热学-气动力理论- 能均分定理 麦克斯韦速率分布

1、P.0/40第7章 气体动理论7.5.1 自由度自由度 确定物体位置所需的独立坐确定物体位置所需的独立坐标数目标数目, 记作记作 i例例:x y z 01. 质点质点 x y zi = 3 (t)2. 刚性刚性 细杆细杆3. 刚体刚体位置位置 x y z方向方向 i = 5 (3t+2r)位置位置 x y z方向方向 自转角度自转角度 i = 6 (3t+3r)弹性分子还要考虑振动自弹性分子还要考虑振动自由度由度(v)气体分子气体分子单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子 (常温常温)多原子分子多原子分子 (常温常温)理想气体分子热运动的能量理想气体分子热运动的能量:平动平动+转动转动+振动

2、的能量总和振动的能量总和氦氦, 氩等氩等氢氢, 氧氧, 氮等氮等水分子水分子, 甲烷等甲烷等P.1/40第7章 气体动理论i = 3 (t)i = 5 (3t+2r)i = 6 (3t+3r)气体分子自由度气体分子自由度:单原子分子单原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子 (常温常温)刚性多原子分子刚性多原子分子 (常温常温)7.5.2 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理气体分子平均平动动能气体分子平均平动动能,212v222231vvvvzyx223xv23kTkTi21212v每个自由度上平均能量为每个自由度上平均能量为:kT21能量均分定理能量均分定理: 在温度为在温度为 T 的的平

3、衡态下平衡态下, 物质分子的每一个自物质分子的每一个自由度都具有相同的平均能量由度都具有相同的平均能量, 等等于于2kT分子的平均能量分子的平均能量kTi2 单原子分子单原子分子:kT23 刚性双原子分子刚性双原子分子:kT25 刚性多原子分子刚性多原子分子:kT26P.2/40第7章 气体动理论7.5.3 理想气体的内能理想气体的内能理想气体模型理想气体模型: 分子间无相互作分子间无相互作用用, 无相互作用势能无相互作用势能, 分子碰撞分子碰撞无机械能损失无机械能损失.理想气体内能理想气体内能:1 mol:kTiNEAmol2RTi2m/M mol:molEMmE RTiMm2内能的改变量内

4、能的改变量TRiMmE2结论结论: 理想气体内能是热力学温理想气体内能是热力学温度的单值函数度的单值函数.能量均分定理能量均分定理: 在温度为在温度为 T 的的平衡态下平衡态下, 物质分子的每一个物质分子的每一个自由度都具有相同的平均能量自由度都具有相同的平均能量等于等于2kT分子的平均总能量分子的平均总能量若考虑分子振动若考虑分子振动: 分子振分子振动能量包括振动动能和动能量包括振动动能和振动势能振动势能, 每个振动自由每个振动自由度的平均能量也是度的平均能量也是kT/2.单原子分子单原子分子:kT23 刚性双原子分子刚性双原子分子:kT25 刚性多原子分子刚性多原子分子:kT26kTi2

5、P.3/40第7章 气体动理论摩尔数相同的氧气和二氧化摩尔数相同的氧气和二氧化氮气体氮气体(视为理想气体视为理想气体), 如果它如果它们的温度相同们的温度相同, 则两气体则两气体 (A) 内能相等内能相等; (B) 分子的平均动能相同分子的平均动能相同; (C) 分子的平均平动动能相同分子的平均平动动能相同; (D) 分子的平均转动动能相同分子的平均转动动能相同.答答: 分子的平均平动动能相同分子的平均平动动能相同.指出下列各式的物理意义指出下列各式的物理意义kT21 (1) kT23 (2) kTi2(3) RTi2(4) RTMm23(5) RTiMm2(6) 分子在每个自由度分子在每个自

6、由度 上的平均能量上的平均能量分子平均平动动能分子平均平动动能理想气体分子的平均能量理想气体分子的平均能量1 mol 理想气体内能理想气体内能质量为质量为 m 的理想气体分子平的理想气体分子平均平动动能总和均平动动能总和质量为质量为 m 的理想气体内能的理想气体内能P.4/40第7章 气体动理论7.6 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布热力学系统的统计规律热力学系统的统计规律.统计规律统计规律:大量偶然事件整体所遵从的规律大量偶然事件整体所遵从的规律不能预测不能预测 可多次重复可多次重复抛硬币抛硬币: 抛的次数越多抛的次数越多, 出现正反出现正反面的结果都越接近面的结果都越接近 50%.伽尔顿板

7、实验伽尔顿板实验 每个小球的落点完全是偶然的每个小球的落点完全是偶然的; 少量小球的分布明显有偶然性少量小球的分布明显有偶然性;大量大量小球的分布呈现小球的分布呈现规律性规律性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 涨落涨落: 实际出现的情况与统计平实际出现的情况与统计平均值的偏差均值的偏差.P.5/40第7章 气体动理论N: 分子总数分子总数N 为速率在为速率在 区间的分子数区间的分子数.vvvv /S

8、ovvvvS表示速率在表示速率在 区间的分区间的分子数占总数的百分比子数占总数的百分比.NNSvvv气体分子速率分布实验曲线气体分子速率分布实验曲线:7.6.1 速率分布和分布函数速率分布和分布函数)(vfP.6/40第7章 气体动理论实验曲线分析实验曲线分析:总分子数为总分子数为 NdN : 速率在速率在 v, v+dv 区间区间 内分子数内分子数NNd: 分子出现在分子出现在 v, v+dv与与 v, dv 有关有关意义意义: 分子在速率分子在速率 v 附近的单附近的单位速率区间位速率区间(区间宽度为区间宽度为1)内内出现的概率出现的概率(概率密度概率密度).速率分布函数速率分布函数vvd

9、d)(NNfvv d)(dfNN速率在速率在 v1, v2 区间内的分子数区间内的分子数:vvvvd)(21fNN速率分布在速率分布在 0, 范围内的范围内的分子数显然为总分子数分子数显然为总分子数 N归一化条件归一化条件:NfNvv d)(01d)(0vvf速率区间内的概率速率区间内的概率速率在速率在 v1, v2 区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的百分比占总分子数的百分比:21d)(vvvvfNNP.7/40第7章 气体动理论7.6.2 理想气体分子麦克斯理想气体分子麦克斯韦速率分布律韦速率分布律 f(v) v理论曲线分析理论曲线分析:v+dvv1. 图中小矩形面积图中小矩形面积:

10、vv d)(fNNd平衡态下平衡态下, 分子出现在分子出现在 v, v+dv 速率区间内的概率速率区间内的概率.或或速率在速率在 v, v+dv 区间内的分子区间内的分子数占总分子数的百分比数占总分子数的百分比.v2v12. 图中斜线部分面积图中斜线部分面积: NNfvvvvd)(21O平衡态下平衡态下, 分子出现在分子出现在 v1, v2 速率速率区间内的概率区间内的概率.或或速率在速率在 v1, v2 区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的百分比占总分子数的百分比.22232e)2(4)(vvvkTkTf分子质量分子质量231A1.38 10 J KRkN玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数麦克斯韦

11、速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线: P.8/40第7章 气体动理论结论结论: 麦克斯韦速率分布曲线下麦克斯韦速率分布曲线下的任意面积等于分子出现在相应的任意面积等于分子出现在相应速率区间内的概率速率区间内的概率, 或等于相应或等于相应速率区间内分子数占总分子数的速率区间内分子数占总分子数的百分比百分比.3. 归一化条件归一化条件 麦克斯韦速率分布曲线所围麦克斯韦速率分布曲线所围的总面积等于的总面积等于1. 1d)(0vvf理论曲线分析理论曲线分析:1. 图中小矩形面积图中小矩形面积: vv d)(fNNd平衡态下平衡态下, 分子出现在分子出现在 v, v+dv 速率区间内的概率速率区间内的概率

12、.或或速率在速率在 v, v+dv 区间内的区间内的分子数占总分子数的百分比分子数占总分子数的百分比.2. 图中斜线部分面积图中斜线部分面积: NNfvvvvd)(21平衡态下平衡态下, 分子出现在分子出现在 v1, v2 速率速率区间内的概率区间内的概率.或或速率在速率在 v1, v2 区间内的分区间内的分子数占总分子数的百分比子数占总分子数的百分比.P.9/40第7章 气体动理论v p2v2. 平均速率平均速率NN0d vvNNf0d)( vvv0d)(vv v f8kTMRT8vMRT60. 13. 方均根速率方均根速率022d)( vvvvfkT3MRTMRTkT73. 1332vMR

13、TMRTkT41.122pv)(vfvv结论结论: 1.2pvvv2. 以以 vp 为界为界, S右S左7.6.3 三个统计速率三个统计速率1. 最概然速率最概然速率(最可几速率最可几速率)0)(ddvvfP.10/40第7章 气体动理论2. 平均速率平均速率MRT60. 1v3. 方均根速率方均根速率MRT73. 12vMRT41. 1pv1. 最概然速率最概然速率例例: 如图如图: (1) 若图为同种气体不同温度下若图为同种气体不同温度下的速率分布曲线的速率分布曲线, 问哪条曲线对应的温度问哪条曲线对应的温度较高较高? (2) 若两条曲线分别对应同一温度若两条曲线分别对应同一温度下氧气和氢

14、气的速率分布曲线下氧气和氢气的速率分布曲线, 问哪条曲问哪条曲线对应氧气线对应氧气, 哪条对应氢气哪条对应氢气?f(v) vT1T2O1pv2pv解解:MRT2pv(1) T1 T2(2) B: R:氧氧氢氢例例: 求速率在求速率在 v1, v2 区间内的分子的平均区间内的分子的平均速率速率解解:?d)( 2121vvvvvvvvf212121dd vvvvvvvvNN2121d)( d)( vvvvvvvvvfNfN2121d)(d)( vvvvvvvvvffP.11/40第7章 气体动理论7.6.4 气体分子速率分布的测定气体分子速率分布的测定 1920年斯特恩从实验上证实了年斯特恩从实验

15、上证实了速率分布定律速率分布定律.L金属金属蒸汽蒸汽方向选择方向选择速率选择器速率选择器屏屏v 1934年我国物理学家葛正权用年我国物理学家葛正权用实验测定了分子的速率分布实验测定了分子的速率分布.2pvvv在同一平衡态下在同一平衡态下, 理想理想气体的三种统计速率有气体的三种统计速率有固定的大小关系固定的大小关系.P.12/40第7章 气体动理论维持平衡态的宏观性质维持平衡态的宏观性质非平衡态向平衡态过渡非平衡态向平衡态过渡依赖依赖分子与分子的频繁碰撞分子与分子的频繁碰撞不不能像讨论压强那能像讨论压强那样样将分子看成质点将分子看成质点;不不需要像讨论内能那需要像讨论内能那样样考虑分子结构考虑

16、分子结构.分子的有效直径分子的有效直径约约刚性球刚性球模型模型1. 平均碰撞次数平均碰撞次数Z 单位时间内分子间碰撞单位时间内分子间碰撞的次数的平均值的次数的平均值. 设分子有效直径设分子有效直径 d , 某分某分子以平均速率子以平均速率 v 运动运动, 而而其它分子都不动其它分子都不动; 以该分子运动路径以该分子运动路径(折线折线)为轴线为轴线, 作一半径为作一半径为 d , 总总长为长为 v 的圆管的圆管.v ddP.13/40第7章 气体动理论 单位时间内该分子与中心位单位时间内该分子与中心位于管壁以内的其他分子碰撞次于管壁以内的其他分子碰撞次数为数为: 凡是中心位于管壁以内的分凡是中心位于管壁以内的分子都与该分子进行碰撞子都与该分子进行碰撞. 考虑到其它分子都在运动考虑到其它分子都在运动, 经经过修正得到分子的平均碰撞次数过修正得到分子的平均碰撞次数:vndZ22常温常压下约常温常压下约 109 1010s-1.2. 平均自由程平均自由程 分子在连续两次碰撞之间能自分子在连续两次碰撞之间能自由通过的路程的平均值由通过的路程的平均值.ndZ221v常温常压下约常温常压下约 10-8 10-7m.nkTp pdkT22v dd22ZdntdtnvvP.14/40第7章 气体