一般的定义：？第26页/共103页第二十七页，共103页。28定义2.3 设A=(aij)ms，B=(bij)sn ，那么规定矩阵A与B的乘积是C=(cij) m n,其中 skkjiksjisjijiijbabababac12211并把此乘积记作C=AB。 msmmisiisaaaaaaaaa212111211 snnnsjsjjbbbbbbbbb

15、211221111 mnmjminnijijccccccccc111111第27页/共103页第二十八页，共103页。29特例(tl):行矩阵与列矩阵相乘其结果就是(jish)一个数12121 122,()ssssbba aaa ba ba bb思考(sko)：列矩阵和行矩阵相乘的结果是什么？例321 ,1AB BA 设A=(1,2,-3),B=求解：21,2, 31(1)1AB 224611,2, 31231123BA 第28页/共103页第二十九页，共103页。30第29页/共103页第三十页，共103页。31例4.线性变换的矩阵(j zhn)表示yAx111 11221221 12222

16、1 122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xya xaxax设线性变换，111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA12nxxxx12myyyy，则记第30页/共103页第三十一页，共103页。32设方程组为11 112211nna xa xa xb21 122222nna xa xa xb1 122mmmnnma xaxa xb例5.线性方程组的矩阵(j zhn)表示其中设111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为线性方程组的系数(xsh)矩阵第31页/共103页第三十二页，共103页。33则方程组可以(ky)表示为：12mbbBb若令

17、1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb简记(jin j)为AXB12nxxXx第32页/共103页第三十三页，共103页。34例6101 21 1300 51 4A 0341213 11121B求：AB和BA。解：567102621710AB3 23 5 16174624 123762BA思考(sko):由本例的计算你能得到什么结论？第33页/共103页第三十四页，共103页。35一般地，矩阵乘法不满足交换律，即：ABBAm sAs nBm ss nABmns nm sBA1.如果 ， ，则 有意义，当 时， 无意义。2.即使 ， ，则 是m阶方阵，而

18、是n阶方阵；m nAn mBm nn mABn mm nBA3.如果 ， 都是n阶方阵， 如：AB注意(zh y)第34页/共103页第三十五页，共103页。36例 7 设1111A1111B则00,00AB22,22BA特别(tbi)的，当AB=BA时，则称A与B可交换。.BAAB故由例7可知(k zh)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。同样(tngyng)不满足交换律第35页/共103页第三十六页，共103页。37则55,1010ABAC,.AOBC但且例8 设1321B7112C1224A由例8可知矩阵乘法(chngf)一般不满足消去律。第36页/共103页第三十七页，共103页。38数的

19、运算(yn sun)与矩阵运算(yn sun)的比较：在数的乘法(chngf)中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0两个非零矩阵乘积(chngj)可能为O。在矩阵乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D 在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立) (消去律不成立)第37页/共103页第三十八页，共103页。39矩阵的乘法(chngf)满足如下的运算律：(1)()()AB CA BC结合律CABAACBACABCBA )( )() 2(右分配律右分配律左分配律左分配律BAAB)()()

20、 3( 对于单位矩阵，有nmnnmnmnmmAEAAAE ,单位矩阵(j zhn)与任何矩阵(j zhn)可交换简记(jin j)为:AEEAA第38页/共103页第三十九页，共103页。40例10利用矩阵的运算计算第一节例2中4个学生每人(mi rn)的总成绩和各学科平均成绩解：每人(mi rn)的总成绩的矩阵表示式989087728990869897847587858885881111 347363=34334698908772899086989784758785888588各学科平均(pngjn)成绩的矩阵表示式1111， ， ，1492.2588=83.2586.25第39页/共103

21、页第四十页，共103页。41为方阵A的n次幂。一般称nnAAAA 规定：EA 0设k，l为正整数，判断下列各式是否(sh fu)正确？,klk lA AA(),klklAA()kkkABA B。矩阵乘法(chngf)中的特例：方阵的幂思考：（1）两个(lin )对角矩阵的乘积如何计算？ （2）对角矩阵的幂如何计算？ （3）单位矩阵的幂又如何？第40页/共103页第四十一页，共103页。42例1：用矩阵表示课本第2页图1，1中，从第i个城市经过(jnggu)一次中转到第j个城市的单向航线。解：由于四个城市之间的单向航线可用下列(xili)矩阵表示0111100001001010A利用矩阵的乘法可

22、知(k zh)，下列矩阵即为所求22110011110000211A第41页/共103页第四十二页，共103页。43242(),2,42ijijbbi设A则 表示从第 个城市经一次中转到第j个城市 的单向航线数如：b表示从第 个城市经过一次中转到第 个城市 有2条单向航线 分别为412，432。思考：上述问题(wnt)中若要表示从第i个城市能直接或经一 次中转到第j个城市的单向航线，该用什么样的矩阵？（答案： ）2AA第42页/共103页第四十三页，共103页。44n3.设A，B都是n阶方阵,(A+B)2展开式如何?1 1001 1001A2()()AEOAEAEOAEAE 或第43页/共10

23、3页第四十四页，共103页。45练习题2.,1021nANnA求求设设121111.1,32344AB 求10()BA第44页/共103页第四十五页，共103页。46四、矩阵(j zhn)的转置满足(mnz)运算律：(1)()TTAA (2)()TTTABAB(3)()TTAA (4)(),()()TTTn TTnABB AAA定义 把矩阵A的行换成同序数的列,得到的新矩阵称为A的转置矩阵,记作 或 。 TAA111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA1121112222T12mmnnmnaaaaaaaaaA行列(hng li)互换1221()TTTTnnA AAAA A 第45

24、页/共103页第四十六页，共103页。47(),(),(),()ijm sijs nTTijm nijn mAaBbABCcB ADd设记有1sjijkkikca b121211(,)jssjijiisikijkjkkikkjsaadb bbb aa ba所以(suy), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicdjiij ,()TTTTCDABB A即即或或证明(zhngmng)：4）第46页/共103页第四十七页，共103页。48(1) 若方阵(fn zhn)A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为对称矩阵。(2) 若方阵(fn zhn)A满足 AT = A，即 aji = a

25、ij，则称A为反对称矩阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2, n)对称矩阵(j zhn)的特点是: 它的元素以主对角线为对称轴对应相等 。反对称矩阵的特点是: 以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符号相反,且主对角线上各元素均为0 。第47页/共103页第四十八页，共103页。49例8设112,201A210113421B，求 (AB)T。解法(ji f)一：210112113201421AB92180198()2011TAB第48页/共103页第四十九页，共103页。50解法(ji f)二(AB)T = BT AT214121 121003121 98201 1第49页/共10

26、3页第五十页，共103页。51例9 设列矩阵(j zhn) 满足 12,TnXx xx1,TX X .,2,EHHHXXEHnETT 且且阵阵是对称矩是对称矩证明证明阶单位矩阵阶单位矩阵为为证明(zhngmng)2TTTHEXX2TTTEXX2,TEXXH.是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 第50页/共103页第五十一页，共103页。52思考题: 证明: 任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.nA证明(zhngmng)TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以(suy)C为对称矩阵.,

27、TAAB 设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以(suy)B为反对称矩阵.22TTAAAAA 22CB。第51页/共103页第五十二页，共103页。532AOAO，则。第52页/共103页第五十三页，共103页。54定义 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为(chn wi)A的子块,以子块为元素的矩阵称为(chn wi)分块矩阵。 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa列举(lij)三种分块形式：111213142122232431323334(1)aaaaaaaaaaaa11122122AAAAA五、矩阵(j zhn)的分块对行数

28、和列数较高的矩阵经常采用分块法来简化计算，尽量分出一些单位矩阵和零矩阵第53页/共103页第五十四页，共103页。55111213142122232431323334(2)aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334(3)aaaaaaaaaaaa111212122212,rrsssrAAAAAAAAAA同一列的子块的列数相同；同一行的子块的行数相同。第54页/共103页第五十五页，共103页。56 ,4321AAAA bbaaA110101000001 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004（按列分块）,4321 AAAA bbaaA1101

29、01000001 0011aA 其其中中 0002aA 1013bA bA1104 （按行分块）两种特殊(tsh)的分块方式：第55页/共103页第五十六页，共103页。57分块矩阵的运算(yn sun)法则:(1)矩阵(j zhn)A与B为同型矩阵(j zhn),采用同样的分块法,有 111211112121222212221212,rrrrsssrsssrAAABBBAAABBBABAAABBB111112121121212222221122rrrrsssssrsrABABABABABABABABABAB注： 也是同型矩阵。当然，对加法而言，分块法意义不大。ijijAB与第56页/共103

30、页第五十七页，共103页。581111rssrAAAAA1111rssrAAAAA第57页/共103页第五十八页，共103页。59(3) A为ml 矩阵(j zhn),B为ln 矩阵(j zhn),将A,B分成 11111111,trsstttrs tt rAABBABAABB其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别(fnbi)等于B1j,B2j,Btj的行数,则有 1111rssrs rCCABCC1(1,2,., ;1,2,., )tijikkjkCA Bis jr其中第58页/共103页第五十九页，共103页。60简单的说，前一矩阵(j zhn)的列分法与后一矩阵(j zhn)的行分法一致。

31、第59页/共103页第六十页，共103页。61用分块矩阵的乘法(chngf)去理解矩阵乘法(chngf)()()ijm sijs nAaBb，1212()TTnTmAB，则：111212122212()TTTnTTTnijm nTTTmmmnABc 其中(qzhng)，1sTijijikkjkca b 第60页/共103页第六十一页，共103页。621000101001001201,1210104111011120AB例10求AB.解 A,B分块成 110000010012101101EAAE1121221010120110411120BEBBB第61页/共103页第六十二页，共103页。63

32、111112122111211220EBEBEABAEBBABBAB 11422101204311012101112121111BBA 133302141121221BA1010120124331131AB第62页/共103页第六十三页，共103页。64(4)设111212122212rrsssrAAAAAAAAAA则112111222212ssrrsrAAAAAAAAAA (5)设n阶方阵A的分块矩阵为 12mAAAA除主对角线上的子块不为零子块外,其余子块都为零矩阵,且Ai(i=1,2,m)为方阵,则A称为分块对角矩阵(或准对角矩阵). 怎么样就成为(chngwi)对角矩阵？第63页/共1

33、03页第六十四页，共103页。65例如(lr)：321AAA00为准对角(du jio)矩阵。320000140000006000000510000211000012第64页/共103页第六十五页，共103页。66 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算(j sun)技巧与方法.(1) 加法采用相同的分块法采用相同的分块法同型矩阵同型矩阵,(2) 数乘的每个子块的每个子块乘乘需需乘矩阵乘矩阵数数AkAk,(3) 乘法,ABAB若若 与与 相相乘乘 需需 的的列列的的划划分分与与 的的行行的的划划分分一一致致 分块矩阵(j zhn)之间的运算:分块矩阵之间与一般(ybn)矩阵之

34、间的运算性质类似(4) 转置 srAAA11rA11sATsA1TrA1 TsrTTAAA11第65页/共103页第六十六页，共103页。673 可逆矩阵(j zhn)(方阵) 背景：在矩阵的运算中没有除法。从乘法(chngf)的角度看，n阶单位矩阵E在n阶方阵乘法(chngf)中的地位与数1在数的乘法(chngf)中的地位类似，因此可以把数中的倒数关系延拓到矩阵中。定义3.1 对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B，满足AB=BA=E，则称方阵A可逆，且把方阵B称为A的逆矩阵。记作 1BA显然，只有方阵才可能有逆矩阵(j zhn)；如果B是A的逆矩阵(j zhn)，则A是B的逆矩阵(j zh

35、n)；实际上，只需满足AB= E或 BA=E即可（后面有证）。第66页/共103页第六十七页，共103页。68例1 设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB性质1 如果A是可逆的,则A的逆矩阵(j zhn)唯一 。证:设B,C都是A的逆矩阵(j zhn),则一定有逆矩阵(j zhn)的性质B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.第67页/共103页第六十八页，共103页。694,A BAB性质若为同阶方阵且均可逆 则亦可逆 且 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明(zhngmng) 1ABB1 1 A3,0, A

36、kkA性质若 可逆 数则可逆 且 .111 AkkA1112,.AAAA性质若 可逆 则亦可逆 且 .1212 AA推广推广1AmA1 mA1 1A第68页/共103页第六十九页，共103页。70 TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA 01,.kkAAEAA另外 当 可逆时 定义证明(zhngmng) 为正整数为正整数k115,.TTTAAAA性质若 可逆 则亦可逆 且第69页/共103页第七十页，共103页。71性质6 设 ，则，120na aa 112naaa 112naaa 12111naaa11111nnaaa 第70页/共103页第七十一页，共103页。72性质7 设M是一

37、准对角矩阵， 都是可逆矩阵，则M也是可逆矩阵，且12sAAMA (1,2, )iA is 111121sAAMA 类似的，11112111sssAAAAAA 第71页/共103页第七十二页，共103页。73性质8 设A,B,C都是n阶矩阵，且A,B均可逆，则11111ACAA CBOBOB 性质9 设A,B,D都是n阶矩阵，且A,B均可逆，则11111AOAODBB DAB 第72页/共103页第七十三页，共103页。74例 2 设,0112 A.A求 的逆矩阵解:设 是 的逆矩阵, dcbaBA则 dcbaAB0112 1001221001acbdab利用(lyng)待定系数法(以后还有其它

38、方法) , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba第73页/共103页第七十四页，共103页。75又因为(yn wi) 0112 2110 0112 2110,1001 所以(suy).21101 AABAB第74页/共103页第七十五页，共103页。76证明证明, 022 EAA由由 EEAA2 得得()2AEAE.,2,:, 022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例3.可逆可逆故故A .211EAA 第75页/共103页第七十六页，共103页。77022 EAA又由又由 0432 EEAEA E

39、EAEA 3412.EA可逆可逆故故2 EAEA34121 且且.43AE 12 EA类似的， ？类似于因式分解。1(4 )AE思考：是否(sh fu)还有别的方法？第76页/共103页第七十七页，共103页。78例4设A，B，A+B，A-1+B-1都可逆，证明(zhngmng)： (A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A第77页/共103页第七十八页，共103页。79500031 ,021A求A-1 .例5 设解11112231111(5),;,21235AAAA1250000310021AAA11005011 .023A第78页/共103页第七十九页，共103页。80定义(dngy)1

40、对矩阵的行施行下列(xili)三种变换称为矩阵的初等行变换(1) 互换两行(lin xn) 的位置 ( 记作 ri rj );(2) 以不为0的数 k 乘以某一行 ( 记作 k ri );(3) 将某一行的元素乘以数k后加到另一行的对应元素上去 (记作 ri + k rj )。相应地，对矩阵的列可以定义矩阵的初等列变换 记号只需将 r 换成 c即可。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换4 矩阵的初等变换和初等方阵第79页/共103页第八十页，共103页。81矩阵(j zhn)的等价关系满足的性质：(1) 自反性：；A A(2) 对称性：若，则；BAAB(3) 传递性：若，则；A B

41、 B CA C记做AB定义2 若矩阵经过若干次初等变换得到矩阵则称矩阵与矩阵等价ABAB第80页/共103页第八十一页，共103页。82定义3满足下列特点的矩阵称为行阶梯形矩阵（1）矩阵中可画出一条(y tio)阶梯线，阶梯线下方元素全为零（2）每个阶梯只有一行，且阶梯线的竖线后面(hu mian)第一个元素非零其中，元素全部为零的行称为(chn wi)零行，否则称为(chn wi)非零行。定理：任何矩阵都可以通过单纯的初等行变换化成行阶梯形矩阵。例如：120400510000A就是一个行阶梯形矩阵第81页/共103页第八十二页，共103页。8321312rrrr012140243501267

42、B01214000530005332rr012140005300000目前(mqin)，已经化为行阶梯形矩阵了。下面继续进行初等行变换。第82页/共103页第八十三页，共103页。84215r012143000150000012rr170120530001500000观察上述行阶梯形矩阵(j zhn)，满足（1）非零行的第一个非零元素(yun s)都是1（2）每个非零行的第一个非零元素(yun s)所在列的其他元素(yun s)都是零。满足这两个特点的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵可知，任何矩阵都可以通过单纯的初等行变换化成行最简形矩阵。第83页/共103页第八十四页，共103页。85定义(dn

43、gy) 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为(chn wi)初等方阵。 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用非常(fichng)广泛.三种初等变换对应着三种初等方阵. 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 30. 2. 1第84页/共103页第八十五页，共103页。86110111011ijijrrnccE 或记作第 i 行第j行( , )E i j(1)第85页/共103页第八十六页，共103页。87111111iikrncEk或k记作(2)第 i 行( ( )E i

44、k第86页/共103页第八十七页，共103页。88(3)1111k第 i 行第 j 行ijjirkrnkcE或或c cE( i+ j (k)记作第87页/共103页第八十八页，共103页。89关于(guny)初等方阵有下列结论: E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k) 注:上述(shngsh)结论可以利用逆矩阵的定义证明初等方阵都是可逆矩阵(j zhn),并且它们的逆矩阵(j zhn)仍然是初等方阵.其逆矩阵(j zhn)分别是:第88页/共103页第八十九页，共103页。90 1112121222313231112212231

45、32111213212223313233110010000110201000110030010100nnnaaakaaaaaakaaaaaabbbbbbbbbk例计算并观察初等方阵的作用其中 nnnaaakakakaaaa332312222111211 3231222132123111aaaakaakaa 323331222321121311bbbbbbbbb第89页/共103页第九十页，共103页。91定理(dngl)1对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧(zu c)乘以一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧(yu c)乘以一个相应的n阶初等矩阵；设A是一个 m

46、 n 矩阵矩阵乘法与矩阵的初等变换的关系第90页/共103页第九十一页，共103页。92r1 r2343332311413121124232221aaaaaaaaaaaaE(1, 2) A343332311413121124232221aaaaaaaaaaaa100001010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA例如(lr)：第91页/共103页第九十二页，共103页。93定理2: 任意一个(y )mn矩阵都可以经过若干次初等行变换和若干次初等列变换化为如下形状的矩阵：()()() ()rrn rm rrm rn rEOOO1212stPPPQQQ即即存存在在初初等等矩矩阵阵， ， ，和和， ，使使 0002112rtsEQQAQPPP称为(chn