柯西不等式及其应用21页

1、湖北师范学院文理学院本科毕业论文本科毕业论文论文题目柯西不等式及其应用作者姓名邓丽芬指导老师严慧 讲师所在院系数学系专业名称数学与应用数学完成时间2015 年 5 月 21 日编号2015010304研究类型理论研究分类号O17本科毕业论文诚信承诺书中文题目： 柯西不等式及其应用外文题目： The Cauchy Inequality and Application学生姓名邓丽芬学生学号院系专业数学系 数学与应用数学学生班级1103 班学学 生生 承承 诺诺我承诺在毕业论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、

2、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）：年 月 日指导教师承诺指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师（签名）： 年 月 日目录目录1.前言 .12.柯西不等式的证明 .12.1 利用数学归纳法证明 .22.2 利用构造函数法证明 .22.3 利用二次型法证明 .32.4 利用线性相关法证明 .32.5 利用配方法证明 .42.6 利用初等方法证明 .52.7 利用向量

3、内积证明 .53.柯西不等式的不同形式 .63.1 柯西不等式在微积分中的形式 .63.2 柯西不等式在线性代数中的形式 .63.3 柯西不等式在概率论中的形式 .73.4 柯西不等式在泛函分析中的形式 .74.柯西不等式的应用 .74.1 推导重要公式 .84.2 解释样本线性相关系数 .94.3 证明三角形不等式 .114.4 求最值问题 .114.5 在初等几何中的应用 .135.柯西不等式的推广 .145.1 推广到复数 .145.2 赫尔德不等式 .145.3 闵可夫斯基不等式 .15参考文献 .17柯西不等式及其应用邓丽芬(指导老师，严慧 讲师)（湖北师范学院文理学院 中国 黄石

4、435002）摘要: 柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地应用它可以使一些较为困难的问题迎刃而解.本文探讨了柯西不等式的七种证明方法及其推广，能够深入地理解它的本质.并给出了柯西不等式在微积分、线性代数、概率论、泛函分析中的另一内容和形式，充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性. 通过列举了一系列范例揭示了柯西不等式在推导公式、证明三角形不等式、求最值等方面的广泛应用.关键词: 柯西不等式；赫尔德不等式；闵可夫斯基不等式中图分类号:O17The Cauchy Inequality and ApplicationDeng Lifen (Tutor：Yan Hui)(College

5、 of Arts & Science of Hubei Normal University, Huangshi, 435002, China)Abstract: Cauchy Inequality is a very important inequality, and it can make some relatively difficult problems simple if you can use it flexibly and ingeniously. This article analyzes seven kinds of methods to prove the Cauch

6、y Inequality and its generalization, and you can understand the essence deeply. It gives another form and content of the Cauchy Inequality in calculus, linear algebra, probability theory, functional analysis, and fully be embodied the internal cause, the permeability and unity in the field of mathem

7、atics. According to a series of examples, it can reveal wide applications in various fields in using the Cauchy Inequality in the formula, proving of the triangle inequality and seeking the most value.K Keywords: Cauchy Inequality;Holder Inequality;Minkowski Inequality湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文0柯西不等式及其

8、应用邓丽芬(指导老师，严慧 讲师)（湖北师范学院文理学院 中国 黄石 435002）1.前言柯西不等式是柯西（Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.但从历史的角度讲，该不等式应称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】 ，正是因为后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广知，才将这一不等式应用到近乎完善的地步.柯西不等式在初等数学、高等数学、微积分、概率论、线性代数等领域有广泛的应用.虽在不同的领域有着不同的形式和内容，但又统一于欧式空间两向量的内积运算中，是异于均值不等式的另一个重要的不等式.柯西不等式的证明有很多种方

9、法，每个方法都有它自己的优点和缺点，要认真了解每种证明的条件和特点，理解其本质.柯西不等式在不同领域中的证明方式充分说明了人类思维的多样性、渗透性和完备性.认识这一点可以使思维更活跃，也可以使我们的学习更富有创造性. 柯西不等式形式优美、结构巧妙，具有较强的应用性，深受人们喜爱.在形式上灵活巧妙地应用它，可以解决数学上的不等式证明、推到空间点到直线的距离公式、三角形相关问题求解、最值求解等很多问题.本文从柯西不等式的本质出发对其证明，探讨了柯西不等式的多种证明方法，研究了柯西不等式几种特殊的推广形式，并通过列举了一系列范例揭示了柯西不等式在代数、几何等各方面的广泛应用.2.柯西不等式的证明 运

10、用数学归纳法、构造函数法、二次型法、线性相关法、配方法，以及利用初等方法，向量内积来证明柯西不等式，让我们深入的了解其本质.证明柯西不等式有很多种方法，除了上述所说的方法外，还可以用比较法、参数法、引进记号法、利用均值不等式、拉格朗日恒等式等其他方法证明.定理 2.1（Cauchy 不等式):设有两组实数及为任意实数，则12,na aa12,bnb b 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文1不等式：.222111nnniiiiiiiabab 成立，当且仅当时取等号.1212nnaaabbb 这定理在或时明显成立，所以在以下的证明12=0naaa120nbbb中，不妨设中至少有一个不是

11、零，中也至少有一个不是零.下面12,na aa12,bnb b 我们就用几种不同的方法来证明柯西不等式，理解其本质.2.1 利用数学归纳法证明证 （1）当时，,不等式成立.1n 2221 111aba b （2）假设时，不等式成立.nk令，有；211kiiSa221kiiSb31kiiiSab2123S SS那么当时，1nk 11222211211122221211211122311121122311311231121122kkiikkiikkkkkkkkkkkkkkkiiiabSaSbS SS bS aabSabS SabSabSabSabab 综上所述，对,，均有nN ,i1,2,niia

12、bR.222111nnniiiiiiiabab 即柯西不等式得证.2.2 利用构造函数法证明1证 设实变量的二次函数x湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文2， 222211112nnnnkkkkkkkkkkf xa xbxaxa bb由于对任意实数，总有，又的系数是正数，x 0f x 2x于是.222111440nnnkkkkkkka bab 即.222111nnnkkkkkkka bab 故柯西不等式得证.2.3 利用二次型法证明6证 因为，22222111120nnnnkkkkkkkkkkaxa bxybya xb y所以，关于的二次型非负定.yx,22221112nnnkkkk

13、kkkaxa bxyby因此 ,21112110nnkkkkknkkkkkaa ba bb即.222111nnnkkkkkkka bab 2.4 利用线性相关法证明8证 设为向量空间，若，则nR1212,nnna aab bbR 22222221 1221212nnnnaba ba baaabbb（1） 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文3成立.当且仅当向量与线性相关时， （1）式取等号. （1）设与线性相关，则存在不全为零的实数,使，k0k由此有或（其中） ，1,1kRk 将这两种形代入（1）式，都可得到（1）式取等号. （2）若与线性无关，则对每一个，有.xR0 x即至少有一个

14、，使于是,1ini 0iiab x， 22211220nnf xab xab xab x或. 2222222121 1221220nnnnf xbbbxaba ba bxaaa因为，否则与线性相关与题设矛盾.0于是有不全为零且，所以可得到.12,nb bb22212+0nbbb0 即.22222221 1221212440nnnnaba ba baaabbb于是.22222221 1221212nnnnaba ba baaabbb2.5 利用配方法证明证 由于湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文40212211121122221122111122111212211212ninjijj

15、ininjijjjiijininjjjiijininjjjiininjjinjjjniiinjjniiniiiniiniibababababababababababababababababa所以可得.222111nnniiiiiiiabab 当且仅当，即时，等号成立.ijjibabanjibabajjii, 2 , 1,2.6 利用初等方法证明1证 先设，此时，所要证的不等式为.22111nniiiiab11niiiab事实上，因为，2211,2,2iiiia babin所以把这个不等式相加，就可得到.n11niiiab我们可把一般情形化为特殊形式，这里在已知不等式2212iiiixyxy中，

16、令 ，1221iiniiaxa1221iiniibyb并取，得个不等式，一起相加，有1,2,inn湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文5，1222111nnniiiiiiiabab 于是，12221111nnnniiiiiiiiiiababab 再把上式平方，即得.222111nnniiiiiiiabab 2.7 利用向量内积证明5证 设，是与的夹角.1212,nnaa aabb bbab由.cos , cos1a bab 则.cosa babab 即.222a bab 所以.22222221 1221212nnnnaba ba baaabbb当且仅当或时，等号成立.0180即与平行

17、，时，等号成立. ab1212nnaaabbb3.柯西不等式的不同形式柯西不等式有各种各样的类型，在不同的数学领域中都有着极广泛的应用.它在不同的数学领域有不同的形式和内容，它能启发人们得到灵活多样的证明思维，但其本质是不变的，这些都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文63.1 柯西不等式在微积分中的形式4微积分中的柯西不等式称为柯西-许瓦兹不等式【Cauchy-Schwarz 不等式】其公式为对于区间上的任意可积实函数，, a b ,f xg x均有. 222bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx3.2 柯西不等式在线性

18、代数中的形式4在线性代数中的柯西不等式称为柯西-布涅柯斯基不等式【Cauchy-Bunyakovski 不等式】其公式为向量，有., 当且仅当存在不全为零的常数，使时，等式成立，即二矢量内积小于12,k k120kk等于二矢量长度之积.3.3 柯西不等式在概率论中的形式2在概率论中的柯西不等式称为柯西-许瓦兹矩不等式，其公式为：对于，若, 存在，则有22,EE. 222EEE当且仅当时，等式成立，其中为常数.01Pt0t 该不等式反应了两个随机变量之间具有的线性关系，以随机变量的数字特征形式给出.3.4 柯西不等式在泛函分析中的形式3在泛函分析中的柯西不等式的形式为：设为内积空间，则对于，均有

19、U, x yU., x yxy在学习柯西不等式的不同阶段接触到的柯西不等式的形式和内容有所不同，但它湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文7们的本质基本相同，所以在学习中，要区分开这些形式.线性代数和概率论所在的公式具有一般性和抽象性，它体现了线性代数、概率论、高等数学与初等数学之间的相互渗透，相互促进的内在联系.正如德国数学家希尔伯特所说的一句名言， “数学是一有机整体，它的生命力依赖于各部分的联系”.4.柯西不等式的应用通过利用柯西不等式推导空间一点到平面的距离公式，两平行线间的距离公式，解释样本线性相关系数，证明三角不等式，解决极值问题及在平面几何中的应用，深入体会柯西不等式应用

20、的广泛性，及其在解决问题上的技巧，使之以简捷、严谨、快速的方式解决.4.1 推导重要公式4.1.1 空间一点到平面的距离公式例 4.1.16 推导空间一点到平面的距离公式000,p xyz:0AxByCzD .000222AxByCzDdABC解 设是平面上任意一点，1111,zpx y:0AxByCzD则 ，1110AxByCzD那么2221010101ppxxyyzz的最小值就是到平面的距离.p由柯西不等式得.2222222221010101010101000ABCPPABCxxyyzzA xxB yyC zzAxByCzD即，2220001CBADCzByAxpp湖北师范学院文理学院 2

21、015 届本科毕业论文8当且仅当 平面时取等号.1pp故点到平面的距离公式是000,p xyz:0AxByCzD.000222AxByCzDdABC同理，令在利用柯西不等式可得到点到直线的距离公式是0z .0022AxByDdAB4.1.2 两平行直线之间的距离公式例 4.1.26 已知两平行直线和,求两直线的距1:0l AxByC2:0m AxByC离.d解 设、分别是直线 和上任意两点，则11,M x y22,N xylm (1)1110AxByC (2)2220AxByC .221212MNxxyy由柯西不等式得： .22222212121212ABMNABxxyyA xxB yy又（1

22、）式 （2）式,得-. 121212+0A xxB yyCC所以，1222CCMNAB当且仅当 时，等号成立.2121yyBxxA,MNl MNm故两平行直线的距离是湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文9.1222CCdAB4.2 解释样本线性相关系数7在概率论与数理统计一书的线性回归内容中，有样本相关系数 ，12211niiinniiiixxyyrxxyy并指出且越接近于 1，相关程度越大；越接近于 0，则相关程度越小.现在我1r rr们可以用柯西不等式解释样本线性相关系数.记 ，则,iiiiaxx byy.12211niiinniiiiabrab 由柯西不等式，有.1r 当时，1

23、r ，222111nnniiiiiiiabab 此时（为常数） ，iiiiyybkaxxk点（）均在直线 上.,iix y1,2,inyyk xx当时，1r ，222111nnniiiiiiiabab 即，222111-0nnniiiiiiiabab 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文10而，22221111=nnniiiiijjiiiiij nabababa b 所以， （为常数）.2100iijjiijjiij nibaba baba bka k此时， （为常数）.iiiiyybkaxxk点均在直线附近，所以越接近于 1，相关程度越大.当,iix yyyk xxr时，不具备上述

24、特征，从而找不到合适的常数使点都在直线0r ,iia bk,iix y附近，所以越接近于，则相关程度越小.yyk xxr04.3 证明三角形不等式1例 4.3 证明三角形不等式 .111222222111nnniiiiiiiabab证 由于，2111=nnniiiiiiiiiiiabab aab b又按柯西不等式，有 ，12221111222111nnniiiiiiiiinnniiiiiiiiiab aabaab babb把上面两个不等式相加，再除以，即得三角形不等式.1221niiiab4.4 求最值问题例 4.4,14 如果，那么当且仅当时，1+1nxx 0ia 1 1nna xa x湖北

25、师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文11的最小值是. 2221 122nnf xa xa xa x121111+naaa证证 由柯西不等式，得，1211221211222221 12212111111nnnnnnnxxxa xa xa xaaaa xa xa xaaa即.2221 122121111+nnna xa xa xaaa当且仅当，即时，等号成立.11111nnna xa xaa1 1nna xa x所以的最小值是. 2221 122nnf xa xa xa x121111+naaa该例题是个条件极值问题，是在的条件下才成立.若把这个条件变成1+1nxx ，求的最大值，同样也能得

26、出.221+nxxa 1+nf xxx只需,2222211+1 +1nnxxxx即亦即，当且仅当时，等号成立.由此21nnaxx1+nxxna12=nxxx可得的最大值是.这两个极值原理能够更方便的解决中学数学与 1+nf xxxna数学竞赛题中一些求极值的问题.例 4.4.27 已知实数满足试求的, , ,a b c d22223,2365abcdabcd a最值.解 由柯西不等式，得，2222111236+236bcdbcd 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文12即.2222236bcdbcd 又由已知条件，可得，2253aa解得.12a当且仅当 时，等号成立.2361 21

27、31 6bcd当时，；61,31,21dcbmax2a当时，.211,33bcdmin1a利用柯西不等式可以方便的解决一些含两个或两个以上变量的式子最值问题，在解题时，关键是把握柯西不等式的结构特点，巧利用“1”的代换关系，合理安排式子的位置，常见技巧有巧凑系数或巧消变量等.4.5 在初等几何中的应用例 4.5.11 设三角形的三边为，面积为,求证: ., ,a b cS2224 3abcS证 由海伦（Heyon）公式 ，2,2abcSp papbpcp并根据算术平均-几何平均不等式，有 ，33ppapbpc于是.23 3pS又根据柯西不等式，有 ，222222222222abcabcabbc

28、caabcabc .2222443 34 333abcpSS湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文13例 4.5.26 设是内的一点，是到三边的距离，是pABC, ,x y zp, ,a b cR外接圆的半径，求证ABC .22212xyzabcR证 由柯西不等式，得.111=111xyzaxbyczabcaxbyczabc记为的面积，则SABC .2242abcabcaxbyczSRR所以.222122abcabbccaxyzabcRabcR从以上例题中我们可以看出，在利用柯西不等式解题的过程中，观察非常重要.由于柯西不等式的结构对称，我们可以利用它的基本形式，如果没有，也要创造出这

29、样的形式，设法创造两数平方和相乘的形式.例如：不是柯西不等式的形式，但是变形成222abc就可以用柯西不等式了.对于这样的变形不是简单去记忆，而2221 1113 222abc应该去理解、掌握，并根据实际情况来进行变换的能力，简洁快速的解题.总之，柯西不等式作为数学中一个非常重要的不等式，它将两数列中各项积的和与和的积巧妙地结合在一起，灵活应用柯西不等式可使许多问题得到简化.5.柯西不等式的推广 柯西不等式最有名的推广就是赫尔德不等式，从其又可得到闵可夫斯基不等式等其他有趣的不等式.还可从实数推广到复数，应用于更广的范围.5.1 推广到复数 由于不等式只有实数才有意义，所以对于复数或向量要谈大小关系，自然的选择湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文14是其长度.对此，我们只需将柯西不等式数的平方，该为复数的模的平方即可. 对于任意的复数，定义长度，那么zxiy22zxy设为任意复数，则,iia b1,2,in.222111nnniiiiiiiabab等式成立的充分必要条件是，是复数.iiab1,2,in5.2 赫尔德不等式定理 5.2（赫尔德不等式）: 设，满足0,0,1,2,0,0iiabinpq，