高中数学会考知识点

1、数学学业水平复习知识点必修一第一章集合与简易逻辑1、集合(1) 、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用 O(2) 、集合的表示法：列举法()、描述法()、图示法();(3) 、集合的分类：有限集、无限集和空集(记作， 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集)(4) 、元素a和集合A之间的关系：a A,或a A；(5) 、常用数集：自然数集：N ;正整数集：N ;整数集：Z ;整数：Z ;有理数集：Q ;实数集：Ro2、子集(1) 、定义：A中的任何元素都属于 B,则A叫B的子集；记作：A B,注意：A B时

2、，A有两种情况：A =与A (2)、性质:、A 代A ;、若 A B, B C ,则 A C ;、若 A B,B A则 A=B ;性质：、A A 代AA 、若A B B ,则A B3、真子集(1)、定义:A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于 A ;记作:(2)、性质:、AA ；、若A B,B C ,则 A4、补集、定义：记作：CU AXX山且乂A)；、性质：ACUACUACu(CUA)A ；5、交集与并集(1)、交集：A Bx|xB性质:、A A A, A、若A B B ,则B(2)、并集：A B xxA 或 X B注：集合a,a2,an的子集个数共有丫个；真子集有2 - 1个；非空子集有

3、丫 - 1个; 非空的真子有2n - 2个2 2含参数的不等式 ax + b x+ c>0恒成立问题含参不等式ax + b x+ c>0的解集是R;其解答分a= 0(验证bx+ c>0是否恒成立)、a 0 (a<0且厶<0)两种情况。第二章函数1、函数：(1)、定义：设A, B是非空数集，若按某种确定的对应关系 f,对于集合A中的任意一个数x, 集合B中都有唯一确定的数 f (x)和它对应，就称f: A B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f ( x),(2) 、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量X的取值范围叫函数的定义域，函数值f (x)的范围叫函数

4、的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；(3) 、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法(画图象的三个步骤：列表、描点、连线)；(4) 、区间：满足不等式 a X b的实数X的集合叫闭区间，表示为：a , b满足不等式a X b的实数X的集合叫开区间，表示为：(a , b)满足不等式a X b或a X b的实数X的集合叫半开半闭区间，分别表示为：a , b)或(a , b；(5) 、求定义域的一般方法：、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R；、分式：分母0 , 0次幕：底数0 ,例：y2 |3x|、偶次根式：被开方式0,例：y ,25 X2、对数：真数 0 ,例:1、y log

5、 a(1)X(6)、求值域的一般方法:、图象观察法：y 0.2|X|、单调函数：代入求值法:1y log2(3x 1),x -,33、二次函数：配方法:X2 4x,x 1,5),X22x 2、配凑、分离常数法：y2x、换元法：y X . 1 2x(7)、求f (X)的一般方法:、待定系数法：一次函数f( X)，且满足3f (X1) 2f (x1)2x 17 ,求 f( X)、配凑法：f( 1)XX2、换元法：f(, X1)2、X ,求 f( X)、解方程(方程组):定义在(-1，0)U( 0，1)的函数f(X)满足 2f (X) f (X)-,求 f (X) X2、函数的单调性:(1)、定义：

6、区间D上任意两个值X1 , X2 ,若X1X2 时有 f(X1 )f(X2),称f (X)为D上增函数;右X1X2时有f(X1) f(X2),称f (X)为D上减函数。(一致为增，不同为减)(2) 、区间D叫函数f(x)的单调区间，单调区间定义域；(3) 、判断单调性的一般步骤：取值，作差，变形，下结论(4) 、复合函数y fh(x)的单调性：同增异减 3、函数的奇偶性：、定义：对于函数f ( x)的定义域内的任意一个 X,都有：f (-X) = - f(x),则称f (x)是奇函数，f(-X)= f(x),则称f(x)是偶函数 、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称； 、奇函数

7、，偶函数的定义域关于原点对称； 单调性：奇函数对称区间单调性一致，偶函数对称区间单调性相反4、指数及其运算性质：(1)、如果一个数的n次方根等于a( n 1,n N ),那么这个数叫a的n次方根;Pa叫根式，当n为奇数时，aa ;当n为偶数时，nanI I a(a 0)| a |a(a 0)(2)、分数指数幕:正分数指数幕：ma下nam ；负分数指数幕：上1a nma0的正分数指数幕等于 1, 0的负分数指数幕没有意义(O的负数指数幕没有意义)1(3)、运算性质：当 a 0,b O,r,s Q 时：ar as ar s,(ar)s ars,(ab)rarbr, Vaar ；5、对数及其运算性质

8、：(1)、定义：如果ab N(a 0,a1),数b叫以a为底N的对数，记作IogaN b ,其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为 IgN,以e=2.7182828为底叫自然对数：记为 InN(2)、性质：负数和零没有对数，、1的对数等于0： loga10,、底的对数等于1： Ioga a 1 ,、积的对数：oga(MN ) IogaM log a N ,商的对数：IOgaM Ioga M Ioga N ,N 1幕的对数：log a M n nIogaM ,方根的对数：IoganM Ioga M ,n6、指数函数和对数函数的图象性质函数指数函数对数函数定义y a %( a 0且 a

9、1)y Iog a X ( a 0且 a 1)a>10<a<1a>10<a<1(非图象E奇非偶)yi y=ay=ax JAyA yiy=Iog axyL1OOy=ogaxOF XOX性质定义域(-, + )(-, + )(0, + )(0, + )值域(0, + )(0, + )(-, + )(-,+ )单调性在 ( -, + )上是增函数在 (-, + )上是减函数在(0, + )上是增函数在(0, + )上是减函数函数值变化1, x 0 ax 1, x 01,x01,x0ax 1,x01,x00,x1Iog a X 0,x10,0X 10,x1Ioga

10、X 0, X 10,0 X 1图定点a01,过定点(0, 1)Iog a 10,过定点(1, 0)象图象特征a0,图象在X轴上方X 0,图象在y轴右边图象关系y a的图象与y log a X的图象关于直线 y X对称17、幕函数：函数y X叫做幕函数(只考虑1,2,3, 1,-的图象)。2第三章方程的根与函数的零点：如果函数y f()在区间a , b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b) 0 ,那么，函数y f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在C (a,b)，使得f(c) 0,这个C也就是方程f(x) 0的根。必修二一、空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常

11、见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。3、空间几何体的表面积与体积eZ圆柱侧面积；S侧面2 r l体积公式:圆台侧面积：S侧面V柱体-S h ；S h ； V锥体3V台体S下hR3.3球的表面积和体积:4 R ， V 球、点、线、面的位置关系及相关公理及定理:1、平面的性质:公理1:如果有一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还

12、有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。（两平面相交，只有一条交线）Pl且P l公理3:不在同一直线上的三点确定一个平面。（强调“不共线”）（三个推论：1、直线和直线外一点,2、两条相交直线，3、两条平行直线，确定一个平面）空间图形的平面表示方法：斜二测画法（水平长不变，竖直长减半）1、两条直线的位置关系：平行，相交，异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线（1）、异面直线判断方法：定义，判定：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过此点的直线是异面直线.（两在两不在）（2）、两条直线垂直：两条异面直线所成的角是直角，这两条直线互相垂直.垂直相交（共面）、异面垂直，都叫两条直

13、线互相垂直.（3）、空间平行直线：公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行。3、直线与平面的位置关系直线在平面内直线在平面外直线与平面相交，记作a OFA直线与平面平行，记作all 4、平面与平面位置关系 J平行相交5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两a符号表示：ball。all b个平面平行。b符号表示：ab Pa/。图形表示:b7、.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过b/2这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这a/b。图形

14、表示:条直线平行9、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平a ,bF垂直，那么这a/符号表示：aP8、两个平面平行的性质定理：/如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。符号表示：条直线垂直于这个平面。符号表示:12、平面与平面垂直的性质直线垂直于另一个平面10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：l, l11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。符号表示：ba/b。13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。(如右图)(1) 、等角定

15、理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相同。(2) 、角的范围：、异面直线所成的角的范围：0 2两条直线所成的角的范围：O两个向量所成的角的范围：O 、斜线与平面所成的角的范围：O2直线与平面所成的角的范围：O -2 、二面角的范围：O(3)异面直线所成的角：已知两条异面直线a、b ,经过空间任一点 O作a'/ a , b' / b , a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(0,.2求法一：作平行线；求法二：(向量)两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦。(4) 二面角：从一

16、条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，直线叫二面角的棱；.面角的平面角：垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线所成的角。求法一：几何法：一作二证三计算 利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角,求法一：向量法：二面角的两个半平面的法向量所成的角(或其补角)n和n2分别为平面 和 的法向量，记二面角l的大小为 ，mm或n1, n2(依据两平面法向量的方向而定1 ni n2 1 总有 |cos | ICOS n1,n2 I=|ni |n2 i第三章：直线和圆的方程1、倾斜角和斜率：(1)倾斜角： 、范围:0,180 )、定义：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把 X轴饶交点按

17、逆时针方向旋转到和直线重合时的最小正角记为，则 叫直线的倾斜角；当直线与和 X轴平行或重合时，倾斜角为0 ；当直线与和X轴垂直时，倾斜角为 90(2) 斜率：k tan , k (,)当k是特殊角的三角函数值时，直接写出角(3)直线上两点P1(X1,y1), P2(X2, y2),则斜率为ky2 y1X2X12、直线方程：直线方程的五种形式(1)、点斜式y y1 k(x X1)；(2)、斜截式：y kx b ； (3)、两点式y y1y2 y1X2X1XX1(4) 、截距式：X L 1 (截距是直线与坐标轴的交点坐标，可正可负可为零)a bAC(5) 、一般式：AX By C 0 ( A、B不

18、同时为0) 斜率k -，y轴截距为 BB3、两直线的位置关系(1)平行：I1/I2k1k2 且 b1b2A1A2B1B2C1C2.时,l1l2;垂直：k k21I 1I 2AIA 2B1B20l1l 2 ；(2)相交：k1k2AIBl- ?交点就是方程组A1 XBlyC10;的解。A2B2A2XB2yC20.(3) 、两点 P(Xi,yd、P2(X2,y2)的距离公式 丨P1P2| =QXp(y2疔(4) 、两点Pi(x,yi)、P2(X2,y2)的中点坐标公式M(xx2 ,yiy2 )2 2(5) 点到直线的距离公式 d _AXO_Byo_C_ (直线方程必须化为一般式)P BT两平行线间的

19、距离公式：d _C2 C1_ (即一条直线上任一点到另一条直线的距离)JA2 B 24、圆的方程：(1)圆的标准方程 (X a)2 (y b)2 r2 ,圆心为C(a,b),半径为r(2)圆的一般方程X2y2 DXEyFo (配方:(X D)2 (y -)2 -E4F)224D22E 4F 0时,表示一个以(D为圆心,A 半径为 .D 2 E2 4F的圆2(3)点与圆的位置关系:判断方法上(X a)22(y b)r2,外0,内0 ,上=0(4)直线与圆位置关系:已知直线AX By C0和圆(X a)22 2(y b) r、圆心到直线的距离d与r比较,相离d r,相切dr ,相交、利用根的判别式

20、：联立Ax $BXCO2 2(X a) (y b)消元后得一元2r.次方程的判别式0 直线和圆相交,0 直线和圆相切，0 直线和圆相离;相关问题：求弦长：弦心距，半径，弦的一半组成Rt(6) 求圆的切线方程：设 点斜式，用圆心到切线的距离等于半径，求斜率；2 2 2 2、过圆Xy r上一点M(X0,y0)的切线只有一条，方程为：x°x y°y rX X0 )、过圆外一点的切线一定有两条；(若只解出一个斜率，另一条没有斜率，切线方程为: 、斜率确定的切线一定有两条(如图)必修三第二章：统计1抽样方法： 简单随机抽样（总体个数较少） 系统抽样（总体个数较多） 分层抽样（总体中差

21、异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出 n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为 。N2、总体分布的估计：一表二图： 频率分布表一一数据详实 频率分布直方图 分布直观具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直 方图。注：1、频率分布直方图中小正方形的面积 =组距×频率。2、频率分布直方图：频率=小矩形面积（注意：不是小矩形的高度）频率=小矩形面积=组距兰率组距频数计算公式：频率=频数=样本容量 频率样本容量各组频数之和=样本容量,各组频率之和=1 频率分布折线图一一便于观察总体

22、分布趋势注:（ 1）折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。（2）总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图： 茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：X Xl X2 X3Xn ；n取值为X1,X2, ,Xn的频率分别为P1,P2, , Pn ,则其平均数为Xi Pl X2 P2Xn Pn ；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；中位数：将一组数据按照从大到小（或从小到大）排

23、列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的 中位数；方差与标准差：一组样本数据X1 , X2 , ,Xn,n2方差:2 1S(Xix)；n i 1标准差：S F (Xi X)注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 线性回归方程 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； 制作散点图，判断线性相关关系 线性回归方程：y bx a (最小二乘法)Xi yi nx yi 1_2 nxy bx注意：线性回归直线经过定点(,y)。第三章：概率：1、随机事件：一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,BQ表示

24、.随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 总接近于某个常数， 在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P (A)O由定义可知0 P (A) 1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0。1、事件间的关系：(1) 互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；(2) 对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；(3) 包含：事件A发生时事件B 一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A )；(4) 对立一定互斥，互斥不一定对立。2、概率的加法公式：(1) 当A和B互斥时，事件 A+B的概率满足加法公式：P (A+B) =P (A) +

25、P (B) (A、B互 斥)(2) 若事件A与B为对立事件，则A B为必然事件，所以P(A B)= P(A)+ P(B)=I ,于是 有 P(A)=1 P(B).(3 )独立事件同时发生的概率：独立事件 A，B同时发生的概率：P(A B)= P(A) P(B).3、古典概型：(1)正确理解古典概型的两大特点：1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2)每个基本事件出现的可能性相等；（2 ）掌握古典概型的概率计算公式：事件A包含的基本事件个数mP（A）实验中基本事件的总数n4、几何概型：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型

26、为几何概率模型。（2） 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等事件A构成的区域的长度（面积或体积）（3）几何概型的概率公式：P（A） 实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）必修四第一章三角函数1、角：（1 ）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角;（2） 、与 终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合 |k 360 ,k Z （3） 、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象 限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。

27、1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。（2）、度数与弧度数的换算：180弧度，1 弧度（180）57 182、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做（3）、弧长公式：Illr （ 是角的弧度数）112扇形面积：S 1Ir 丄| Ir2（ I为 所对的弧长，r为半径，正负号的确定：逆时针为正,22顺时针为负）。ySintanyCOSXrXr函数 （1）、定义：（如图）（2（ 2）、各象限的符号+Ii+ Ly+OXOXO+ +H,XSincostan（3）、特殊角的三角函数值的角度030456090120135150180270360的弧度02353264323462Sin01近31晶42

28、010222222COS13血10123101222222tan031130033、4、同角三角函数基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系:.22*SinSIn CoS 1 tan GQS、Sin21 cos2,Sin.1cos2(Sin2cos )12 sin cos1Sin 2（3）同角三角函数的常见变形：（活用“ 1 ”）5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）公式一：sin（ k 360 ） Sincos（k；cos21 Si n2,cos1 sin2；,1 Sin 2| Sincos|360 ) costan(k360 )tan公式一：公式三：公式四：公式五：Si n(180)Si

29、nSi n(180)Sinsin()Sinsin( 360)Sincos(180)coscos(180)coscos()coscos(360)costan (180)tantan (180)tantan()tantan (360)tansin(-) cos2补充：cos(-) Sin2sin(-) cos2cos(?)SinSin(L)cos2COSC)Sinsin(丄) cos23 cos() Sin26、两角和与差的正弦、余弦、正切S():sin()Sin coscosSinS()： sin()SincoscosSinC():cos(a)cos cosSinSinC()： cos(a)co

30、scosSinSin、 tantantantanT():tan()t(): tan()1 tan tan1 tantanT()的整式形式为：tan tan tan( ) (1 tan tan )7、辅助角公式：asinxbcosxa2 b2a2Ia一SinX bb2、a2b2COSX.a2 b2(sinx cos cosx Sin )a2b2 Sin(x)（其中称为辅助角,的终边过点（a, b）， tanb）（多用于研究性质）a8、二倍角公式：(1)、S2sin 22 sin cosC2cos 22 cos2 Sin2si n2C22 cosT2 :tan 22ta n1 tan2(2)降次公

31、式:（多用于研究性质）2 cos1 cos2-2 Sin1 cos2Sincos2sin2图象y=s inxy=ta nxy=cosxRRxxI'I I2，k Z9、三角函数的图象性质（1）、函数的周期性：、定义：对于函数f （X），若存在一个非零常数 T,当X取定义域内的每一个值时,都有：f （ x+T）= f（ x），那么函数f（ x）叫周期函数，非零常数 T叫这个函数的周期；、如果函数f （ x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f （X）的最小正周期。（3）、正弦、余弦、正切函数的性质（ k Z ）函数值域1,11,1奇偶性奇函数偶函数奇函数周期22性在在2k,2

32、k(k Z)在2k2,2k尹Z)上是增函数(k -,k -)(k Z)2 2单调上是增函数在2k ,2k(k Z)上是增函数性在上是减函数2k2,2kZ)上是减函数当X2k2,k Z时，当 X 2k ,kZ时,y max1y max1无最值当X2k2,k Z时，当 X (2k 1),k Z 时,y min1y min1对称中心（k ,0), kZ对称中心（k,O)，对称中心（k ,0）,对称对称轴k Z2k Z性X k2(kZ)对称轴：Xk (k Z)对称轴：无3图象的五个关键点：（0, 1）,（, 0）,（, -1）,（,0）,（ 2 , 1 ）；2 2y Sin X图象的五个关键点：(0

33、,0 ),(-2,1),(,0 ),3(-2,-I),(2,0)；y COSX2-1y ASi n(4) 、函数yASin( X )(A 0,0)的相关概念:再把y Sin（X）的所有点的横坐标缩短1）或伸长(01）到原来的丄倍（纵坐标不变）函数定义域值域振幅周期频率相位初相图象y ASin( X)X R-A, AAT Jf丄T 2X五点法）的图象与y Sinx的关系：当A 1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍振幅变换:ySin X当0当A 1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍'y11时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍h-ASin X周期变换:ySin X当011时，图象上各

34、点的纵坐标伸长到原来的倍y Sin X当0时，图象上的各点向左平移个单位倍k相位变换:ySin X当0时，图象上的各点向右平移I|个单位倍ySin (X当30时，图象上的各点向左平移个单位倍Jk-平移变换:yASi nXyASin( X当0时，图象上的各点向右平移I |个单位倍常叙述成：把ySi nx上的所有点向左平移个单位（0时）平移|得到y Sin (X）；得至U y sin( X再把y sin( X）的所有点的纵坐标伸长A 1）或缩短（0A 1）到原来的A倍（横坐标不变）得到y ASin（ X）的图象。先平移后伸缩的叙述方向：y ASin（ X ）先平移后伸缩的叙述方向:y ASin(

35、X)Asin (X -)10、三角函数求值域（1） 一次函数型：y ASi nx B ,例：y2sin (3x) 5， y Si nxcosx12用辅助角公式化为：y a Si nx b cosx . a2 b2 Sin(X),例： y 4sinx 3cosx第二章、平面向量1、空间向量：(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。2向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的模(或长度)(4) 零向量：长度为 O的向量叫零向量，记作 O ;零向量的方向是任意的。a(5) 单位向量：长度等于 1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a平行的单位向量：e|a|(6) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作ab ；规定O与任何向量平行；(7) 相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等； ：它的长度：Iall | |a| ； ：它的方向：当 0， a与向量a的方向相同；当 0， a与向量a的方向相反；当 0时, a = 0 ； 实数与向量的积的运算律：设为实数，那么(1)结合律： ( a)=( a ;(2)第一分配律：(+ a = a + a;(3)第二