3、不变因子ppt课件

1、1;.21、定义定义级行列式因子（级行列式因子（determinant divisor）.k的首项系数为的首项系数为1的最大公因式的最大公因式 称为称为 的的 ( ),kD ( )A 中必有非零的中必有非零的 级子式，级子式， 中全部中全部 级子式级子式( )A kk( )A 设矩阵设矩阵 的秩为的秩为 ，对于正整数，对于正整数 ， rk1,kr ( )A 若秩若秩 ，则，则 有有 个行列式因子个行列式因子. ( )Ar r( )A 3各级行列式因子各级行列式因子.（1等价矩阵具有相同的秩与相同的等价矩阵具有相同的秩与相同的（即初等变换不改变（即初等变换不改变 矩阵的秩与行列式因子）矩阵的秩与

2、行列式因子） 2、有关结论有关结论4证：只需证，证：只需证， 矩阵经过一次初等变换，秩与行矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的列式因子是不变的设设 经过一次初等变换变成经过一次初等变换变成 ， 与与( )B ( )A ( )f 分别是分别是 与与 的的 k 级行列式因子级行列式因子( )A ( )g ( )B 下证下证 ，分三种情形：，分三种情形：fg 5此时此时 的每个的每个 级子式级子式k( )B 或者等于或者等于 的某个的某个 级子式，级子式，k( )A 或者与或者与 的某个的某个()A 因此，因此， 是是 的的 级子式的公因式级子式的公因式.k( )B ( )f ,( )(

3、).i jAB 1 1）( )( ).fg从而从而 k级子式反号，级子式反号，6 ( )( ).i cAB 2）或者等于或者等于 的某个的某个 级子式，级子式，( )A k此时此时 的每个的每个 级子式级子式k( )B 因此，因此， 是是 的的 级子式的公因式级子式的公因式.( )f k( )B ( )( ).fg从而从而 或者等于或者等于( )A 级子式的级子式的 c 倍倍.k的某个的某个7此时此时 中包含中包含 两行的和不包含两行的和不包含()B , i j .ijAB 3） 级子式与级子式与 中对应的中对应的 级子式相等；级子式相等；kk( )A 中包含中包含 行但不包含行但不包含 行的

4、行的 级子式，级子式，kji( )B 按按 行分成行分成 的一个的一个 级子式与另一个级子式与另一个 级子式级子式( )A ikk的的 倍的和，倍的和，( ) 即为即为 的两个的两个 级子式的组合，级子式的组合，( )A ki行的那些行的那些8从而从而 ( )( ).fg因此因此 是是 的的 级子式的公因式，级子式的公因式，k( )f ( )B 同理可得，同理可得，( )( ).gf( )( ).fg 9（2）若）若 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为 ( )A 1( )( )( )00rddD 其中其中 为首为首1多项式，且多项式，且1( ),( )rdd 1( )( ),1,2,1,iiddi

5、r 则则 的的 级行列式因子为级行列式因子为( )A k12( )( )( )( ),1,2,.kkDdddkr 10证：证： 与与 等价，等价，( )A ( )D 完全相同，则这个完全相同，则这个 级子式为零级子式为零.k在在 中，若一个中，若一个 级子式包含的行、列指标不级子式包含的行、列指标不k( )D ( )( )AD 与与 有相同的秩与行列式因子有相同的秩与行列式因子.12(1, ,),ki iir 级子式级子式所以只需考虑由所以只需考虑由 行与行与 列组成的列组成的12, ,ki ii12, ,ki iik1( )( ).kiidd 即即11而这种而这种 级子式的最大公因式为级子式

6、的最大公因式为k所以，所以， 的的 级行列式因子级行列式因子( )A k12( )( )( )( ),1,2,.kkDdddkr 12( )( )( ).kddd 12证：设证：设 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为 ( )A （3）矩阵的标准形是唯一的矩阵的标准形是唯一的. 1( )( )( )00rddD 其中其中 为首为首1多项式，且多项式，且1( ),( )rdd 1( )( ),1,2,1,iiddir 13于是于是 211211( )( )( )( ),( ),( )( )( )rrrDDdDddDD 即由即由 的行列式因子所唯一确定的行列式因子所唯一确定. 1( ),( )rdd (

7、 )A 由（由（2），）， 的的 级行列式因子为级行列式因子为k( )A 12( )( )( )( ),1,2,.kkDdddkr 所以所以 的标准形唯一的标准形唯一.( )A 14（4）秩为）秩为 的的 矩阵的矩阵的 个行列式因子满足：个行列式因子满足：r r1( )( ),1,2,1.kkDDkr 151、定义定义 矩阵矩阵 的标准形的标准形( )A 称为称为 的的不变因子（不变因子（invariant divisor）.( )A 12( ),( ),( )rddd 的主对角线上的非零元素的主对角线上的非零元素1( )( )( )00rddD 16（1）矩阵矩阵 、 等价等价 ( )( )

8、AB( )( )AB、 有相同的不变因子有相同的不变因子. 2、有关结论有关结论( )( )AB、 有相同的行列式因子有相同的行列式因子. 17有相同的标准形，有相同的标准形，证：必要性显然证：必要性显然. 只证充分性只证充分性. 所以所以 与与 等价等价.( )( )AB若若 与与 有相同的行列式因子，则有相同的行列式因子，则( )( )AB与与 也有相同的不变因子，也有相同的不变因子，( )( )AB( )( )AB从而从而 与与18则则 ， 为一非零常数为一非零常数.( )Ad d 的第的第n个行列式因子个行列式因子 ( )A 1.nD 证：若证：若 可逆，可逆，( )A 因子全部为因子

9、全部为1， 的标准形为单位矩阵的标准形为单位矩阵 ，即，即E( )A 与与 等价等价.E( )A （2）若若 的的 矩阵矩阵 可逆，则可逆，则 的不变的不变nn ( )A ( )A 191( )( ),1,2,1.kkDDkn 又又 的的n个行列式因子满足个行列式因子满足: ( )A ( )1,1,2, .kDkn 从而不变因子从而不变因子 1( )( )1,1,2,( )kkkDdknD 所以，所以， 的标准形为的标准形为 ( )A .E20 可逆可逆 与与 等价等价.( )A E( )A 21矩阵的乘积矩阵的乘积.（3可逆可逆 可表成一些初等可表成一些初等( )A ( )A 证：证： 可逆

10、可逆 与与 等价等价( )AE ( )A 存在初等矩阵存在初等矩阵11,stPP QQ使使11( )stAPP EQQ 11.stPPQQ 22存在一个存在一个 可逆矩阵可逆矩阵 与一个与一个 可逆可逆( )P ss nn ( )( ) ( ) ( ).BPAQ 两个两个 的的 矩阵矩阵 、 等价等价 sn ( )( )AB矩阵矩阵 ，使，使 ( )Q 23例例1 1 求求 矩阵的不变因子矩阵的不变因子 解：解： 的非零的非零1级子式为级子式为: ( )A 22,1. 11D 221000000)() 1 ( A24( )A 的非零的非零2级子式为级子式为: 2201 ,0 23201.01 ,) 1() 1(0022 21 .D 25又又 3231.DA所以，所以， 的不变因子为的不变因子为 ： A 211211,1 ,DdDdD 23321.DdD 261002101,021 解：解： 31.D 200