线性代数--第3章学习教案

1、会计学1第一页，共80页。2第 三 章 矩 阵一、 数乘矩阵(j zhn)Definition 11 矩阵的基本(jbn)运算 数 与矩阵 A = (aij) 的乘积，简称数乘矩阵，规定(gudng)为111212122212)nnijmmmnaaaaaaAaaaa（A记作 求数与矩阵乘积的运算称为矩阵的数量乘积.Note : 的区别AA与 数量矩阵E第1页/共80页第二页，共80页。3第 三 章 矩 阵数乘矩阵满足如下(rxi)性质：(设 A,B 为 矩阵， 为数）m n, （1）()()AA 20,AOOO111212122212( 1)nnijmmmnaaaaaaAaaaa （特别(tb

2、i)地 称为(chn wi) A 的负矩阵. 记为 A . 二、 矩阵加法 设有两个 矩阵 那么，矩阵 A 与B 的和记作 A+ B 规定为mn ijijAaBb、11111111nnmmmnmnababA Babab Definition 2必须同型 求两个矩阵和的运算称为矩阵的加法.Note : 矩阵的加法归结为元素的加法.第2页/共80页第三页，共80页。41 矩阵的基本(jbn)运算矩阵(j zhn)加法满足如下性质：（1） A + B = B + A ；（2）A + (B + C) = (A + B) + C（3） A + 0 = 0 + A = A ( 0为与 A 同型的零矩阵(j

3、 zhn) )显然有 A + (-A) = 0. 矩阵的减法定义为 A - B = A + (-B)（4）()AAA（5）()ABAB矩阵的加法与数乘矩阵，统称为矩阵的线性运算第3页/共80页第四页，共80页。51 矩阵的基本(jbn)运算三 、 矩阵(j zhn)乘法 矩阵乘法的定义是从研究 n 维向量的线性变换的需要而规定的一种独特的乘法运算. 矩阵运算中所具有的特殊的规律，主要(zhyo)产生于矩阵的乘法运算.Definition 3 设 是一个 矩阵，是一个 矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 矩阵 ，其中 ()ijAam s()ijBbsn()ijCcm n1 1221

4、sijijijissjikkjkca ba ba ba b(1;1)im jn记为CABNote : （1）AB 中 A 的列数等于 B 的行数；（2）矩阵 C = AB 的行数是 A 的行数，列数为 B 的列数，cij 是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的对应元素乘积的和第4页/共80页第五页，共80页。6第 三 章 矩 阵Example 1设有两个(lin )线性变换111 112 2111 1122133221 122 2221 1222233331 132 2(3.1)(3.2)xb tb tya xa xa xxb tb tya xa xa xxb tb t 若想求出从 t1,

5、 t2 到 y1, y2 的线性变换，可将(3.2)代入(3.1) 即得111 11122113 31111 12122213 322221 11222123 31121 12222223 322()()(3.3)()()ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt11112131221222323xaaayxaaayx11112122122233132xbbtxbbtxbb用矩阵(j zhn)表示111211121311212221222322313211 11122113 3111 12122213 32121 11222123 3121 12222

6、223 322111 11122113 311()(bbaaaytbbaaaytbba ba ba ba ba ba bta ba ba ba ba ba btya ba ba bt11 12122213 322221 11222123 31121 12222223 322)()()a ba ba btya ba ba bta ba ba bt第5页/共80页第六页，共80页。71 矩阵的基本(jbn)运算11 11221121 1222221 122(1).nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa12

7、nxxxx12mbbbb(1) 可简记(jin j)为Axb第6页/共80页第七页，共80页。8第 三 章 矩 阵Example 23 4101211300514A 设 ， 求 AB.4 203123112BSolution :AB 是一个 阶矩阵.3 203101212113031051412AB 该例 BA 没有(mi yu)意义第7页/共80页第八页，共80页。91 矩阵的基本(jbn)运算Example 3设 求 AB、BA.42057621ABSolution :4205761021AB( )42057621BA虽然 AB、BA 有意义(yy)，但不同型，当然不相等4 4020282

8、4010141201014120576第8页/共80页第九页，共80页。10第 三 章 矩 阵Example 4设111120111102ABCSolution :111100111100BA 111122111122AB 即使同型，也未必(wib)相等Note : （1）矩阵乘法不满足交换律，一般 ； ABBA（2） ；000ABAor B（3） 即消去律不成立.ABACBC求 AB、BA、AC .112022110222AC 该例得到(d do)什么结论？第9页/共80页第十页，共80页。111 矩阵(j zhn)的基本运算矩阵(j zhn)乘法满足如下性质：（假设以下(yxi)性质中的运

9、算均可行）（1） 结合律 (AB)C = A(BC) ;Proof （2）分配律 A(B+C) = AB+AC (B+C)A = BA+CA ;（3）数乘结合律()()()k ABkA BA kB(k 是数)对于单位矩阵 E 容易验证：mm nm nm nnm nE AAAEA，简写成 EA = AE = A()()()()E AEAAAEAEA数量矩阵与矩阵的乘积等于数与矩阵的乘积 如果方阵 A 与 B 的乘积满足交换律，即 AB = BA则称 A 与 B 是可交换的.Go on 第10页/共80页第十一页，共80页。12第 三 章 矩 阵矩阵(j zhn)乘法性质（1）的证明Proof :

10、设(),(),()ijm nijn pijp sAaBbCc 则 AB 是 矩阵，(AB)C 是 矩阵，BC 是 矩阵，A(BC) 是 矩阵，所以,(AB)C与A(BC)是同型矩阵. mpm snsm s,(1;1)i jimjs对111()()()()pppnnikkjillkkjillkkjijkklklAB CABca bca b c 11111()()()()ppnnnillkkjillkkjilljijlklkla b cab caBCA BC 故 (AB)C = A(BC)第11页/共80页第十二页，共80页。131 矩阵(j zhn)的基本运算方阵(fn zhn)的幂的定义：11

11、kkAAAAA即 就是 k 个 A 连乘.kA由矩阵(j zhn)乘法满足结合律，有()klk lklklAAAAA( k 为正整数) ( k、l 为正整数) 又由矩阵乘法不满足交换律，一般有()kkkABA B（左边 右边 ）ABABABAABBBExample 5设 A = , 求 A2，A10，A11.12221222111101110( )( ).mmmmmmmmf xa xaxa xamAnf Aa AaAa Aa EnA设为 次多项式，为 阶方阵，则仍为 阶方阵，称为 的矩阵多项式第12页/共80页第十三页，共80页。14第 三 章 矩 阵Solution :23122122900

12、2122120909221221009AE102 55555333()(9)9()9AAEEE55102 55535900900()0900909009009orAAE对角(du jio)阵的性质111055399AAAE AA第13页/共80页第十四页，共80页。151224244824484881625 25AB 设 求 12122424AB ，)ABAB3，(12122424AB =1212242524BA )()()ABA BA BA B3(4455AB122424482448488161 矩阵的基本(jbn)运算第14页/共80页第十五页，共80页。16第 三 章 矩 阵四、 矩阵(

13、j zhn)的转置Definition 4 把 矩阵 的行与列互换，所得到的 矩阵 称为矩阵 A 的转置矩阵，记作 AT .（Transpose）m nijm nAan mjin maijn mb即 AT = 其中(1;1)ijjibain jm矩阵的转置(zhun zh)也是一种运算，有如下性质：（1） (AT)T = A;（2） ( A + B )T = AT+ BT（3） ( A )T= AT（4） ( AB )T = BTATProof 1221()TTTTttA AAAA A(4) 可推广(tugung)Go on第15页/共80页第十六页，共80页。171 矩阵的基本(jbn)运算

14、( AB )T = BTAT 的证明(zhngmng)Proof :设 ()()ijm lijl nAaBb，记()()TTijm nijn mABcB Ad，则 AB 是 矩阵,m nn m(AB)T 是 矩阵. 又BT 是 矩阵，AT 是 矩阵,n llm则 BTAT 是 矩阵.即(AB)T 与BTAT是同型矩阵. n m则 (AB)T 的（i，j）元素(yun s)是1ljijkkikca b而 BTAT 的（i，j）元素是1lijkijkkdb aijjidc所以，( AB )T = BTAT 第16页/共80页第十七页，共80页。18第 三 章 矩 阵 Example 9设21011

15、2113421AB，求 .TABSolution :210112113921421AB921TAB也可以(ky)121411122031TTAB 214191121203121TTTABB A 第17页/共80页第十八页，共80页。191 矩阵(j zhn)的基本运算Example 10 设 B 是一个 矩阵，证明 BTB，BBT 都是对称阵.m nDefinition 5 设 为 n 阶方阵，如果满足 AT = A，即 则称 A 为对称阵. ()ijn nAa(1 )ijjiaaijn， 如果满足 AT = -A，即 则称 A 为反对称阵. (1 )ijjiaaijn ， 显然，对称阵的元素

16、以主对角线为对称轴对应相等,对反对称阵有0 (1 )iiainProof :()TTTTTTTB BnnB BBBB B是方阵，且（）TB B是对称阵.同理可证 BBT 是对称(duchn)阵.第18页/共80页第十九页，共80页。20第 三 章 矩 阵五、 方阵(fn zhn)的行列式Definition 6 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 A 的行列式，记作 或 .detAANote : 只是对 n 2 个数构成的数表，加上了运算符，成为一个(y )数（行列式）. (相当于 n 2 元函数 ) 由 A 确定 的运算满足：(A、B 等是 n 阶方阵,

17、是数）A（1）TAA（2）nAA（3）ABA B1212kkA AAA AAkkAAProof特别(tbi)地Note :1+A BAB、；ABBAABBA ABn2、，但（ 、 为阶方阵）第19页/共80页第二十页，共80页。211 矩阵的基本(jbn)运算Proof :设()()()ijijijAaBbABCc，记 2n 阶行列式111111110011nnnnnnnnaaaaADbbEBbb由第一章例 ,DA B1nijikkjkca b而在 D 中以 b1j 乘第1列，b2j乘第2列,bnj乘第n 列，都加到第n+j 列上(1 )jn有,0ACDE再对 D 的行作(1 )jnjrrjn

18、有0( 1),nEDAC ( 1)( 1) ( 1)nnnDE CCCABABA B 第20页/共80页第二十一页，共80页。22第 三 章 矩 阵 Example 11设 ， 计算abcdbadcAcdabdcba2.AA，Solution :TabcdbadcAcdabdcba由于TAA2TTAA AAA222222222222 422222222000000()000000abcdabcdabcdabcdabcd22222422222()()AabcdaAabcd 项的系数为正，第21页/共80页第二十二页，共80页。23第 三 章 矩 阵 0a 111a aaa1a()EAAEA11A

19、AA AE 在矩阵的运算中,已定义了加、减、乘，而数还有除法，即乘法的逆运算。对数a 有 则称 为a 的倒数，或a 的逆。 在矩阵的乘法中，单位矩阵 E 的作用相当于数的乘法中的 1， 是否存在一个矩阵 A-1 使得在ax= b中x=a -1b在Ax= b中x=A-1b一、 逆矩阵(j zhn)的概念2 逆矩阵(j zhn)第22页/共80页第二十三页，共80页。242 逆矩阵(j zhn)Definition 7 行列式 的各元素的代数余子式所构成的方阵 称为方阵A的AijA112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA伴随矩阵(j zhn)（adjoint matrix）,简称伴

20、随阵.注意(zh y)排列对于 有结论:AA AAAA EProof :设 ()ijAa记()ijAAb则11220ijijijininAijba Aa Aa Aij000000AAAAA EAA AA E类似可证第23页/共80页第二十四页，共80页。25第 三 章 矩 阵Definition 8 设A 是 n 阶方阵(fn zhn)，若存在 n 阶方阵(fn zhn) B 使得 AB = BA = E则称矩阵(j zhn)A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵(j zhn). 记作 A-1 即 A-1= B1A 由定义可知，A、B 的地位是平等(pngdng)的，所以，也可称 B 是可逆的，A

21、 是B 的逆阵。逆阵的唯一性设 B、C 都是 A 的逆阵，则B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C第24页/共80页第二十五页，共80页。262 逆矩阵(j zhn)二、 矩阵(j zhn)可逆的条件 Theorem 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 ,且如果 A 为可逆阵，则有0A 11AAA给出求A-1的方法(fngf)Proof :若 A 为可逆，则 AA-1 = E两边取行列式 得110A AEA若0A 由 可知A AAAA E11AAAAEAA所以，A 可逆.且11AAA当 时，称 A 为奇异的、退化的、降秩的；否则，称 A 为非奇异的、非退化的、满秩的.

22、0A 第25页/共80页第二十六页，共80页。27第 三 章 矩 阵Example 12求矩阵 的逆矩阵.321111101ASolution :20,AA可逆111213101AAA ，212223222AAA ，313233121AAA ，1121110222121AAANote : 求逆矩阵易出错，但可验证1AAE1()?A A AAAA E132111()1112101AAA 2213A3-2-12A224013A 13-21-124A2003A1102103A第26页/共80页第二十七页，共80页。282 逆矩阵(j zhn)Corollary 如果(rgu) AB = E (或 B

23、A = E )，则 A、B 皆可逆，且 A、B 互为逆阵.Proof :由 AB = E 1AB00AB，故所以(suy)，由 Th 1知，A、B 皆可逆.于是 AB = E A-1AB = A-1E B = A-1 AB = E ABB-1 = EB-1 A = B-1两式只需成立一式A AAAA E100,AAAAA且第27页/共80页第二十八页，共80页。29第 三 章 矩 阵Example 13设方阵(fn zhn) A 满足 A2 3 A 10 E = 0证明 A、(A 4 E) 都可逆，并求它们(t men)的逆矩阵.Proof :由 A2 3 A 10 E = 0 A (A 3E

24、) = 10 E即A-3是没有(mi yu)意义的1310AAEE由 Co 知 A 可逆且11310AAE再由 A2 3 A 10 E = 0 (A+ E)(A 4E) = 6 E即146AEAEE故（A 4E）可逆且11(4 )6AEAECo 的应用：1、证矩阵可逆；2、求矩阵的逆.第28页/共80页第二十九页，共80页。302 逆矩阵(j zhn)设线性方程组11 11221121 1222221 122.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb记为 Ax = b如果0A ，则 A 可逆.于是(ysh)A-1(Ax) = A-1bx = A-1b11

25、1AAxA bAA 这正是 Cramer 法则(fz)给出的公式，被称为Cramer 法则(fz)的矩阵形式.112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA第29页/共80页第三十页，共80页。31第 三 章 矩 阵12153102211212112Example 14531112b 已知矩阵方程 Ax = b 的系数矩阵 A 由Ex. 12 给出，求矩阵(j zhn)方程的解.Solution :已知 A 可逆， 112110222121A1112121223132xxxxxA bxx32201112第30页/共80页第三十一页，共80页。322 逆矩阵(j zhn)三、 可逆矩阵

26、(j zhn)的性质 设矩阵(j zhn) A，B 为 n 阶可逆矩阵(j zhn)，则有以下性质：（1）A-1也可逆. 且 (A-1) -1 =A ;（2）数 k 0 , 则 kA 可逆，且 ；111()kAAk（3）AT 可逆，且 (AT) -1 = (A-1)T ;（4）AB 可逆，且 (AB) -1 = B-1A-1;（5）11AAProof Proof Proof 该性质可推广到多个可逆阵的乘积11111221()mmA AAAA A与矩阵乘积的转置有类似的结构Go on当0A 可定义 A0 = E，A- k=(A-1)kkN第31页/共80页第三十二页，共80页。33第 三 章 矩

27、 阵（3）AT 可逆，且 (AT) -1 = (A-1)T 的证明(zhngmng)Proof :11()()TTTTAAA AEE由 Co 知AT 可逆，且 (AT) -1 = (A-1)T Go back证 A-1=B即证 AB=E第32页/共80页第三十三页，共80页。342 逆矩阵(j zhn)（4）AB 可逆，且 (AB) -1 = B-1A-1 的证明(zhngmng)Proof :111111()()()AB B AA BBAAEAAAE由 Co 知AB 可逆，且 (AB) -1 = B-1A-1Go back第33页/共80页第三十四页，共80页。35（5） 的证明11AAPr

28、oof :111AAEA A111AAA因此(ync)Go back第 三 章 矩 阵第34页/共80页第三十五页，共80页。36Note 1、 A、B 可逆，A+B 未必可逆；即使 A+B 可逆，一般 111()ABAB如：显然(xinrn)，A、B、C 可逆，但2000AB不可逆.101010010104ABC2003AC可逆， 但111()ACAC1102()103AC 11001AA110104C2、若 A 可逆 ，则 AB = AC B = C2 逆矩阵(j zhn)111() =ABAB？第35页/共80页第三十六页，共80页。37Example 15Solution :设 A 为

29、三阶(sn ji)矩阵, 且 , 求 .12A 1*32AAA AAAA E方法(fngf)一123A 1*32AA16.27 1*32AA8127A 1*32AA16.27 *123AAA*43A 1*123AA123A 1*32AA3123A 1132AA A则方法(fngf)二则*43A 3243A 3*43A 第 三 章 矩 阵第36页/共80页第三十七页，共80页。38第 三 章 矩 阵 在处理较高阶的矩阵时，常把一个大矩阵看成是由若干个小矩阵组合而成. 这些小矩阵可称为原矩阵的子块或子阵，用子阵表示矩阵的方法称为矩阵的分块表示，这使原矩阵显得(xin de)结构简单而清晰，能简化运

30、算. 这不仅是线性代数中的一个较为有效的方法，也是数学建模的一个重要思想.3 分块矩阵(j zhn)一、 分块矩阵(j zhn)的定义Definition 9 一个 矩阵 A 被纵线和横线分成若干个低阶矩阵，每个低阶矩阵称为矩阵A的子块，以所生成的子块为元素的矩阵称为矩阵 A 的分块矩阵.m n第37页/共80页第三十八页，共80页。393 分块矩阵(j zhn)如：1000010012101101A1000010012101101A111213212223AAAAAA1110A 120010A1300A 2111A 222110A2301A 2120EAENote :1、纵、横线必须(bx)

31、划到底；2、分块的方式很多，根据矩阵结构和需要(xyo)确定.11211A第38页/共80页第三十九页，共80页。40第 三 章 矩 阵二、 分块矩阵(j zhn)的运算分块矩阵有与矩阵类似的运算(yn sun)规则1、加法(jif)和数乘运算 设 A、B 是两个 矩阵，用同样的方法分块，得 即 是同型矩阵， mn()()ijs tijs tAABB、ijijAB与则()()ijijs tijs tABABkAkA2、乘法 设 A 为 矩阵，B 为 矩阵，如果 A 分块为 分块矩阵 ，B 分块为 分块矩阵 且 A 的列的分块法与 B 的行的分块法完全相同。则m llns t()ijs tAtr

32、()ijt rB1211121111211212222122221212ttrtrsssttttrtjjjAAABBBjAAABBBjABAAABBBj 列列列行行行1()(1 ,1 )tijs rijikkjkCCCA Bis jr第39页/共80页第四十页，共80页。413 分块矩阵(j zhn) Example 16设10000320100100013001121001000011010010002000100100AB、计算(j sun) AB .Solution :B的行分法与A 的列分法一致(yzh);列可任意分.12133 23200130BEBBE则22 3121333 200

33、EBEABAEE 1131 21002403 20110 104401302000 1641ABE22 31131201120EAAAE3201013001240124401164120AB 故121131BEABEA第40页/共80页第四十一页，共80页。42第 三 章 矩 阵3、转置(zhun zh)设111212122212ttssstAAAAAAAAAA则112111222212TTTsTTTTsTTTttstAAAAAAAAAA4、求逆 设 A 为 n 阶方阵，如果 A 的分块矩阵只有(zhyu)在主对角线上有非零子块，其余子块都是零矩阵，且非零子块都是方阵，即Definition

34、1012tAAAA其中 分别是 阶方阵,(1 )iA itir则称 A 为分块对角阵或准对角阵1tiirn12tAdiag AAA记作第41页/共80页第四十二页，共80页。433 分块矩阵(j zhn)11AAA12tAA AA0 (1 )iAitA 可逆的充分必要条件是 且111121tAAAA如：1200490000310021A19200410000110023A11211222AAAAA112200BB111249B-21111119214 1BB11B第42页/共80页第四十三页，共80页。44第 三 章 矩 阵Example 17设0BACDB、D 皆为可逆矩阵(j zhn)，证

35、明 A 可逆，并求 A-1.Proof :因此(ync)， A 可逆.AB D，而 B、D 皆为可逆矩阵(j zhn)，即 ，00BD0A设1XYAZT其中，X 与 B ，T 与 D 分别是同阶方阵.这是求逆的一个方法于是0BXYCDZTBXBYCXDZCYDT00kmEE得kBXE0BY 0CXDZ1DZCXCB 1,XB100YB11ZD CB mCYDTEmDTE1TD111110BAD CBD第43页/共80页第四十四页，共80页。453 分块矩阵(j zhn)如：2100011000121000301030001A将 A 分块为0BACD其中(qzhng)2111B3DE可逆1111

36、2B13DE111001213110100336120013033D CB 1111111000120000131003601033001BAD CBD第44页/共80页第四十五页，共80页。46第 三 章 矩 阵4 矩阵(j zhn)的初等变换一、矩阵(j zhn)的初等变换与矩阵(j zhn)的等价Definition 11 下面三种变换称为矩阵的初等列变换：（1）交换 A 的第 i 列和第 j 列的位置 ；（2）用非零常数 k 乘以 A 的第 i 列各元素；（3）将 A 的第 i 列各元素的 k 倍加到第 j 列对应元素.分别记为： 、 、 .ijccickjickc列 column矩阵

37、的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换第45页/共80页第四十六页，共80页。474 矩阵(j zhn)的初等变换Definition 12 若矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B ，则称矩阵 A 与 矩阵 B 等价，记作 .AB可用于分类;AA1、反身性：ABBA，2、对称性：若 则 ；3、传递性：若 ，且 ，则 . ABBCAC任一 mn 非零矩阵 A=(aij) 必可通过初等变换化为标准形 .Go onGo on初等变换会改变矩阵的可逆性吗？第46页/共80页第四十七页，共80页。48第 三 章 矩 阵12111211214112140115124622400013369790000

38、0rBB 1210104011030001300000rBB 方程组是否(sh fu)有解由此判断由此求解方程组231010410000011030100000001300100000000000000rCEBB 称为矩阵B 的(等价)r = ?矩阵的秩Go back第47页/共80页第四十八页，共80页。494 矩阵(j zhn)的初等变换二、初等矩阵1()ijijrrcc或者11011( ,)11011iE ijj第 行第 行0k 11( ( )11E i kki第 行0k ()ijjirkrckc或11( ( )11kiE ij k 第 行第j行1( , )( , )E i jE i j

39、11( ( )( ( )E i kE ik1( ( )( ()E ij kE ijk第48页/共80页第四十九页，共80页。50第 三 章 矩 阵对 矩阵 A ,施行一次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵;对 A 施行一次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.mn001123789010456 = 456100789123123001321456010 = 654789100987Corollary 1m n 设 A、B 为 矩阵，则 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，使得 B = PAQ .Proof

40、第49页/共80页第五十页，共80页。4 矩阵(j zhn)的初等变换Corollary 1 的证明(zhngmng)Proof :A 与 B 等价(dngji) A 经过有限次初等变换（不妨设为 s 次行变换、t 次列变换）变成 B ；定义存在 m 阶初等矩阵 Pi (i = 1 s ), n 阶初等矩阵 Qj ( j = 1 t)，使得 P1P2Ps A Q1Q2Qt = BTh 3存在 m 阶可逆矩阵 P , n 阶可逆矩阵 Q ，使得 PAQ = B 其中 P = P1P2Ps 、Q = Q1Q2Qt .可逆矩阵性质（4）第50页/共80页第五十一页，共80页。52第 三 章 矩 阵C

41、orollary 2n 阶方阵(fn zhn) A 可逆的充分必要条件是存在(cnzi) n 阶初等矩阵 P1，P2,，Ps，Q1，Q2，Qt使得(sh de)2112stnPP PAQQQEProof Corollary 3矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可表示成有限个初等矩阵的乘积 .充分性显然，必要性可由 Co 2 的证明过程得.1111111221sntAP PP E QQ Q1 21111121sssrAPPPEP PP P AEAE Corollary 4可逆矩阵 A 仅施行初等行变换（或列变换）即可化为单位矩阵.Go on第51页/共80页第五十二页，共80页。534 矩阵(

42、j zhn)的初等变换Corollary 2 的证明(zhngmng)Proof : 由 Co 1的证明(zhngmng)与Th 2 知，存在 n 阶初等矩阵11,stPP QQ11000rstEPPAQQ 使得,rn110000rstEPPAQQ若 则将上式两边取行列式，有显然，上式左边不等于零，矛盾 . 所以，r = n .2112stnPP PAQQQE由531111111221sntAP PP E QQ Q则所以，A 可逆111111111111122112211sntsntAP PP E QQ QPPPEQQQ、2、可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵初等变换不会改变矩阵的可逆性.第52页/共

43、80页第五十三页，共80页。第 三 章 矩 阵三、求逆矩阵(j zhn)的初等行变换法21,sQQ Q AE121,sAQQ Q12,sQ QQ2nn,A E1,A EE A 初等行变换1212121,.,(,.,.,),sssQQ QA EQQ Q AQQ QE A1AEEA 初等列变换第53页/共80页第五十四页，共80页。4 矩阵(j zhn)的初等变换Example 18 用初等(chdng)行变换求矩阵 的 逆矩阵.123215133ASolution:21312rrrr 123100215010133001,A E 12310003121001010123323rrrr 12310

44、00101 0 10015 13313( 1)3rrr 1201439010101001513122rr 1 0 012370 1 01010 0 151311237101513ANote: 1、只能(zh nn)作行变换；2、可通过 A-1A = E 验证 .第54页/共80页第五十五页，共80页。第 三 章 矩 阵对矩阵(j zhn)方程 AX=B，如果 A 是可逆矩阵(j zhn)，则有唯一(wi y)解：1XA B1,A BE A B 初等行变换21311122 ,2013225AB,A B 2131112220132251221312rrrrrr 122200313105005322

45、3253rrrrr 1222001001001321232 2r rr 100420100100132所以，A 可逆，且 是方程的唯一解 .1420132XA B第55页/共80页第五十六页，共80页。第 三 章 矩 阵 给定一个(y )方程组由 m 个方程组成，但本质有几个方程呢？121212231231462xxxxxx12121212423123146232xxxxxxxx方程组有解吗？5 矩阵(j zhn)的秩矩阵(j zhn)的秩是矩阵(j zhn)的一个重要的数字特征 .它反映了矩阵的内在特征，在线性代数的理论上占有非常重要的地位 . 它是讨论矩阵的可逆性、向量的线性表示与线性相关

46、、线性方程组解的理论等问题的主要依据，起着无可比拟的作用.Definition 14一、矩阵秩的定义 在 矩阵 A 中，任取 k 行和 k 列 (k m, k n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素按原有顺序构成的一个 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式. m n281787543019351365如 ：mn 矩阵 A 的 k 阶子式共有 .kkmnCC第56页/共80页第五十七页，共80页。5 矩阵(j zhn)的秩Definition 15 Am n1、由行列式性质(xngzh)，定义中说 r+1 阶子式全为零，则所 有大于 r+1 阶子式（如果有）也全为零，所以称 D 为矩

47、阵 A 的最高阶非零子式.第57页/共80页第五十八页，共80页。第 三 章 矩 阵k ( )R Ak( )R Ak( )R Akdet0( )AR An 称 R(A) = n 的 n 阶方阵(fn zhn) A 为满秩矩阵；否则，称 为降秩矩阵.( )R An、A为 n 阶方阵，则第58页/共80页第五十九页，共80页。5 矩阵(j zhn)的秩Example 20 求矩阵 A= 的秩 .124124823620Solution：12:0( )224noteR A不能8240( )220R A 在矩阵 A 中共有4个三阶子式，因 A 的第一、第二行对应成比例(bl)，而任一三阶子式必包含第一

48、、二行 所以，所有三阶子式都为零. 从而 R(A) = 2 .5、R ( AT ) = R ( A ) ；6、 其中 为常数 .00()( )0RAR A第59页/共80页第六十页，共80页。第 三 章 矩 阵考察(koch)下面两个矩阵的秩21112112144622436979B1112140115120001300000B对 B 可经复杂(fz)的计算，得 R(B)=3而对 B1 非常容易11101510001 R(B)=3即非零行数 初等变换猜想(cixing)：矩阵经初等变换秩不变如果猜想成立，则化矩阵为阶梯形来求秩是方便的B1是阶梯形矩阵第60页/共80页第六十一页，共80页。5

49、矩阵(j zhn)的秩二、矩阵(j zhn)秩的计算Theorem 4初等变换不改变(gibin)矩阵的秩 .Proof :先证 A 经一次初等行变换变为B ，则( )( )R AR B设 R(A) = r，且 A的某个r 阶子式0D ijirrrkABAB 当 或 时，在 B 中总能找到与D 相对应的子式 ，由于 或 或DkD =D DDD D0( ).DR Br因此， 从而这是因为 A 经一次初等行变换变为 B ，则B 也可经一次初等行变换变为 A，所以从而既然每一次初等行变换秩不变，则有限次也不变( )( )R BR A( )( )R BR AijrkrAB 当 时，分三种情形讨论：第6

50、1页/共80页第六十二页，共80页。第 三 章 矩 阵( )R Br(1) D 中不含 ri ；(2) D 中同时(tngsh)含 ri 、rj ；(3) D 中含 ri ，但不含 rj .对 (1)、(2) 情形(qng xing)，显然 B 中与 D 对应的子式1ijijDrkrrk rDkD对情形(qng xing) (3)0D D =100( )DD DR Br=；如果 ，则 有10D ( )R Br如果 ，则因 D1 中不含 ri 知，A 中有不含 ri 的 r 阶非零子式，由情形 (1) 第62页/共80页第六十三页，共80页。5 矩阵(j zhn)的秩 综上,证明了若 A 经一次

51、初等行变换变为 B ,则 , 即可知 A 经有限次初等行变换变为 B ,也成立.( )( )R AR B 由于 B 也可经有限次初等行变换变为 A,故也有 . 因此,( )( )R BR A,( )( )ABR AR B 有限次初等行变换则 类似(li s)可证,( )( )ABR AR B 有限次初等列变换则Corollary 2 矩阵 A 的标准(biozhn)形是唯一的.总之，若 A 经有限次初等变换变为 B，则 R(A) = R(B) .Corollary 1121121000rssttEPPP PAQQQ Q等矩阵 P1，P2，Ps 与 n 阶初等矩阵 Q1，Q2，Qt，使得m nA

52、设 是秩为 r 矩阵，则存在 m 阶初第63页/共80页第六十四页，共80页。第 三 章 矩 阵Example 21 求矩阵(j zhn) A= 的秩，并求一个最高阶非零子式 .11012121360112401111Solution：1101201124011240111111012121360112401111A21rr 3242rrrr 1101201124000000003334rr 11012011240003300000( )3R A3345340ACC的 阶子式共有要有规律(gul)123450124AA记，说明(shumng)A0中有3阶非零子式11112330011 即为所求

53、111012003000A0 的行阶梯形矩阵为第64页/共80页第六十五页，共80页。5 矩阵(j zhn)的秩Example 22 设 求矩阵 A 及矩阵 B= ( A，b ) 的秩 .12211248022423336064Ab ，Solution ：( , )( , )rBA bBA b 若 是行阶梯形矩阵,A则 是 A 的行阶梯形矩阵 .B 12211248022423336064213141223rrrrrr 12211004200021500631122110021000005000012324223rrrrr 3435rr r 12211002100000100000因此(ync

54、)，R(A) = 2，R(B) = 3 .A、B作为方程组的系数、增广(zn un)矩阵，则无解R(A)与R(B)的关系第65页/共80页第六十六页，共80页。第 三 章 矩 阵23Solution ：32r r132131rrrrrr 1111112110110 11设 A = .111111试问 为何值时，R(A) = 1，R(A) = 2，R(A) = 3 .方法一 利用初等(chdng)行变换将 A 化为行阶梯形A = 1101100(2)(1)讨论(toln)： 1101100(2)(1)10(2)(1)0 121、要使 R(A) = 3，则 即 且111000000112、当 时，

55、把 代入以上矩阵，得 A112033000223、当 时，把 代入以上矩阵, 得 A则 R(A) = 1;则 R(A) = 2 .第66页/共80页第六十七页，共80页。5 矩阵(j zhn)的秩方法(fngf)二0D D =211112121033112000A111111111000 ,111000A2(1) (2)A所以(suy)012A 1、当 ，即 且 时，R(A) = 3;112、当 时，把 代入矩阵 A ，得则 R(A) = 1；22 3、当 时，把 代入矩阵 A ，得， 则 R(A) = 2 .因为第67页/共80页第六十八页，共80页。第 三 章 矩 阵三、矩阵(j zhn)

56、秩的性质Property 1 若 ，则R(A) = R(B)，即等价矩阵有相同的秩 .ABmax( ), ( )( )( ).R A R BR A BR AR B但反之(fnzh)不然 .Property 2Property 3什么条件(tiojin)成立？ 设 A 为 mn 矩阵，P 为 m 阶可逆矩阵，Q 为 n 阶可逆矩阵，则 R(PAQ) = R(PA) = R(AQ) = R(A) .设 A 为 ms 矩阵，B 为 mt 矩阵，则( )( )1R AR AR A特别地， , 其中 为 m1 矩阵 .第68页/共80页第六十九页，共80页。5 矩阵(j zhn)的秩Property 4

57、Property 5 设 A，B 均为 mn 矩阵，则()( )( ).R ABR AA B()min( ), ( ) .R ABR A R B设 A 为 ms 矩阵(j zhn)，B 为 sn 矩阵(j zhn)，则Property 6设 A 为 ms 矩阵(j zhn)，B 为 sn 矩阵(j zhn)，且( )( )R AR BsAB = 0，则Property 7*( )()1( )10( )1nR AnR AR AnR An若若若设 A 为 n (n2) 阶矩阵，则第69页/共80页第七十页，共80页。第 三 章 矩 阵24设 A 为 n 阶矩阵(j zhn)，满足 A2 3A 4E

58、 = 0证明(zhngmng)：R(A + E) + R(A 4E) = n .Proof :R(A + E) + R(A 4E)= R(A + E) + R(4E A) R(A + E) + (4E A)= R(5E)= R(E) = n .即 R(A + E) + R(A 4E) n .又 (A + E)(A 4E) = A2 3A 4E = 0即 R(A + E) + R(A 4E) n .综上，得 R(A + E) + R(A 4E) = n .Prop 4: 设 A，B 均为 mn 矩阵(j zhn)，则()( )( ).R ABR AA BProp 6: 设 A 为 ms 矩阵，B

59、 为 sn 矩阵，且AB = 0，则( )( )R AR Bs第70页/共80页第七十一页，共80页。第 三 章 矩 阵6 线性方程组解的理论(lln)11 11221121 1222221 122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb 含有(hn yu) m 个方程，n 个未知量的线性方程组的一般形式为可简记(jin j)为1(1,2,.,)nijjija xbim1212,() ,TTijnmm nAaxxxxbbbb记 A ，B = (A，b) 分别为线性方程组的系数矩阵、增广矩阵 .其矩阵形式为 Ax = b (2)如果 b0，则称 (2)为非齐次线性方程组；如果 b = 0 ，则称(2)为齐次线性方程组 .第71页/共80页第七十二页，共80页。6 线性方程