数学教育心理学对数学教学的若干启示

1、丽水学院2012届学生毕业论文目录摘要 21、绪言 2 1.1论题提出 1.2数学教育心理学相关介绍2、数学教育心理学三个热点理论3 2.1数学CPFS结构理论 2.2数学元认知理论 2.3熟能生巧的心理分析3、数学教育心理学对数学教学的启示6 3.1数学教学中CPFS理论应用3.1.1数学概念及数学概念的学习3.1.2数学概念学习的CPFS结构教学策略3.2元认知理论在数学解题教学中的应用3.3正确处理解题训练与深刻理解的关系4、总结 13参考文献 14Abstract 15致谢词 15数学教育心理学对数学教学的若干启示丽水学院理学院 数学与应用数学 082 本 汪春燕 指导老师：胡奕伟摘要

2、：本文总结了我国数学教育心理学中的三个热点板块数学CPFS结构、数学元认知理论、熟能生巧的心理分析.并从CPFS结构理论在数学概念教学中的应用、元认知理论在数学解题教学中的应用、正确处理解题训练与深刻理解的关系三个角度论述数学教育心理学对数学教学的关键性作用.作为即将走向岗位的准教育工作者，做到理论结合实际，全方位地学习与研究，掌握数学教育心理学在教学中的影响与运用，才能走上数学教师专业化发展的康庄大道.关键词：数学教育心理学; 数学CPFS结构;元认知能力;熟能生巧;数学教学1、绪言 1.1论题提出心理学是研究人的行为与心理活动规律的科学.“有人的地方就有心理”，华中师范大学心理系主任刘华山

3、教授这样说过.可见，心理学所涉及的领域是非常广泛的，在人的日常生活、工作、学习中，心理学所起的重大作用是不容忽视的.在心理学研究领域的众多分支中，教育心理学是应用心理学中出现最早的学科，它研究在教育过程中学生学习与教师教学交互过程的规律，以便解决教学中的实际问题.教育心理学是为教育这项实践活动服务的，它帮助教师准确地了解问题、为实际教学提供科学的理论指导、帮助教师预测并干预学生的行为、帮助教师结合实际教学进行研究.将教育心理学与教育实践相结合，是从事教育事业相关人员有必要做到的.数学教育是学校教育的必修课之一，随着社会科学技术的迅猛发展，对数学教育提出的要求也越来越高了.如何学好数学，如何教好

4、数学是广大师生都在思考的问题.数学教育心理学是研究数学教育的学科，为实现学校数学教育服务，为教师解决数学教学过程中的各种问题提供理论依据.数学教育心理学对数学教育所起的作用是多方面的，本文简要地从以下几个方面进行论述，探讨数学教育心理学对数学教学的相关启示.1.2数学教育心理学相关介绍数学教育心理学自1969 年在里昂召开的首届数学教育国际会议以来, 得到迅猛的发展.将数学教育心理学作为专门的研究课题始于20世纪70年代.1972年召开的第二届国际数学教育大会上，许多学者认为应该收集、梳理、综合世界各地的数学教育心理的研究成果，明确研究的方向.尤其在1976 年召开的第三届国际数学教育大会上，

5、一个永久性团体国际数学教育心理学组织的成立, 更多地了解数学活动的心理学特征这一需求, 正在世界各地与日剧增.而1977年召开的第一届国际数学教育心理学大会，标志着对数学教育心理的系统研究全面展开.数学教育心理学是一门以学校数学教育为背景，对数学的教与学的各种心理现象及其规律进行研究的学科.相较于国外数学教育心理学的研究，国内的研究起步较晚.尽管如此，经过数学教育界众多研究者的努力，我国数学教育心理学的研究从无到有，从零星到系统，从表层到深层，所取得的成果是不容忽视的.特别是现代的一些教育学家，例如喻平、涂荣豹、李士锜等对数学教育心理学的研究所做的贡献是非常大的.其所著的相关数学教育心理学的论

6、著为广大从事数学教育的人士及相关的研究工作者提供了很好的参考，也为我国数学教育心理学的发展起很大的推动作用. 2、数学教育心理学三个热点理论2.1 数学CPFS结构理论根据安德森等人提出的将知识分为陈述性知识和程序性知识两大类，喻平教授从信息加工心理学的观点理解，认为：所谓数学认知结构，就是经过学习者对外显知识的感知、理解、内化进而贮存在自己长时记忆中的、相互联系的陈述性知识、程序性知识和过程性知识组成的结构.并且结合数学学习心理的特征，提出概念域、概念系、命题域、命题系等有关概念，进而提到CPFS结构理论.概念域是一个概念的所有等价定义的图式；概念系是个体头脑形成的概念网络，这个网络中的概念

7、间存在一定的数学关系；命题域是一个命题等价的命题集的图式；在一个命题集中，任意一个命题都至少与其它某个命题有“推出”关系，就称这个命题集的图式为一个命题系.概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构.数学概念、命题作为存在的事实是陈述性知识；作为解决数学问题的基础和依据，是可操作的程序性知识，CPFS结构使这些知识得以整合，是一种数学学习特有的认知结构，更是一种优良的认知结构.何为优良的认知结构？结合喻平教授对知识的分类、表征与理解，以及众多学者对数学认知结构的研究，优良的认知结构特征如下：具有扎实的基础知识.任何学习都是在主体已有认知结构的基础上进行的，如果他不具备解决某一问题

8、的全面、准确的基础知识,就不能解决该问题.具有稳定而灵活的产生式系统.为了顺利解决问题，还需要将相关的知识转化为相应的产生式.具有概括化、层次化、条理化的特点.具备该特点，可利用关系、层次的形式,合理地将要素分清主次、明确地位、按层入座.如此学生在提取信息的时候可以迅速地安排记忆中的检索顺序, 从而有效地提取出信息.具有完善的关系表征体系.在知识之间建立真正的实质性联系，保持在一个结构网中, 这为学生提供了可以互换的检索路径, 还可以使学生推导出实际上已经忘记的内容.具有深刻的观念表征体系.观念表征是指对知识之间发生关系的缘由的体悟，深刻的观念表征是对关系的进一步抽象、深化、把握，具有整体性的

9、意义.良好的认知结构对于数学学习的重要性是不容忽视的，对于如何建立学生良好的数学认知结构，可谓仁者见仁，智者见智.大多数都是由数学认知结构的构成和特点展开,得出的结论是: 优化知识结构、提高学生的理解能力、给学生清晰的印象、促进学生的思考等.结合上述理论，教师在备课时，应处理好教材、教法与课堂教学之间的关系，为学生提供尽可能丰富的知识背景，选取符合学生认知发展水平的教学内容，采取适当的教学方法，以便促进学生良好数学认知结构的形成.而前提更是要了解学生原有的数学认知结构,在具体的实施过程中抓住课堂教学这个关键的环节, 了解学生在数学课堂教学各个环节的数学认知结构变化的特点, 运用恰当的科学的教学

10、方法, 有机引导学生建立良好的数学认知结构.当然，建立良好的数学认知结构需要师生的共同努力，其中教师的指导作用是很重要的，学生的自觉反思也是最关键的环节.2.2数学元认知理论“元认知”的概念提出较晚，但元认知的思想却历史悠久.在数学教育研究领域，波利亚堪称提出解题元认知思想的第一人.从心理学角度欣赏，波利亚的数学解题理论中蕴涵的元认知思想可谓令人叹为观止.其解题理论中最著名的是他的“怎样解题表”，表中有大量自我提问的提示性问题，是解题者的自我诘问，自我反省.问题中有部分是针对问题具体内容的，还有一部分是针对主体内部心理抽象认识过程的，这是属于元认知性的.例如，“你以前见过它吗？”“你知道一个与

11、此相关的问题吗？”“你是否运用了所有的条件？”这些问题完全是针对主体自身思维，是自我监察，自我意识，自我预测，自我调节，自我监控.其实，这就是元认知.一般认为，元认知结构主要包括三个方面：元认知知识、元认知体验和元认知监控.元认知知识是人们具有的关于认知活动的一般性知识，是通过经验积累起来的关于认知的陈述性知识和程序性知识.元认知体验是指人们在从事认知活动时产生的认知和情感体验.持续的时间可长可短，产生的时刻在认知活动的之前、之中、之后都有可能.元认知监控是个体在认知活动中，对自我认知活动进行积极而自觉的监视、控制和调节，包括选择、评价与修正认知策略.其实，“怎样解题表”即是一个完整的数学解题

12、的元认知体系.它对解题过程给出的“提示语”就是典型的元认知知识.对于“弄清题意”，在解题过程中，解题者反复掂量问题，“本题要求的是什么？”“题中有哪些有用的条件？”“能否重新表述这个问题，使之尽可能简单、有启发性吗？”这些对自己的思维趋向的提示，是地道的元认知活动.对于“制定计划”，这是解题的核心环节.波利亚提出运用一系列的提示语来诱发一个“好念头”解题思路，这些起监控作用的提示语都是元认知知识.例如，“这是一个什么类型的问题？”“它像某个已知的问题吗？”“能设想出同类型的问题、更一般的问题、更特殊的问题吗？”通过这些元认知提示，解题者至少会有一个出发点，即解题的入手点.波利亚还提出“接近度”

13、，即解题思路与解题目标接近程度的思想，“能否将问题重新描述，使题中未知量和已知量、结论和假设彼此更加接近呢？”这是一种解题的元认知体验，有利于调节解题的思维方向.对于“实施计划”，在此过程中需要耐心仔细，波利亚提出“对每一步演算和推理进行检验”，“不放过任何含糊的地方”，“补充细节”.这些都是元认知活动.对于“解题回顾”，波利亚提出该过程要达到“能一下子看出问题的解”，这是对问题的敏感度，是一种解题的元认知体验.综上可见，波利亚的解题理论充满了元认知思想，称其为提出解题元认知思想的第一人是绝不为过的.2.3熟能生巧的心理分析“熟能生巧”是我国的一条古训，从古代起，大家就普遍采用这一原理指导学习

14、.在辞典中，“熟能生巧”的意思是：熟练了，就能找到窍门.但是，将所学的内容弄得滚瓜烂熟，就会找到技巧，这究竟能否作为数学教育的原理来运用呢？对于数学学习来说，其实质是理解，通过大量的习题训练是否能促进数学的理解呢？这也是熟能生巧的合理性问题，李士锜教授通过对概念形成的发展过程进行分析，对其进行了精辟的论述.数学中，特别是代数中，概念既表现为一种过程操作，又表现为结构、对象，称之为概念的二重性.即在实际运用中，可以根据需要灵活地改变认识的角度，对于某个概念有时需当作有操作步骤的过程，有时又需将它作为一个整体性固定的对象.Sfard研究提出，过程和对象两者有着紧密的依赖关系，概念的学习是一个由过程

15、到对象的认知过程.在过程阶段概念表现为一系列的步骤，有操作性，易于模仿，但其每一步骤都包含不少细节，若过度停留，思维所考虑因素呈序列动态，不易全面掌握，难以抓住实质；进入对象过程时，概念则呈现一种静态结构关系，转变为被操作的“实体”.如此，一个完整的理解便已成型.由过程到对象的先后顺序是众多概念产生所遵循的发展方式，学生将概念的过程作为认识概念的突破口，从过程入手经过操作来体会概念信息的具体关系和影响.常规性的习题练习对概念的形成和发展有着奠基作用，是踏上概念发展的第一个台阶.一个概念是一串概念链索中的一个环节，作为对象的概念，在某个层次与更高一级层次间起枢纽作用：既操作别的对象，又被高层次的

16、运算来操作.可见，高一层次的运算对于前一层次的对象形成存在一种“反作用”，促进基础概念的理解.运算操作是数学概念形成的一块基石，它为学生的理解提供了必要条件，也可以说，熟能生巧的合理性体现了必要性上.“熟能生巧”在教学中固然存在有效的一面，那它是否存在负面影响呢？李士锜教授从下列两点进行论述：1、熟能生笨.这里的“熟能生笨”中的“熟”是指“大运动量”的解题训练，“笨”则是指缺少创造能力，缺乏理解力.概念的发展经历过程到对象两个阶段，对于过程的可操作性，学生有一定的优势，能发挥他们的思维特长.但过程步骤次序动态排列，信息量过大时，学生一味地进行操作练习是不够的.过度的操作练习无法达到从过程到对象

17、的转化，却完全可能使学生陷入细节，就事论事；或是把数学看作就是这些过程；或者将过程、法则当作无意义的符号游戏.这些都可以称之为“笨”.2、熟能生厌.这里的“厌”，除了指厌烦、失去兴趣，也泛指其他不良情感反应.数学知识的教学，并不单是由老师指向学生，后者完全被动地接受，也会由学生指向数学、指向老师，过程中伴随着的因素是很多的，包括情感因素.由于我国应试教育的制度，数学常规练习和解题训练量过大的现象是常见的.沉重的负担可能使一部分学生努力学习，也完全可能使学生产生厌恶心理，甚至对数学抱着憎恨的态度.如果这种被动的任人摆布的处境没有改善，学生也会缺少自我管理的意识，缺少独立、创新的精神.这些都可以称

18、之为“厌”.3、数学教育心理学对数学教学的启示3.1 CPFS结构理论在数学概念教学中的应用3.1.1数学概念及数学概念的学习喻平教授按知识的类型给数学教学进行分类，将数学教学分为数学概念教学、数学命题教学以及数学解题教学.数学概念就是“由数学符号所代表的具有共同数学关键特征的一类数学对象.”认知心理学研究表明，学生可以通过两种模式来学习和掌握概念：概念形成与概念同化.1、概念的形成.喻平总结了概念形成的模式，如下图：具体例子 观察共性 抽象本质 形成定义 形成概念域（系） 概念应用 强化概念教学过程中, 从大量具体的例子出发,以小组讨论的形式或通过个人的观察，以归纳的方法概括出这些例子共同的

19、、本质的属性，进而得出一般规律，总结概念的定义.2、概念的同化.在教学中，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭示其本质属性，由学生主动地与原认知结构中的有关概念相联系去学习和掌握概念的方式，叫做概念的同化.其心理过程包括辨认、同化、强化三个阶段.概念同化利用已掌握的概念获取新概念，以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，是概念教学中常用的一种方式.3.1.2数学概念学习的CPFS结构教学策略喻平总结，数学概念的学习过程是通过概念形成、概念同化，再经过知觉水平应用与思维水平应用，逐步形成概念域、概念系.形成概念域、概念系是数学概念学习的一个本质特征.以下是结合CPFS结构关于

20、数学概念的学习的教学策略：1、注重从多角度揭示概念的内涵.概念域是指关于一个概念的一组等价定义的图示，在教学过程中，我们应该从多种背景、多重层次、多个侧面、多维结构去揭示概念的内涵.（1）在多种背景下揭示概念的内涵例1 “函数”的概念，可以由下面一组实例总结获得： 以每小时80千米的速度匀速行驶的汽车，所行驶的路程和时间之间有什么关系？ 长方形形状的游泳池，其水的深度与水的体积之间有什么关系？ 在整数的平方运算中，底数与它的二次幂之间有什么关系？ 丽水市出租车的计费标准为：2公里以内的起步价为8元，超过2公里后，每公里按2元计费.问当出租车行驶不超过2公里时，出租车费与行驶路程有什么关系？从典

21、型的背景中提出概念，往往会使这个典型背景成为概念的典型特例，这样的例子会在概念形成中起到关键性的作用.（2）在多重层次中揭示概念的内涵在不同的结构中，对数学概念的认识是有差异的.例如，“平行线”定义为“两条不相交的直线”，但此所适用的只是在平面上，在三维空间就不能用这个定义.因此，在教学中教师应充分认识这一点，帮助学生构建完整的概念域.例2 “绝对值”的概念.层次1：数的绝对值指数轴上表示数的点与原点的距离.层次2: 层次3：数的绝对值指数轴上表示数的点与数的点的距离.层次4： 层次5：.层次6：向量的模（即有向线段的长度）叫做复数的模（或绝对值），记作或. 显然，如果，那么，即在实数意义上，

22、 为绝对值.（3）从不同的侧面揭示概念的内涵.例3 “等差数列”的概念.侧面1：若（为常数，），则称数列为等差数列.侧面2：若（），则称数列为等差数列.侧面3：若，则称数列为等差数列.侧面4：若，则称数列为等差数列.从不同的侧面对同一个概念进行描述，揭示了概念之间的等值抽象关系.学习者一旦建立了这一概念域，就明晰了所定义概念与众多概念之间的联系，也加深了对概念的理解.教学中，教师应引导学生从不同的侧面去认识概念，全面掌握概念的本质.例如，题目：已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，问的值为多少？面对这个题目，有大部分学生会一时找不到解决的方法，无从下手，这就是学生没有从不同侧面掌握等差数列概

23、念的表现如果学生熟练地掌握了等差数列的侧面3和侧面4两个概念，本题目就变得很简单可以发现，本题的关键是找到途径将与、与联系起来，将转化成的形式就可以了综合可虑，可以得到以下的解题步骤，答案显而易见.（4）在不同结构中揭示概念的内涵.例如，“函数”的概念，可以从图象、表格、对应、解析式等结构进行描述，下面以平方函数为例：例4 “平方函数”的概念.结构1：解析表达式，.结构2：Venn图表示，如下图图1.结构3：图象描述，如下图图2.图1149161234图2结构4：表格描述，如下表， 1234149162、形成概念体系.概念域的形成针对的是一个特定的概念，而概念系针对的则是一组概念，指的是这组概

24、念中彼此存在一些特定的数学抽象关系.学习者要达到对某个特定概念的理解，不能脱离与该概念相关的其他概念.例5 设A：四边形；B：平行四边形；C：矩形；D：菱形；E：正方形；F：梯形；G：等腰梯形；H：直角梯形.则，“四边形”的概念体系如下： C B EA D F G H3、加强概念的应用.要使学生牢固地掌握数学概念,必须通过解题、反复应用这些概念,才能使学生在认识上获得巩固加深,培养并提高他们运用概念分析问题和解决问题的能力.而问题解决所涉及的概念是比较多的，这就需要学生选择和提取相关的概念，并将其与当前问题相联系，从而解决问题.例6 已知，.求的值；求的值；求的值.上题中有3个小问题，第小题所

25、涉及的只有求代数式的值的概念，将，代入进行运算即可.而第小题除了要用求代数式的值的概念，还要用到根式的相关概念和性质，显然这要比第小题复杂.第小题涉及的概念更复杂，包含了求代数式的值的概念、根式的概念及性质、对数的概念及性质.对此类问题进行系统地训练，学生对求代数式的值的概念、根式的概念及性质、对数的概念及性质一定会有很深刻的认识，遇到此类问题更能得心应手.3.2元认知理论在数学解题教学中的应用元认知理论在数学解题教学中所产生的作用是不可估量的，在数学学习中，加强学生对数学元认知理论的认识和运用是很有必要的，对提高学生的学习有很大的意义.结合元认知概念的内涵，可以从下面三个方面来进行：一、帮助

26、学生获得正确的元认知知识.许多学生认为，数学学习就是理解概念、记住定理和法则、会解答和证明习题，根本不注意所学知识本身的特点及知识在整个体系中的地位和作用. 因此，在数学教学中，不仅要教给学生具体的概念、公式、定理，更要帮助学生了解与学习任务有关的知识，即这部分内容在整个知识体系中的地位与作用；这部分内容的理论背景与实际背景；学习这部分内容的思维特点.二、丰富学生元认知体验.这需要教师在学生的学习过程中，积极地给予引导.例如，在学习之前，让学生制定学习计划，安排好自己的学习时间.在完成作业之后，鼓励学生进行质疑，问问自己真的理解了吗？理解了什么？也可以提出问题让大家讨论，讨论问题的难度、解题步

27、骤以及对结果的评价等等.在课堂上，教师也可以向学生展示自己的思维过程，假设自己的理解发生困难，设想补救措施或故意出错，诱使学生陷入后再使学生“忧然大悟”，使学生体验到认知活动中自我监控、自我调节的重要性.三、培养学生自我监控、自我调节能力.很多数学成绩不好的学生，问他为什么学不好数学，给出的理由往往是“数学太难了，学不进去”，“我不喜欢数学”等.久而久之，数学就真的成了一门无法攻克的学科了.那么换一个角度去想呢？在上数学课之前，调节自己的想法，暗示自己“我喜欢听数学课”，“这节数学内容不难，仔细听，我一定能掌握”，时间长了，对数学的看法也就改变了.在解题的时候，有些学生看了一眼题目，就立刻给出

28、判断“这个题目之前没有见过，想不出来”，“题目太难了，我肯定做不出来”，然后就放弃了，这是不可取的.暗示自己“这个题目不是很难，认真想一下一定有思路的”，“把相关的知识点想一遍，就会有想法了”，如此，才有了解题的信心，才有解决题目的可能性.而解题的过程中，也要学会自我提问，学会反思，学会调控思路，改变策略，对于解题的完整性，准确性将会很有帮助. 例 已知方程中的为负整数，试求出那些使此方程的解至少有一个为整数时的值. 看到这个题目，马上会发现有和两个未知量，相较于简单的一元二次方程，加大了难度，但不能马上放弃，要暗示自己有能力把它解决.首先第一步“弄清题意”，提问自己“题目给出哪些条件？要求的

29、问题是什么？应该从哪个条件入手解决问题？”等.会发现，给出的方程是与有关的关于的一元二次方程，要求的是的值，条件是方程的解至少有一个为整数，为负整数.弄清题意之后，就是第二步“制定计划”.在第一步的基础上，可以得到初步的思路是，解一元二次方程，得到的关于的解，通过的值来讨论.可以解得方程的根 ，根据平方根的性质可得，结合“为负整数”这一条件，最后可得“且为负整数”，范围很广，这时会发现这个思路解题是比较困难的.同样，这时要调节自己的心态，不能慌，要相信自己可以解决，也要改变自己的思路，提问自己“刚才是用来表示，那可不可以换过来思考，用来表示是否能行得通呢？”试着将原方程变为，可以解得， 再由为

30、负整数，即为小于等于的整数，可以得到关于的不等式，化简即.解得，到这一步，题目已经快完成了，回顾之前的解题过程，提问自己“是否考虑全面？有没有遗漏的地方？”要做好自我监督的工作.会发现中的表达式是一个分数的形式，不能遗漏这个条件，可以解得，如此，综合得到的 且，才是的准确范围.最后，把为2、3、4、5、6、7分别代入，时，；时，.为4、5、6、7时不为整数.所以，使方程的解至少有一个为整数时的值为或. 以上便是本题完整的解题思路，将每一个解题步骤书写规范，便构成了解题的第三步“实施计划”.而解完题目之后，或是完成作业后要学会回顾自己的解题过程，即“解题回顾”，对自己的解题策略要进行反思.想想在

31、这个过程中，有没有不足之处；有没有学到新的解题方法；对于相同的题型，有没有解题规律可循；若改变问题的条件或结论，情况会怎样等等.在数学学习中，养成自我监控的习惯，学会自我调节，将会取得很大的成功.3.3正确处理解题训练与深刻理解的关系由李士锜教授对“熟能生巧”的相关论述，我们知道适度的常规性解题训练是概念形成的必要条件，它促进学生对基础概念的理解，促进学生接触、熟悉和记住解题的技能和技巧.例如，在初学勾股定理后，通过适度的练习，如（1）在中，为直角，求（2）在中，为直角，求（3）在一个直角三角形中，已知两条边长是和，求第三条边的长度可以促进学生对勾股定理的认识，帮助学生理解勾股定理是在直角三角

32、形中才适用的，以及三角形的哪个角是直角与所生成的等式有着直接的联系.适度的解题训练有利于学生更好的学习数学，帮助学生取得好成绩，但是，不适当的训练可能会导致学生过久的停留在对细节和技巧方面的体验而不能有效形成相应的知识结构，甚至会引起学生的厌学情绪.久而久之，很容易使学生造成思维定势，从而缺乏独立思考的能力，缺乏独立创新的精神，缺乏理解力.例如，一个常见的习题如下：在中， ,求. 在解答这个题目的时候，部分同学可能会由于对勾股定理的大量习题训练，而形成“遇到直角就采用勾股定理”的定势思维，从而给出的解题思路是：先在中运用勾股定理求得的长，再在中求得的长，最后解得的长.也会有一部分同学看题目更仔

33、细一些，会发现中就可直接通过勾股定理求得的长.这两种解题方法都没有错误，这些同学对于勾股定理都能很好的运用.但是，对于本题而言，运用勾股定理解答将会加大计算的难度，容易导致计算出错.如果学生在解题之前能够考虑得更全面，对解直角三角形的相关知识有一个完善的理解，从不同的角度来思考问题，而不是盲目地跟从，缺少自己的思考，便会发现“面积法”是一个不错的选择.这可以降低计算的难度，提高本题的准确率.在立体几何的题目中，也可以通过“面积法”或“体积法”进行转换，更直观地得到最终的答案.例如，如图三棱锥中，三条棱,两两垂直，且长度都是，求顶点到平面的距离.本题用“体积法”进行解答是最快捷的，先求得、的面积

34、，通过等式,便可直接得到顶点到平面的距离.在数学教学中，每天都有新的知识要通过训练来巩固，也有学过的知识需要练习来复习，就连周末也是做不完的试卷.在如此情况下，学生产生厌恶情绪，甚至憎恨态度是很有可能的.教学训练中还常常有老师令学生读定理，背法则，考定义的现象，并成为训练的一种套路.其实，这对理解和掌握使用没什么大的帮助，只会加重记忆的负担，对学生情感产生影响.例如，分析二次函数的性质时，有些教师不是将符号与图形有机结合起来，将一般情况与特例（如时）有机结合起来，而是叫学生“记住”： 为正时，图象开口向上，为负时开口向下；为正时，对称轴是，顶点坐标是；为正、为负时如何如何，等等.长期下去，只会

35、让学生产生错误的信念：数学是死记硬背的；数学是缺少实际意义的抽象法则和规定；学数学主要靠记忆加模仿，记住大量公式、法则，按例题步骤去做.结果，只会学得又苦又累，失去兴趣.可见，适度的常规性训练在数学学习中是很必要的，处理好解题训练与数学知识的理解的良好关系，在教学中科学地运用“熟能生巧”的观点，才能有效地提高教学的效率.4、总结本文从数学CPFS结构、数学元认知理论、熟能生巧的心理分析这三个我国数学教育心理学中的热点板块进行总结，并从CPFS结构理论在数学概念教学中的应用、元认知理论在数学解题教学中的应用、正确处理解题训练与深刻理解的关系这三个角度一一对应地来论述数学教育心理学对数学教学的关键

36、性作用.当然，在教学过程中，不需要将数学教育心理学对数学教学的作用分成不同的区块，应该将其看成一个整体，体现数学教育心理学对数学教学的综合的作用，只要对于数学的教学是有利的，它便是值得大家共同学习和共同探讨的.作为即将走向岗位的准教育工作者，做到理论结合实际，全方位地学习与研究，掌握数学教育心理学在教学中的影响与运用，才能走上数学教师专业化发展的康庄大道.参考文献1喻平.数学教育心理学M.南宁:广西教育出版社,2004,8.2喻平.数学学习心理的CPFS结构理论M.南宁:广西教育出版社,2008,4.3喻平.数学教学心理学M.北京:北京师范大学出版社,2010,1.4哈玲,杨爱民.数学认知结构

37、与数学概念的学习J.文山学院学报,2010,23(4):120-124.5王文静,郑艳萍.良好的数学认知结构特征及其教学启示J.科学之友,2008,(23).6涂荣豹.数学教学认识论M.南京:南京师范大学出版社,2006,1.7涂荣豹.数学解题学习中的元认知J.数学教育学报,2002,11(4).8涂荣豹.谈提高对数学教学的认识兼评两节数学课J.中学数学教学参考:上半月高中,2006,(1).9宋远富.数学教学中应重视元认识(知)能力的培养J.乐山师范学院学报,2005,20(5).10任金城.元认知理论在数学教学中的应用J.高等函授学报(自然科学版),2011,24(4).11赵娜,王磊,原

38、凌虹,杨丽然.元认知理论对教学的启示J.高教高职研究,2011,(90).12韩雁.培养数学的元认知 提高问题解决能力J.广西教育学院学报,2004,(5).13李士锜.熟能生巧吗J.数学教育学报,1996,5(3).14李士锜.熟能生笨吗J.数学教育学报,1999,8(3).15李士锜.熟能生厌吗J.数学教育学报,2000,9(1).16王兆青.浅谈数学概念的学习J.甘肃高师学报,2004,9(5).17郑勇军.中学教学中数学概念的学习认知及教学策略J.知识经济,2010,(14).18孙高峰.浅析高中数学概念的学习J.科技创新导报,2011,(1).19赵春雷.教育心理学在数学教学中的应用J.中学生数理化教与学,2011,(8).20孔凡哲.关于数学教育心理学的研究内容J.济宁师专学报,2000,21(4).Several enlightenment of the Psychology of Mathema