共形映射61共形映射的概念平面内的一条有向连续曲线若

1、第六章共形映射§ 6.1共形映射的概念z平面内的一条有向连续曲线c: z二z t _ t：，若Z t0：t ： ',则向量z to与C相切于点Zo =z to，正方向为曲线的正方向。规定：argz t0就是c上点z0处的切线的正向与 x轴正向之间的夹角；相交于一点的两条曲线c1和c2正向之间的夹角就是 c1和c2在交点处的两条切线正向之间的夹角。1、解析变换的保角性解析函数的导数的几何意义：设w = f z在区域D内解析，D，在点z0处有导数z0 - 0，设c为z平面 内通过20的任一条有向光滑曲线，参数方程为Z = Z t mt "： I'，z0 =Z t

2、° ，/ t0 - 0，：t° ：。映射w = f z将曲线c映射成w平面内通过点 z的对应点w° = f z°的一 条有向光滑曲线 】，参数方程为： W = f |z t ： I, W t0 = f Z0 z t0 =0。所以在-上 点w0处有切线存在，切线的正向与轴正向之间的夹角是ArgW t° = Arg |J ' z° z t°Argf z - ArgZ t° , ArgW t° -Argz，t° =Arg石。将原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线c经过W=

3、f Z映射后在z0处的转动角或旋转角，即有：导数Zo = 0的辐角Argf 是曲线c经过w=f z映射后在z0处的 旋转角（辐角几何意义）；旋转角Argz0的大小与方向跟曲线 c的形状与方向无关（所以称这种映射具有旋转角的不变性）。同时，（z。j = R,蚂|¥| = RH0，这个极限仅与Z0有关，与c的方向、形状无关，称为变换w = f z在z的伸缩率（这是导数模的几何意义）。结论：解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性。例1、试求变换 w = f z = z2 2z在点 -1 2i处的旋转角，并说明它将 z平面的哪一部分放大？哪一部分缩小？*兀解：f z；=2z

4、 2, f 匕一1 2i ；=4i，故在 T 2i 处的旋转角为 arg f -1 2i ，又2因为 f "（z j =2（x+1 i +y2 （z=x+iy ）, fz”心（x+lj + y2£；，故 w=f z ）1=z 2z以-1为心，一为半径的圆周内部缩小、外部放大。2假设c和c2相交于z0，在映射w二f z下有向曲线'1与丨2。对于c2而言，在z0点的旋 转角为 Argw；z-Argz；t0二 Argfi石，Argw?z0- Argz?t0二 Argf?z ，所以：Argw2石-Argw；z0= Argz2t0- Argz；t0，丨1与丨2的夹角等于G和c

5、2的夹角。Th1、设函数w = f z在区域D内解析，z0为D内的一点，且f z° - 0，则在z，映 射w = f z具有两个性质：保角性：即通过z0的任两条曲线间的夹角跟经过映射后所得 的两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变；伸缩率不变性：即通过z0的任一条曲线的伸缩率均为f'（z° ）而与其形状、方向无关。2、共形映射：Defl、设函数w = f z在z0的邻域内有定义且在 z0具有保角性和伸缩性的不变性，则称 函数w = f z在z0是共形的或称f z在石是共形映射。如果w= f z在D内每一点都 是共形的，则称f z是区域D内的共形映射。Th2、解析函数w

6、二f z，若zo =0 ,则w=fz在是共形的；若w二f z在D 内处处有z0 r 0 ,则w =f z 是D内的共形映射。w = f z在z0解析且 p 0 则 二 Rei7l,R 二z0- Argf z° 只与 z 有关。例、在 w=eiz下，互相正交的直线族Re zi； = c，lm z - c2，依次映射成互相正交的v = utgc；与圆族 u2 V = e2。§ 6.2分式线性映射一、线性变换及其分解：1、Def1、w二 b adbc = 0 （ a,b,c,d均为常数）称为线性变换（映射），简记为：cz +ddw = L（z ）（注：条件ad -be是必要的，否

7、则 w"三0）。另外补充：c式0时，在z=-ca处定义w二:，在z = :处定义w :C=0时，在z =:处定义w =:。c2、分解： w= aZ二 b巴一1-,令 z1=czd,z2= , =Az2B，所以一cz+d I c 丿cz + d cZ|1般形式的分式线性映射分解成：w = z b ；（w = az :w二一。zw二zb（平移变换）：w二zb（旋转与伸缩变换）aW-.d'zrrer:w = 1 （反z1 演变换）Wi（关于单位圆周的对称变换）；w = w （关于实轴的对称变换）。求出z在z反演变换下的像。（注：w, z关于单位圆周对称的性质： w z=12且w,

8、z都在过单位圆周心o的同一条射线上； z1,z2关于圆c: z 石=R对称）2、分式线性映射的保角性：1因为：w 2，当z = 0,z =：:时，除去z = 0z1、w 在扩充复平面上是处处共形的,z1与Z二：映射w是共形的。z规定：两条伸向无穷远的曲线在无穷远点1:-处的夹角等于它们在映射下所映成的通过z原点.=0的两条像曲线的夹角，那么映射w = 1 =在 =0 处解析且 w ： ：. ° = 1 = 0，z11所以映射 w = 在 =0处共形，即 w 在z = :处共形。再由z知，在w =-:处，zw11映射z 是共形的，即在Z = 0处映射w 是共形的。故此。wz、w=az

9、b a=0在扩充复平面上是处处共形的，w" = a = 0，当z=：-时，映射是11共形的，当z =:时，令：=丄，=丄，w=azb，在 =0处解析，且zwa + b-1"i': i ：.0 = = 0，因而在 =0是共形的，即 w = az b a = 0在z =：:处是共形的。aTh、综所述，分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的且具有保角性。3、保圆性：、w=az，b a = 0是将z平面内一点经过平移旋转和伸缩而得到w。 z平面上的一个圆周或一条直线 w二az b w平面的一个圆周或一条直线。规定：将直线看成是半径为无穷大的圆周，有w = az，b a =

10、0将扩充复平面上把圆周映射成圆周（保圆性）。11x y、w 具有保圆性： z=x，iy,w u，iv=u=22,v = 22，所以映射zzx y x y2 2 2 2w 将方程 a x y < bx cy d =0 映射成 d u v 厂 bu -cv a = 0。 z可能的情况：圆周 t圆周（a工0, d式0 ）;圆周t直线（a h 0, d = 0 ）;直线，圆周（a=0,d=0 ）;直线、直线（a=0, d=0）1也即w把圆周映射成圆周zTh、综合分式，线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充 w平面上的圆周，即具有保圆性。（注：实际上，若有点映射成:，它就映射成直线）4、保对称性：

11、若z1,z2是关于圆周c:z-Zo|=R的一对对称点的充要条件是经过z1,z2的任一圆周与c正交。Th、设点z1, z2是关于圆周c的一对对称点，在分式线性映射下，它们的象点w与w2也是关于c的象曲线-的一对对称点。§ 6.3唯一决定分式线性映射的条件一、Th1、在z平面上任意给定三个相异的点，在w平面上也任意给定三个相异的点w,w2,w3，则存在唯一的分式线性映射，将zk k =1,2,3依次映射成wk k-1,2,3解：设：w=（adbc0），将zk映射成wk，即wk =辺巾（k = 1,23），所以:cz dczk d竺 :也巴二口：生兰，这就是所求的分式线性变换（唯一性亦然）

12、。wW2 w3w2 zz2 z3z2例1、求将2,i, -2对应的变成-1,i,1的分式线性映射。的 w 111z -2-2-2z -6iwi1izi2i3iz-2已知分式线性映射将圆周 c映射成圆周c :将c的内部映射成c的内部或外部，不可能有一 部分在c的内部有一部分在 c的外部。如果c依z（, z2, z3的绕向与c依w.）, w2, wj的绕向相 同时，c的内部就映射成c 的内部；相反时，c的内部一；c 外部。二、线性变换的应用：分式线性变换在处理边界为圆弧或直线的区域变换中，有很大的作用。1、求将上半z平面保形变换成上半 w平面的线性变换： w = ad -bc = 0。其实,cz

13、+ d所述变换将实轴。且当 z为实数时， 业 二ad _b* 0，即实轴变成实轴是正向的。dz （cz + d）因此，上半z平面映射成上半 w平面。2、求将上半平面ImZ 0共形映射成单位圆<1的分式线性映射：说明存在性（保圆也；求由于上半平面内总有一个点 z = k被映射成 w =1的圆心W = 0 ,实轴T单位圆。 而z -，和z - 是关于实轴的一对对称点。根据保对称点性，z - 被映射成w = 0关于单位圆周的对称点 w -:，由此这个分式变换应具有形式： w = k匕=（k为常数）；确Z -九定k :由于映射将实轴上一点映射到圆周上，Z =0映射到单位圆周上：w = k=，w

14、=10九k =1二k=e旧，所求的映射是:3、求将单位圆z <1映射成单位圆w <1的分式线性映射。z平面内z ：1内部的一点映射成w平面上的圆周 w =1的圆心w=0。皿关于z=1的对称点九映射成w平面上w = 0关于 w = 1的对称点 w =°°，即z=g=w = 0， z n w = °°，将z =1代入，取模，即可。w=k?k-k "k-el w詔亠z - ：:z -11 - ? z1 - ? z例1,将上半z平面变换到上半 w平面的分式线性变换 w = f z，使 f 0=0, f r1 i解：设所求分式线性映射w-fz

15、 为 w -adbe > 0 ，由 f 0 - 0 知 b - 0，cz + dcz I ca = 0， we ,ez + f I adi 1- 2z，1 ie = fw =-aei f2z 1例2,将上半lmz>0平面映射成单位圆 w £1的分式线性映射 w=f(z)，使：w(2i)=0,argw 2i = 0 : f i = 0， f m 0。解：已知： w 2i =0,w=ei；1 _ ,w z = w 2i = e - ，所以得：z+2i(z+2i )I 4丿arg w 2i0=w二i 卩22z 2i例3、求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射，使得：f 1 =0，2jio2解：1 z -0,wA 11 z2i ：2z-1 =e 2z略求将上半Imz 0平面映射成单位圆Jiarg w 2i =-2的分式线性映射w。wQ辽丿0= argw -12丿w 2i c2，且满足条件：w（2i）=2i，:1，再作出上半平面解：作一个线性变换©