高中数学同步讲义必修二——第四章4.2.3直线与圆的的应用

1、423直线与圆的方程的应用【学习目标】1了解直线与圆的位置关系的几何性质 2会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的 位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题3会用“数形结合”的数学思想解决问题.问题导学预号新知夯实Itfit知识点坐标法解决几何问题的步骤 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；例1为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点 A,接着向东再走7 km到达公路上的

2、点B;从基地中心 O向正北走8 km到达公路上的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE ,求DE的最短距离.解 以O为坐标原点，OB, OC所在的直线分别为 X轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆X VO的方程为X2+ y2= 1.因为点B(8,0), C(0,8),所以直线BC的方程为§+ = 1,即x+ y = 8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短 答 DE的最短距离为(4 '2- 1)km.距离.此时DE的最小值为|0+ 0 8|1 = (4 '2 1)km.反思与感悟针

3、对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关 键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题.跟踪训练1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m,水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为m.答案 2 51解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系设圆心为C,圆的方程设为X2+ (y+ r)2 = r2(r> 0),水面所在弦的端点为A, B,贝U A(6,2) 将 A(6,圆的方程为X2+ (y+ 10)2= 100.当水面下降1 m后，可设点 A' (xo, 3)(xo>0)

4、,将A' (x0, 3)代入圆的方程，得 X0= 51 , 当水面下降1 m后，水面宽为2x0= 2 51(m).类型二与圆有关的最值问题例2已知实数x, y满足方程(X 2)2+ y2= 3.(1) 求y的最大值和最小值；X求y X的最大值和最小值；求X2+ y2的最大值和最小值.|2k 0|此时 k2+ 1=3,解 原方程表示以点(2,0)为圆心，以.3为半径的圆.(1)设y= k,即y= kx,当直线y= kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值,X设y X = b,即y = x+ b,当直线y= x+ b与圆相切时，纵截距 b取得最大值和最小值，此|2 0+ b|时一砲=3,!卩

5、b= 2 ±6,故y X的最大值为一2 + 6,最小值为一2 6.(3)x2 + y2表示圆上的点与原点间距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所连直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2,故(x2+ y2)max= (2 + .：3)2 = 7+ 4 '3,(x2 + y2)min = (2 .3)2= 7 4.3.反思与感悟利用直线与圆的方程解决最值问题的方法(1) 由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的几何量有斜率、截距、距离等.(2) 转化成函数解析式，利用

6、函数的性质解决.跟踪训练2 已知圆C: (x+ 2)2+ y2= 1, P(x, y)为圆C上任一点.(1) 求2的最大值与最小值；(2) 求x 2y的最大值与最小值.y一 2y一 2解 显然可以看作是点P(x, y)与点Q(1,2)连线的斜率，令=k,如图所示，则其x 1x 1最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率.对上式整理得 kx y k+ 2= 0,| 2k+ 2 k|3 ±, 34故山的最大值是X 1¥，最小值是3 .34令U= X- 2y,则U可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，U的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得依题意，得-1=

7、 1解得U =2 +' 5,故X 2y的最大值是2 + '5，最小值是2 '5.类型三 坐标法证明几何问题例3如图所示，AB是 O的直径，CD是 O的一条弦，且 AB CD , E为垂足.利用坐 标法证明E是CD的中点.证明 如图所示，以 O为坐标原点，以直径 AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系,设O的半径为r, |OE|= m, 则O的方程为X2+ y2= r2,设 C(m, bi), D(m, b2).则有 m2 + b2= r2, m2+ b2= r2, 即bi, b2是关于b的方程m2+ b2= r2的根,解方程得b= + r2-m2,不妨设b2 =r2- m

8、2则CD的中点坐标为m,'r2 m2 - r2- m22即(m,0).故E(m,0)是CD的中点，即E是CD的中点.反思与感悟坐标法建立直角坐标系应坚持的原则(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为X轴和y轴.充分利用图形的对称性.(3) 让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.关键点的坐标易求得.跟踪训练3如图所示，在圆 O上任取C点为圆心，作圆 C与圆O的直径AB相切于点D , 圆C与圆O交于点E, F ,且EF与CD相交于H ,求证：EF平分CD.则 ICDI=I r.方程X2+ y2= 1(- 1 0)所表示的图形是()A 以原点为圆心，1为半径的上半圆 B 以原点

9、为圆心，1为半径的左半圆- a2, C(a, .r2-a2),圆 O: X2+ y2= r2, 圆 C: (X-a)2+ (y- ；r2-a2)2= r2-a2.两方程作差，得直线 EF的方程为2ax+ Z ；' r2- a2y= r2+ a2.令 X= a,得 y= 2. r2-a2, H a, 2- r2-a2 ,即 H 为 CD 的中点， EF平分CD.达标检测 椅测评怕达IS过芸C 以原点为圆心，1为半径的下半圆D 以原点为圆心，1为半径的右半圆答案 B2 一辆卡车宽1.6 m ,要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距 地面咼度不得超过()A 1.

10、4 m B 3.5 m C. 3.6 m D. 2.0 m答案 B解析 如图，圆的半径IoAI= 3.6 m ,卡车宽1.6 m ,£:3O3,6所以 AB= 0.8 m,所以弦心距 OB=打 3.62-0.82 3.5(m) 3 设村庄外围所在曲线的方程可用(X- 2)2+ (y+ 3)2 = 4表示，村外一小路所在直线的方程可用X-y+ 2= 0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为 答案 I-2解析由圆心(2, - 3)到直线X- y + 2= 0的距离为d = 12 +3+21 = 普,则从村庄外围到小路的最短距离为36 m ,以操场中心为4 .某操场400 m跑道的直道长为

11、86.96 m ,弯道是两个半圆弧，半径为 坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，求弯道所在的圆的方程.解 易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为C(0,43.48),其所在圆的半径为36,故上半个弯道所在圆的方程是x2 + (y - 43.48)2= 362.同理下半个弯道所在圆的方程是X2 + (y + 43.48)2= 362.厂T规律写方法要善于利用其解决1 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用, 些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有用坐标法解决几何问题的意识，用坐 标法解决平面几何问题的思维过程：化啊问 I 4ZM±*8i*f同j.tH2

12、.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然 后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.课时对点练、选择题 1. y=的图象和圆X2+ y2= 4所围成的图形的面积是(a43c3 答案 D1解析数形结合，所求面积是圆2+心4面积的42.若实数x, y满足(x+ 5)2+ (y 12)2= 142，则x2+ y2的最小值为()A . 2B. 1C. 3D. . 2答案 B解析X2 + y2表示圆上的点(x, y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14 '52+ 122= 1.3 .已知圆X2+ y2+

13、 2x 2y+ 2a= 0截直线x+ y+ 2 = 0所得弦长为4,则实数a的值是()A . 1B. 2C. 3答案 B解析 圆 X2+ y2+ 2x 2y+ 2a = 0,即(x+ 1)2+ (y 1)2= 2-2a,故弦心距d =1 + 1 + 2|'2再由弦长公式可得 2 2a= 2+ 4,* a = 2.4设P是圆(X 3)2+ (y+ 1)2= 4上的动点，Q是直线X= 3上的动点，则IPQl的最小值为()A 6B 4C 3D 2答案 B解析 如图，圆心 M(3, 1)与定直线x= 3的最短距离为MQ= 3 ( 3) = 6又因为圆的半径为2,故所求最短距离为6 2= 4.5

14、已知点A( 1,1)和圆C: (X-5)2+ (y 7)2= 4,一束光线从点A经X轴反射到圆C上的最短路程是()A 6 2 2 B 8 C 4 6 D 10答案 B解析 点A关于X轴的对称点A' ( 1 , 1), A'与圆心(5,7)的距离为-'5+ 1 2+ 7 + 1 2= 10. .所求最短路程为10 2= 8.6 已知集合 M = (x, y)|y =9 X2, y0 , n = (x, y)|y= x+ b,若 M N ?,则实数 b的取值范围是()A 3 .2, 3 ,2B 3,3C ( 3,3 .2D 3 . 2, 3)答案 C解析 数形结合法，注意

15、y=. 9 X2, y 0等价于X2+ y2= 9(y>0), 它表示的图形是圆 X2+ y2= 9在X轴之上的部分(如图所示)结合图形不难求得, 当一3<b 3 .2时, 直线y= x+ b与半圆x2+ y2= 9(y>0)有公共点.7 .已知两点 A 2,0), B(0,2),点C是圆X2+ y2- 2x= 0上任意一点，则 ABC的面积的最 小值是()A . 3 ,2B. 3+223V2C. 3 2D2答案 A解析直线AB的方程为X- y + 2= 0,圆心到直线 AB的距离为d =|1 0+ 2|3,2所以圆上任意一点到直线 AB的最小距离为 1, 所以 ABC面积的

16、最小值为Sabc = * × |AB | × 32 1 =§× 2 2× 迸1 = 3 2.二、填空题y+ 28 .已知实数x, y满足X2+ y2= 1,则的取值范围为 x+ 13答案3, +y + 2解析令k=-,x+ 1即 kx y+ k 2 = 0,则圆心(0,0)到直线kx y+ k 2= 0的距离小于或等于半径, 即兰1，即k9 .已知圆C: (X-1)2 + y2= 1 ,点A( 2,0)及点B(3, a),从点A观察点B,要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为.答案- 542 U 54,+解析由题意知，AB所在直线与圆C相切或外

17、离时，视线不被挡住，直线 AB 的方程为 y = (x+ 2),即 ax-5y+ 2a = 0,所以d=固 1,即a乎或a-乎.a2+ - 5 24410. 已知圆O: X2+ y2= 5和点A(1,2),则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.答案254解析点A(1,2)在圆X2+ y2= 5上，过点A与圆O相切的切线方程为 x+ 2y = 5,易知切5 25线在坐标轴上的截距分别为5, 2， 切线与坐标轴围成的三角形的面积为411. 过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x, y)|x2+ y2 4分为两部分，使得这两部分的面积之 差最大，则该直线的方程为 .答案 x+ y-

18、2= 0解析 由题意知，点 P(1,1)在圆x2+ y2= 4内，则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心 O和P(1,1)的连线垂直，该直线斜率为1,由点斜式方程，得 y- 1 = - (x- 1),即 x+ y- 2= 0.12 .台风中心从 A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km内的地区为危险 区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为 h.答案 1解析 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为X轴，建立平面直角坐标系，则台风经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内，即危险区为MN ,可求得|MN| = 20

19、, 所以时间为1 h.三、解答题13. 已知实数X, y满足方程(X- 3) 3 2 2+ 32= 10,又圆 C 的半径是,'6 ,所以 C X 2 2+ y2)maX= 10+ ., 6,X- 2 2+ y2)min = .10 . 6. 四、探究与拓展414. 如图所示，已知直线I的解析式是y= 3X 4 ,并且与X轴，y轴分别交于A, B两点，一 + (y 3)2= 6.求：(1) y的最大值与最小值；X(2) X 2 2+ y2的最大值与最小值.解(1)设k = X，表示圆上点P(x, y)与原点连线的斜率，直线OP的方程为y= kx,当直线d= 3| = -6,得 k= 3