向心加速度公式推导完整版—李朝辉整理

1、向心加速度公式推导完整版 李朝辉整理向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由于学生因长期接受标量运算而产生的思维定势， 认为匀速圆周运动中物体运动速率不变， 故其 因此我们在教学中必须强调两点，一的矢量性，速度的方向变化也表示速度有变化，故 v0，另一是速度变化的方向就是加速度的方向。因此在教学中必须说清楚v 的方向。教材中引进了速度三角形的方法， 实际上已经考虑到了上述两点。 关于向心加速度公式的推导 方法甚多，下面提供几种有推导方法，供大家参考。方法一：（课本上的方法）利用加速度的定义推导（又称矢量合成法）如图所示：设小球在很短的时间 t 内从 A 运动到 B,在时间 t 内速度变化为

2、 v,因为 OAB BDC（可自己证一下） , 所以有： v/v=AB/R 当 t 0 时 ,AB=弧 AB所以： v=弧 AB/t,a= v/t所以 a=v2/R方法二： 在矢量合成法中应用三角函数推导：如图所示，物体自半径为 r 的圆周 a 匀速率运动至 b，所经时间为 t，若物体在 a、b 点 的速率为 va=vb=v，则其速度的增量 v=vb-va=vb+（ -va），由平行四边形法则作出其矢量图如图。由余弦定理可得可见当 0 时， =90°，即 v 的方向和 vb垂直，由于 vb 方向为圆周切线方向，故 v 的方向指向圆心 .因 v 的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动

3、中加速度的方向指向圆心， 方法三： 利用运动的合成与分解推导（简称运动合成法）由于惯性 , 小球有离开圆心沿切线运动的趋势 , 而细线的拉力却拉着小球向圆心运动 这样小球运动可分解成沿切线方向的匀速直线运动和沿半径方向的初速度为零的匀加速直 线运动AC方向的匀速直线运动和设在很短的时间 t 内, 小球沿圆周从 A到 B, 可分解为沿切线 沿 AD 方向初速度为零的匀加速直线运动 . 如图一：方法四： 利用开普勒第三定律、万有引力定律和牛顿第二定律推导向心加速度设：质量为 m的人造地球卫星以速率 v 在半径为 r 的近圆轨道上绕地球运行 , 运行周期 为 T, 地球质量为 M.根据开普勒第三定律

4、： T2/r 3=k（k 为常量）根据万有引力定律： F=GMm/r2对于圆周运动的物体有： T=2 r/v 根据牛顿第二定律： a=F/m 联立上述各式有： a=（GMk/4 2）×（ v2/r ） 所以： a v2/r方法五： 曲率圆法方法六： 类比法：设有一位置矢量 r 绕 o 点旋转，其矢端由 a 至 b 时发生的位移为 s（如图 4） .若所经时间为 t，则在此段时间内的平均速率 显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动 速率，当 t 趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如 果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中 t

5、为旋转周期 .再如图 5 是一物体由 a 至 b 过程中，每转过 1/8 圆周，速度变化的情况。现将其速度平移至图 6中，容易看出图 6和图 5相类似， 所不同的是图 5表示的是位置矢量的旋转 .，而图 6 则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即由图 6 可知，这个速度变化率其实就是端的旋转速率，其旋转半径就是速率 v的大小，故有比较图 5图6可以看出当 t o时v的方向和 s的方向相垂直 .故加速度的 方向和速度方向相垂直 .仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' étude et la recherc