离散数学+高等里离散数学课件CHAPT18

1、离离 散散 数数 学学 1第十八章环与域离离 散散 数数 学学 2目录 群是只有一种二元运算的代数系统。本章介绍具有两种二元运算的代数系统环与域： 18.1 环与子环 18.2 环同态 18 3 域的特征质域 18.4 有限域 18.5 有限域的结构离离 散散 数数 学学 318.1 环与子环离离 散散 数数 学学 4环的定义 定义18.1.1：设R是非空集合，其中定义了加法和乘法两种封闭运算。如果对a, b,cR，有 (1)a+b = b+a； (2)a+(b+c)=(a+b)+c； (3)0R使a+0=a，称0为零元； (4)对aR，aR，使a+(a)=0，称a为a的负元； (5)a(bc

2、)=(ab)c (6)a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc 则称R是一个环。加法满足交换律加法满足结合律加法有单位元加法有逆元乘法满足结合律乘法对加法满足分配律离离 散散 数数 学学 5环的概念 环是具有两个封闭运算的非空集合； 其中加法具有结合律、单位元、逆元和交换律，因而是一个交换群； 而对乘法只具备封闭性和结合律。具有一种封闭且满足结合律的运算的非空集合称为半群，于是环对乘法构成半群。 两种运算的联系是乘法对加法具有分配律，包括左右分配律。因乘法不一定满足交换律。 可以说，环是同一集合上的交换群和半群的结合，结合的纽带是半群的运算对交换群的运算具有分配律。离离 散散 数数

3、 学学 6环的举例 例1：整数集Z、有理数集Q、实数集R和复数集C对于普通的加法和乘法作成环。其中Z称为整数环。 例2：设S为集合，则幂集(S)对于集合的对称差运算和交运算作成环，称为S的子集环。n例3：所有实数n阶方阵作成的集合，对矩阵的加法和乘法构成一个环。离离 散散 数数 学学 7环的几个运算性质 定理18.1.1：设R是环，a, b, cR，有： (1)0a = a0 = 0; (2)a(b) = (a)b = (ab); (3) (a)(b) = ab; (4)a (bc) = abac; (5) (bc)a = baca。离离 散散 数数 学学 8零元乘任何元为零元 证明：因为0a

4、 = (0 + 0)a = 0a + 0a，所以由消去律得0a = 0。 同理可得a0 = 0。 由此可以看到，零元(加法的单位元)乘以任何元素或任何元素乘以零元都等于零元。 这说明普通乘法中的零乘以任何数等于零的原则在所有的环中都成立。离离 散散 数数 学学 9乘积中负号可随意挪动 证明：a(b)+ab = a(b + b) = a0 = 0，a(b)与ab互为逆元，即a(b) = (ab)。 同理可得(a)b = (ab)。 这个性质说明乘积中的负号(求加法的逆元)的位置可以随意挪动。离离 散散 数数 学学 10负负得正 证明：因为由分配律得： a(b)+(a)(b) = a+(a)(b)

5、 = 0(b)=0 且a(b)+ab = a(b) + b = a0 = 0 所以a(b)+(a)(b) = a(b) + ab。 再由消去律得(a)(b)= ab。 这个性质说明在环中，两个元素的乘积等于它们的负元的乘积，即负负得正。离离 散散 数数 学学 11乘法对减法的分配律 证明： a(b c) = ab + (c) = ab + a(c) = ab + (ac) = ab ac。 类似地可证明(a b)c = ac bc。 性质(4)和性质(5)说明环中乘法对减法的左右分配律都是成立的。 离离 散散 数数 学学 12分配律的推广 用数学归纳法，不难将分配律推广如下：a(b1+b2+b

6、n)=ab1+ab2+abn；(a1+a2+an)b=a1b+a2b+anb。 同时也不难得出如下的公式：(a1+a2+am)(b1+b2+bn) = aibj， 其中，1im，1jn。离离 散散 数数 学学 13倍运算和幂运算 设R是环，a, bR，对任意正整数m, n，有： 加法的幂运算(又称为倍运算)：ma = a + +a = a，(一共有m个a)a(mb) = (ma)b = m(ab) = mab。 乘法的幂运算：am+n = aman (第一指数律); (am)n = amn (第二指数律)。 由R中乘法的性质，可分别定义一些特殊的环。离离 散散 数数 学学 14交换环 定义18

7、.1.2：设R是环，若R的乘法也满足交换律，即 ab = ba，a, bR，则称R是个交换环。 显然，对于交换环，还满足第三指数律，即对a, bR，n1，有(ab)n = anbn (第三指数律)。 而且由数学归纳法可证明二项式定理：(a+b)n = an + Cn1an1b + Cn2an2b2 + + bn。 前述的例1和例2种的环都是交换环，但例3即所有实数n阶方阵作成的集合，对矩阵的加法和乘法构成的环不是交换环。 . 离离 散散 数数 学学 15含幺环 定义18.1.3：设R是环，|R|1。若存在元素1R，使得对于任意aR，有1a = a1 = a， 则称R为含幺环，其中1称为幺元。

8、所谓含幺环就是乘法也具备单位元的环，乘法的单位元就称为幺元。 例1中的环都是含幺环，其幺元为整数1；例2中S的子集环也是含幺环，其幺元为S；例3中的环也是含幺环，幺元为n阶单位方阵。离离 散散 数数 学学 16无零因子环 定义18.1.4：设R是环，若对任意a, bR，由a0，b0必有ab0，则称R为无零因子环。 所谓环的零因子就是满足a0，b0但ab = 0的R中的元素a，b。 所有实数的n阶方阵构成的环中就存在着零因子。例如，令n=2，则因为=0 1 1 1 0 00 1 0 0 0 0n故 和 都是零因子。0 1 1 1 0 1 0 0 离离 散散 数数 学学 17无零因子环就是消去环

9、命题18.1.1：环R无零因子，当且仅当R中的乘法满足消去律。 证明：设R无零因子。若ab = ac且a0，则有a(bc) = 0。因R无零因子，而 a0，故必有 (b c) = 0，从而b=c。同理可证，若ac = bc且c0，则有a=b。因此消去律成立。 反之，设消去律成立。设a0且b0，若ab=0，则有ab=a0。由a0和消去律即得b=0。矛盾。故ab0，从而R中无零因子。n环中的乘法只是一个半群，不作成群，因而环中的乘法一般都不满足消去律。n乘法也满足消去律的环称为消去环。所以无零因子环又称为消去环。n无零因子环对于乘法是否也作成群呢？n不！满足消去律不能保证能作成群。只有在集合是一个

10、有限集合时，才能作成群。离离 散散 数数 学学 18整环 定义18.1.5：含幺且无零因子的交换环称为整环。 整环是含幺环、交换环和无零因子环的综合，因此，整环自然就 (1)乘法有单位元； (2)乘法满足交换律； (3)无零因子； (4)乘法满足消去律。 例1中的环都是整环。离离 散散 数数 学学 19 环R中的乘法只是一个半群，不作成群。那么R中全体元素是否能够对乘法也作成一个群呢？ R中全体元素不能够对乘法作成一个群。 因为R中有一个零元 0。零元乘以任何元素都等于零元，也就不可能有任何元素和零元相乘等于幺元(乘法的单位元)，所以零元不可能有逆元。 但是R中除去零元后的元素却能够对乘法作成

11、一个群。体和域 定义18.1.5：设R是环。如果R0对乘法作成一个群则称R为体。如果体R对乘法可交换，则称R为域。 例如，所有有理数、所有实数、所有复数分别作成的环都是域。 而所有整数作成的环不是域，因为Z 0不是群。这说明整环不一定是域。离离 散散 数数 学学 20域必是整环 定理18.1.2：域必是整环。 证明：因为域中所有非零元的元素对乘法也作成群，而群是满足消去律的。故域满足消去律。从而域必是整环。 具有封闭运算且该运算满足结合律和消去律的集合并不一定能够作成群。 具有封闭运算且该运算满足结合律和消去律的有限集合一定能够作成群。n定理18.1.3：有限整环必是域。n证明：因为R有限，R

12、0也有限。又R满足消去律， R0也满足消去律。故R0作成群。所以有限整环R必是域。离离 散散 数数 学学 21子环 定义18.1.7：设R是环，S是R的非空子集。如果S对R中的加法和乘法也作成一个环，则S称为R的子环，R称为S的扩环。 类似地，可以定义体的子体，域的子域。离离 散散 数数 学学 22子环的充要条件 定理18.1.4：S是环R的子环必要而且只要 (1)S是R的非空子集； (2)若a, bS，则a bS； (3)若a, bS，则abS。加法要成群n证明：必要性显然成立，下证充分性。由(1)和(2)知S是R的加法子群；由(3)和SR知S对乘法封闭且乘法的结合律和分配律在S中均成立。故

13、S是R的子环。乘法要封闭离离 散散 数数 学学 23子环与扩环在幺元上可能不同 设S是R的子环。 S的零元显然就是R的零元。 若R是含幺环，而S不一定是含幺环。 若R是含幺环，即便S也是含幺环，但是R和S的幺元也不一定相同。 例如：任意域F上的n阶方阵作成环，其幺元为单位方阵。又对任意i, j1，aij=0的所有n阶方阵是它的子环，其幺元为仅a11=1的方阵。离离 散散 数数 学学 2418.2 环同态离离 散散 数数 学学 25理想 定义18.2.1：设R是环，N是R的非空子集，若： (1)对任意a, bN，有a bN； (2)对任意aN, xR, 有axN, xaN， 则称N为R的理想。

14、显然，理想是一种特殊的子环。所以理想必是子环，但是反之不然。 环R是自身的理想，称为单位理想；0也是R的理想，称为零理想。离离 散散 数数 学学 26主理想 例1：设R是含幺交换环，aR。令 aR = ar | rR 则aR是R的理想，且aaR。这种理想被称为由a生成的主理想，记为(a)。 显然，(0) = 0，(1) = R，而(a) = aR可以说是包含a的所有“倍元素”的子环。在整数环Z中，由m生成的主理想(m) = mZ就是m的所有倍数作成的理想。离离 散散 数数 学学 27一个非主理想的理想 例2：在由整数系数的多项式构成的环Zx中，令N是常数项为偶数的所有多项式的集合。于是N是Zx

15、的一个理想，但不是主理想。 证明：显然N是Zx的理想。下证N不是主理想： 假设N=(f(x), f(x)Zx。即N是由f(x) 生成的主理想。于是N=f(x)Zx。 2N，g(x)Zx，使2= f(x)g(x)。从而f(x)为零次多项式，即f(x)=mZ。从而N=(m)。 又xN, h(x)Zx, 使x=mh(x)。且h(x) 必为一次多项式,不妨设h(x)=ax+b,于是 x=m(ax+b) 比较x的系数，得ma=1，m=1。 这样N包含1或1。矛盾。故N不是主理想。离离 散散 数数 学学 28剩余类 由于环R的理想N是R的加法的正规子群，因此可以将R分解为N的陪集。 N的陪集都应该写成a

16、+ N的形式，aR。 N的一个陪集叫做N的一个剩余类。n定义18.2.2：设N是环R的一个理想，a，bR。如果a b = nN，或a = b + n，则称a与b模N同余，记为ab (mod N)。n显然，同余关系是一个等价关系。nN的一个剩余类中的元素实质是同余关系。离离 散散 数数 学学 29理想的陪集分解就是同余划分 命题18.2.1：设N是环R的理想， a, bR。a和b在N的同一个剩余类，当且仅当ab (mod N)。 证明：设a和b在N的一个形如c + N的剩余类中，则存在n1, n2N，使a = c + n1, b = c + n2。于是a b = n1 n2N。因此ab (mod

17、 N)。 反之，设ab (mod N)，则a b = n N。令ac + N，即有nN，使a = c + n。于是，有b = c + n n，显然n nN，故a和b在N的同一个剩余类中。 离离 散散 数数 学学 30同余关系是保运算的 定理18.2.1：设N是环R的理想，对任意a, b, c, dR，若ab，cd，则 (1) acbd；(保加法运算) (2) acbd。 (保乘法运算) 证明：因为ab，cd，所以存在n1，n2N，使得a = b +n1，c = d + n2。于是 ac = (bd)+(n1n2), 而n1n2N; ac = bd+bn2+dn1+n1n2 , 由于N是理想，

18、bn2N, dn1N, n1n2N,故bn2+dn1+n1n2N。 所以acbd， acbd。 (加法同态性) (乘法同态性) 离离 散散 数数 学学 31环同态 定义18.2.3：设R是环，S是有加法和乘法的代数系统，是R到S的映射， 若对a, bR，有(a + b) = (a) + (b); (ab) = (a) (b), 则称是从R到S的一个同态； (R)S称为R的同态像。特别，若是满射，则称R与S同态，记为RS。若是双射，则称R与S同构，记为R S。离离 散散 数数 学学 32环的同态像也是环 定理18.2.2：设R是环，S是有加法和乘法的代数系统。若是R到S的同态映射，则R = (R

19、)也是环，其中：(0)就是R的零元0；对aR，(a) = (a)；若R有幺元且|R|1，则R有幺元 1 = (1)；若aR有逆元，则(a)在R中有逆元(a)1=(a1)。 证明：类似于“群的同态像也是群”的证明。 由此可见，同态映射具有非常好的对应性：环与其同态像(环)的零元、负元、幺元和逆元都彼此相互对应。离离 散散 数数 学学 33环同态的核 如果忽略乘法，环的同态就是加法群的同态。显然环同态的核就应该取为这个加法群的同态核，即其零元的像源。 定义18.2.4：设环RR。于是同态的核N为R中零元0的像源，即N = a R | (a) = 0 。离离 散散 数数 学学 34n我们知道，群同态

20、的核Ker()是一个正规子群。n那么环同态的核K应该是什么呢？环同态的核是理想n定理18.2.3：设环RR。于是的核N是R的一个理想。并且，对任意aR，a的像源I(a) = aR | (a) = a 对应N的一个剩余类，且这种对应是一一对应。离离 散散 数数 学学 35环同态的核是理想 定理18.2.3：设环RR。于是的核N是R的理想，且R中元素的像源与N的剩余类一一对应。 证明：首先证明N是理想：任取a, bN, xR, (1)由假设知核N非空。 (2)由(ab)=(a)(b)= 00 =0，故 abN。即N对加法成群。 (3)又(ax)=(a)(x)=0(x)=0，故axN。同理可证xaN

21、。即R中任意元素x乘N还是N。 总之，N是R的理想离离 散散 数数 学学 36环同态的核是理想 定理18.2.3：设RR。于是的核N是R的理想，且R中元素的像源与N的剩余类一一对应。 证明：其次证明R的元素的像源与N的剩余类对应。 任取aR，设(a)=a且包含a的剩余类为a+N。下证I(a)=a+N。 设ba+N，则有nN，b=a+n，于是 (b)= (a+n)=(a)+(n)=a+0=a，即a+NI(a)。 反之,设bI(a)，则(ba)=(b)(a)=aa=0。于是baN即ba(mod N)。故 I(a)a+N。 总之I(a)=a+N。仿定理17.5.2的证明可知它们是一一对应的。离离 散

22、散 数数 学学 37问题的另一面： 对于环R的任意理想N，是否有一个环R，且有一个R与R的同态，使得N恰好就是的核呢？ 群G的正规子群H的所有陪集作成G的同态像且H就是同态核。(第二同态定理) 对于环，这个回答也是肯定的。 环中的群是加群，理想的陪集是剩余类，它的同态环就应该是剩余类作成的环。离离 散散 数数 学学 38剩余类R/N作成环 设N是环R的理想： R对N的商群R/N，即模N的所有剩余类的集合，定义剩余类的加法为： (a + N) (b + N) = (a + b) + N 定义剩余类的乘法 为： (a + N) (b + N) = ab + N 由定理18.2.1易知和 均与剩余类

23、中元素的选取无关。 不难证明R/N作成一个环。离离 散散 数数 学学 39证明R/N是一个环 R对N的商群R/N对运算和 作成环。 证明：易知对剩余类的加法作成一个加法群，并且满足交换律，因为 (a + N) (a + N) = (a a) + NR/N 易知对剩余类的乘法 封闭， 且(a+N) (b+N)(c+N)=(ab+ac)+N =(ab+N)(ac+N) = (a+N) (b+N) (a+N) (c+N) 乘法 对加法的分配律成立。即R/N是环。离离 散散 数数 学学 40环对其理想的商是其同态像 定理18.2.4：按剩余类的加法和乘法 ，环R对于理想N的所有剩余类的集合R/N是一个

24、环。若规定(a)=a+N，aR，则RR/N，而的核就是N。 证明：显然是R到R/N的满射。对a, bR：(a+b)= (a+b)+N= (a+N)(b+N)=(a)(b)(ab)=ab+N=(a+N) (b+N)= (a) (b) 所以是同态，故由定理18.2.2知R/N是一个环。 又R/N的零元显然是N， 而aN当且仅当a+N=N当且仅当(a)=N，故 N是的核。 R/N称为R对N的剩余环。离离 散散 数数 学学 41整数环的一个剩余环 例3：若取整数环Z的主理想(4)，求剩余环Z/(4)。 (4)=4Z=,-8,-4,0,4,8,= 04 于是，剩余环Z/(4)由以下4个元素组成： 0 +

25、 (4) = 041 + (4) = 142 + (4) = 243 + (4) = 34离离 散散 数数 学学 42同态环与剩余环同构 我们知道，群的任何一个同态像，必然同构于该群对它的某个正规子群的商群；并且这个正规子群就是此同态映射的核。(群的第三同态定理) 对于环来说，也有与此相类似的结论。n定理18.2.5：设环RR，核为N，则R R/N。n证明：设R到R的同态为。任取aR，定义R到R/N的映射如下: (a) = a + N, (a) = a。n 由定理18.2.3知是双射。 下证的同态性：n 任取a, bR。设(a) = a+N, (b) = b+N，(a)=a, (b)=b。(a

26、+b)=a+b, (ab) = ab,n (a+b)=(a+b)+N=(a+N)+(b+N)= (a)+(b)n (ab)=(ab)+N=(a+N)(b+N)= (a)(b) n故R R/N。n此定理说明：若把环R的同态环看作R的缩影，则只需要取R的所有理想N而作R/N，便可以找到R的所有可能的缩影(同态环)。n与之相平行的是：若把G的同态群看作G的缩影，则只需要取G的所有正规子群H而作G/H，便可以找到G的所有可能的缩影(同态群)。n我们知道同态群之间的子群是一一对应的。n而与之平行的，对于环也有完全相同的结论。离离 散散 数数 学学 43同态环间的子环相对应 定理18.2.6：设环RR，其

27、核为N。于是R与N之间的子环与R的子环一一对应，大环对应大环，小环对应小环，理想对应理想。R0RN离离 散散 数数 学学 44整数环的同态环 例4：令Z为整数环，mZ，m0。定义Zm= 0m, 1m, , m1m中的加法与乘法为： xm ym = x+ymxm ym = xym 易知Zm是环。定义Z到Zm的映射：(x) = xm。 不难验证是同态，ZZm，其核为N=mZ。于是Z与Zm对应，N与0m对应。而Zm的任何子环a0m, a1m, arm对应于Z与N之间的那个子环为a0ma1marm离离 散散 数数 学学 45单纯环和极大理想 定义18.2.5：环R称为单纯环，若R除自己和(0)外没有别

28、的理想。环R的一个理想N说是极大理想，如果NR，且N与R之间没有别的理想。 例5：设p为质数，则(p)是整数环的极大理想。 证明：设K是Z的理想，(p)K，则存在qK且q(p)，即q与p互质。于是有s和t，sp + tq = 1。 p, qK，sp+tq=1K。对任意xZ，有x1K，故K=Z。这说明(p)与Z之间没有别的理想。所以(p)是极大理想。离离 散散 数数 学学 46极大理想的剩余环是单纯环 定理18.2.7：设N是环R的理想，且NR。于是N是R的极大理想，当且仅当R/N是单纯环。 证明：由定理18.2.4知，RR/N。 又由定理18.2.6， R与N之间无理想当且仅当R/N与0之间无

29、理想，即当且仅当R/N是单纯环。这里0是N的同态像。离离 散散 数数 学学 47含幺交换单纯环必是域 定理18.2.8：任意含幺交换单纯环R必是域。 证明：只需证明R中任意非零元有逆。 设aR，a0。考虑(a) = aR。 因为a0且aaR，所以aR(0)。又因为R是单纯环，因此aR = R。 又由1R知，有bR，使得ab = 1。即a在R中有逆元b。故R是一个域。离离 散散 数数 学学 48域是含幺交换单纯环 定理18.2.9：任意域F必是含幺交换单纯环。 证明：本章习题11。 于是，由定理18.2.8和定理18.2.9可知，任意代数结构是域当且仅当它是含幺交换单纯环。离离 散散 数数 学学

30、 49质数模的剩余类作成域 例6：Zp=0p, 1p, , p1p，p为质数。则Zp是一个域。 证明：Z是含幺交换环，ZZp，故Zp也是含幺交换环。 又(p)是Z的极大理想，由定理18.2.7知Z/(p)是单纯环。而Z/(p)=Zp，故Zp是含幺交换单纯环。由定理18.2.8知Zp是域。 可证明，若Zm是域，则m必为质数。离离 散散 数数 学学 5018.3 域的特征 质域离离 散散 数数 学学 51域的特征n在域中：n将ab1写成a/b，b0；n用e表示域中的幺元。 定义18.3.1：设F是一个域。若存在正整数n，使得ne = 0，且对任何m(0mn), me 0，则称域F的特征为n；若不存

31、在这样的n，则称域F的特征为0。 例1：有理数域, 实数域和复数域的特征为0。 因为这些域的幺元均为正整数1，显然不存在正整数n，使得n1=0。 例2：设p为质数，则Zp=0p, , p1p是一个域，其特征为p。 因为，按照Zp中元素的乘法规定，其幺元为1p，p1p = pp = 0p，而对任何m (0mp)，m1p = mp 0p。离离 散散 数数 学学 52域的特征或为0或为质数 定理18.3.1：任何域的特征或者为0，或者为质数。 证明：设域F的特征为p0。若p0且p非质数，则有p=mn，1m, np。于是(me)(ne) = mene = mnee =(mn)e = pe = 0。 但

32、域中无零因子，所以必有me=0或ne=0。这与p是F的特征相矛盾。故定理得证。 下面讨论任何域所包含的最小子域是什么。离离 散散 数数 学学 53整数环到域的同态 设F是域，定义整数环Z到F的映射为：(n) = ne，nZ。 于是，对任意的m, nZ，有(m+n)=(m+n)e=me+ne=(m)+(n)(mn)=(mn)e=(me)(ne)=(m)(n) 所以是Z到F的同态。 那么，Z在F中的同态像是什么样的呢？离离 散散 数数 学学 54整数环在域中的同态像 设 是Z到F的同态，N是的同态核，即N = mZ | (m) = me = 0。 又设域F的特征为p，则N = pZ。？因为p是使得

33、me=0的最小的正整数，所以N中的m一定p的倍数，即N = pZ。n易知，同态像Z = (Z)为Z = ne | nZ F。n于是ZZ。又同态核N=pZ，由定理18.2.5知Z Z/pZ。n在同构的意义下可以认为，整数环在域中的同态像是pZ的剩余环，其中p是域的特征。离离 散散 数数 学学 55Z/pZ是子域吗？ 现在我们来讨论整数环Z在域F中的同态像Z = ne | nZ 是否是域F的子域。 因为Z Z/pZ，显然Z是否为域取决于域F的特征p。而p的取值有两种： (1)p是一个质数； (2)p = 0。则Z/pZ =Rp是一个域。则Z/pZ不是一个域。离离 散散 数数 学学 56特征为质数的

34、域 若p为质数，则剩余环Z/pZ是一个含幺交换单纯环，因而是一个域(18.2节例6)。 又因为Z Z/pZ，所以Z也是域，即Z是F的子域。 但F的任意子域必包含幺元e，从而也必包含e的倍元ne，nZ。即F的任意子域必包含Z。 所以Z是F的最小子域。 在同构的意义下，可以说非0特征域的最小子域是Z/pZ。令Rp= Z/pZ。非零特征域的最小子域是Z/pZ离离 散散 数数 学学 57 若p = 0，则pZ = 0，于是Z Z。但整数环Z不是域，故Z也不是域。 如果要使Z成为域，就需要把Z扩大为域。特征为零的域nZ不成域的原因是Z中的元素无逆元。n为此需要将Z扩大到有理数域Q。n现在把扩大到有理数域

35、Q到F的同态，需要补充定义： (m/n) = me/ne，其中n0。易知：(m/n + h/k) = (m/n) + (h/k)(m/n)(h/k) = (m/n) (h/k)n(m/n + h/k) = (mk + hn)/nk) = (mk + hn)e/nke = mke/nke + hne/nke = me/ne + he/ke = (m/n) + (h/k)n类似地可验证(m/n)(h/k) = (m/n) (h/k)。n是Q到F的同态映射。令Q在下的映像(Q)为：R0 = (me)/(ne) | m, nZ, n0。n因(n)= (n/1)=(ne)/e=(ne)e1=ne，可知是

36、原来所规定的Z到F的同态映射的扩大，ZR0。 n若(h/k)= (m/n)，则(he)/(ke)=(me)/(ne)，因此(he)(ne)=(ke)(me)，于是hn=km，从而h/k=m/n。这说明是单射。又显然是Q到R0的满射。所以是Q到R0的双射，即是Q到R0的同构映射。n是Q到R0的同构映射，Q R0。R0是域。n又因为F的任何子域都要包含e，e的倍元ne及商(me)/(ne)，n0，即必定要包含R0。所以R0是F的最小子域。因此n零特征域的最小子域同构于有理数域Q。零特征域的最小子域是Q离离 散散 数数 学学 58最小域和质域 定理18.3.2：特征为p的任意域F包含Rp为其最小子域

37、，称Rp为最小域或质域。 设K是F的子域，则K的幺元就是F的幺元。因此K的特征与F的特征一致。即任意域的特征与其子域的特征是一致的。 若F的特征为0，则F包含的质域同构于有理数域Q； 若F的特征为质数p，用模p同余的整数来表示F的同一个元素，于是Rp的p个元素便可以简单地写成0,1,p-1。则F包含的质域同构于Rp， Rp = 0, 1, , p1 。离离 散散 数数 学学 59域中非零元的周期一致 定理18.3.3：设F是特征为p的域，| F |1。于是，对任意aF，a0，nZ，有： (1)若p = 0，则na = 0当且仅当n = 0； (2)若p为质数，则na = 0当且仅当n0 (mo

38、d p)。 证明：(1)设na = 0，则ne = n(aa1) = (na)a1 = 0，因此n = 0。反之，若n = 0，则na = 0。 (2)首先pa = pea = (pe)a =0。令n = qp + r，0rp。若na = 0，则qpa + ra = 0。而pa=0,于是ra = 0，即r = 0。故n0 (mod p)。反之若n0 (mod p)，则n=qp+r, r=0，于是na=(qp)a=q(pa)=q0=0。即na=0n此定理说明，域F中的任意非零元在加法群中的周期与幺元在加法群中的周期是一致的。这也说明域中所有非零元的周期都是一致的。离离 散散 数数 学学 60非零

39、特征域中的二项式 零特征域中的运算与普通代数中的运算是一致的，而值得注意的是，非零特征域中的运算就与普通的不同。n定理18.3.4：设域F的特征是质数p，a, bF, 则(a b)p = ap bp。n证明：由二项式定理，(a+b)p = ap + Cp1ap1b + + Cpp1abp1 + bp 其中Cpi = p(p1)(pi+1) / i!，1ip1。 n但是Cpi是整数，而其中的p又不能消去，所以Cpi0 (mod p)。由定理18.3.3知Cpiapibi=0。 故(a + b)p = ap + bpn 令c=ab, 则ap=(c+b)p=cp+bp=(ab)p+bp, 故 (ab

40、)p = ap bp离离 散散 数数 学学 61非零特征域中的运算n因为特征为质数p的域Rp Z/pZ，所以Rp=0,1,p-1中的运算类似于模p下的同余运算。 例1：在R17中2/3等于什么？ 解：361 (mod 17), 由3 31=1 (mod 17) 31 = 6， 故2/3 =26=12。离离 散散 数数 学学 62非零特征域中的运算 例2：在R15中，求方程X2 1 = 0的所有根。 解：这等价于在R15中求解方程X2 1 (mod 15) (1)2 1 (mod 15) ， 解得：1, 114(mod 15) 又 (4)2 1 (mod 15) 解得：4， 4 11 (mod

41、15) 全部根为：1，4，11，14 例3：在R5中， 等于什么？ 解：因为在R5中，1 = 4，又22 = 32 = 4，所以， = 2或311离离 散散 数数 学学 6318.4 有限域离离 散散 数数 学学 64有限域 若一个域的元素个数是有限的，就称该域为有限域或者Galois(伽罗瓦)域。否则称为无限域。 例如，当p为质数时，Rp=0, 1, , p1对模p的加法和乘法运算就作成一个有限域，记为GF(p)。 显然，有限域F的特征不能为0，否则，F将包含有理数域Q为其最小子域。 本节主要讨论有限域的构造。离离 散散 数数 学学 65多项式 定义18.4.1 设F是一个域，形如a0 +

42、a1x + +anxn (18.1) 的表达式称为F上关于x的多项式，其中元素x是一个抽象符号，n是任意非负整数，a0, a1, , anF。若an0，则分别称n和an为多项式(18.1)的次和首项系数，an = 1的多项式称为首1多项式。特别，0称为次多项式，其中0和1分别是域F的零元和幺元。离离 散散 数数 学学 66多项式的相等 两个多项式naixi和mbixi称为相等，当且仅当m = n，且ai = bi，i = 0, 1, , n。 用Fx表示域F上x的全体多项式的集合，即:Fx=naixi |aiF,n0,i = 0,1,n。 有时，用f(x), g(x)等表示任何一个x的多项式。

43、多项式f(x)的次记为(f(x)。 nn通常将多项式记为aixi，简记为n aixi。 i=0离离 散散 数数 学学 67多项式环 定义18.4.2：设F是域，在Fx上定义多项式的加法和乘法 如下：对于任意的f(x) =n aixi，g(x) =m bixiFx，f(x)g(x) = M (ai + bi)xif(x) g(x) = m+n (i aj bij )xi 其中M=max(m, n)，in时ai=0；im时bi=0。n不难验证，Fx对于加法和乘法 作成一个环，称为多项式环。有时也将多项式环中的运算和 用+和表示。离离 散散 数数 学学 68多项式的商式和余式 定理18.4.1：设f

44、(x), g(x)Fx，g(x)0。于是存在唯一的q(x), r(x)Fx，使得f(x) = q(x)g(x) + r(x) (18.4) 其中(r(x)(g(x)，q(x)和r(x)分别称为商式和余式。 证明：存在性： 若(f(x)(g(x)，则令q(x)=0，r(x)=f(x)，(18.4)式成立。 若(f(x)(g(x)0，对(f(x)作归纳证明。设f(x) =n aixi，g(x) =m bixi。离离 散散 数数 学学 69多项式的商式和余式 证明： （f(x) = q(x)g(x) + r(x) (18.4)） 当(f(x)=0, 即f(x)=a0，g(x)=b0，令q(x)=a0

45、b01， r(x)=0，则(18.4)式成立。 设(f(x)=n10时(18.4)式成立。 当(f(x)=n1时，令f1(x) = f(x) anbm1xnmg(x) 则(f1(x)n1。由归纳假设，有q1(x)和r1(x)使f1(x)=q1(x)g(x)+r1(x), 其中(r1(x)(g(x), 于是 f(x)=f1(x)+anbm1xnmg(x)=(anbm1xnm +q1(x)g(x) + r1(x) 由归纳法可知(18.4)式成立。离离 散散 数数 学学 70多项式的商式和余式 证明：下证（f(x) = q(x)g(x) + r(x) (18.4)）式的唯一性： 设f(x) = q(

46、x)g(x) + r(x) = q(x)g(x) + r(x)，其中， (r(x)(g(x), (r(x)(g(x), 于是(q(x) q(x)g(x) = r(x) r(x) 而(r(x)r(x)(g(x)，故必有q(x)q(x)=0，即q(x) = q(x)。从而也有r(x) = r(x)。 所以，任给f(x)和g(x)，存在唯一的q(x)和r(x)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)且(r(x)(g(x)。离离 散散 数数 学学 71一个多项式的商式和余式 例1：考虑域R3=0, 1, 2上的多项式f(x) = 1 + 2x + 2x2 + x4 + 2x5 g(x) = 1 +

47、x2 求f(x)被g(x)除的商式和余式 解：我们采用多项式的竖式除法来进行计算， 求得其商式和余式分别为：q(x) = 2x3 + x2 + x + 1 r(x) = x离离 散散 数数 学学 72多项式的竖式除法2x5 + x4 + 2x2 + 2x + 1x2 + 12x32x5 + 2x3 x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1+ x2 + x + 1在域R3上 2 1 (mod 3)x4 + x2 x3 + x2 + 2x + 1x3 x x2 + x + 1x2 + 1x离离 散散 数数 学学 73多项式的整除和可约多项式 定义18.4.3 设f(x), g(x)Fx。(1)

48、若存在q(x)Fx，使f(x) = q(x)g(x)，则称g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)倍式，并称g(x)整除f(x)，记为g(x)|f(x)，否则记为g(x) | f(x)(2)若f(x) = h(x)g(x)，其中(h(x)1且(g(x)1， 则称f(x)为可约多项式，否则称为不可约多项式。n一次多项式均不可约。又设f(x) = x2+1Fx。 F是实数域时f(x)不可约；而F是复数域时f(x)可约，因f(x) =(x+i)(x-i)。因此多项式的可约性与所在的域相关。离离 散散 数数 学学 74最高公因式和最低公倍式 定义18.4.3 设f(x), g(x)Fx。(3)设f

49、(x)和g(x)不全为0，若h(x)是满足h(x)|f(x)和h(x)|g(x)的次数最高的首1多项式，则称h(x)为f(x)和g(x)的最高公因式，记为(f(x), g(x)。若(f(x), g(x) = 1，则称f(x)和g(x)互质。(4)设f(x)0，g(x)0。若h(x)是满足f(x)|h(x)和g(x)|h(x)的次数最低的首1多项式，则称h(x)为f(x)和g(x)的最低公倍式，记为f(x), g(x)。离离 散散 数数 学学 75多项式的根 定义18.4.4：设E是F的扩域，f(x)Fx，aE。f(x)在a上的值定义为用a代替f(x)中所有x而得到的E中的元素，记为f(a)。若

50、f(a) = 0，则称a为f(x)在E中的根。 例如，f(x) = x2 + 1是有理数域Q上的多项式，它在Q上无根，在(Q的扩域)实数域上R也无根，但是在(R的扩域)复数域中的根为i和i。 n由定理18.4.1，我们有：n定理18.4.2：设E是F的扩域，f(x)Fx，aE。于是a是f(x)在E中的根，当且仅当(xa)|f(x)。离离 散散 数数 学学 76用多项式作成一个域n类似于质域Rp = 0，1，p1，我们可以对Fx中的不可约多项式p(x)，构造一个域Fxp(x)。 定义18.4.5：设p(x)Fx是n次不可约多项式，令Fxp(x) = n1aixi | aiF, i = 0, 1,

51、 , n1 在Fxp(x)上定义二元运算和如下：f(x) g(x) = f(x) + g(x) f(x) g(x) = (f(x)g(x)p(x) 其中(f(x)g(x)p(x)表示(f(x)g(x)除以p(x)的余式。 定理18.4.3：设F是有限域，则Fxp(x)对运算和作成一个域，当且仅当p(x)是F上的不可约多项式。离离 散散 数数 学学 77有限域上不可约多项式作成域 证明：有限域F上Fxp(x)成域p(x)不可约。n显然Fxp(x)是有限可交换环。我们知道，有限整环必是域，因而Fxp(x)是有限整环当且仅当Fxp(x)中无零因子。故我们只需证明Fxp(x)中无零因子当且仅当p(x)

52、是F上的不可约多项式。n 下证Fxp(x)中无零因子当且仅当p(x)是F上的不可约多项式：n 设Fxp(x)中无零因子。若p(x)是F上的可约多项式，则存在非零多项式f(x)和g(x)，使得p(x) = f(x)g(x)，于是f(x) g(x) = (f(x)g(x)p(x) = (p(x)p(x) = 0n这说明f(x)和g(x)是Fxp(x)的零因子。矛盾。离离 散散 数数 学学 78有限域上不可约多项式作成域n证明：若Fxp(x)无零因子，则p(x)不可约。 另一方面，设p(x)是F上的n次不可约多项式。若Fxp(x)有零因子f(x), g(x)0，使得f(x) g(x) = 0 则存在

53、h(x)Fx，使得f(x)g(x) = h(x)p(x) (18.5) 显然(h(x)1，否则与p(x)不可约矛盾。离离 散散 数数 学学 79有限域上不可约多项式作成域n证明： f(x)g(x) = h(x)p(x) (18.5) 设(f(x), h(x)=q1(x), (g(x), h(x)=q2(x)。 于是(q1(x)(f(x)，(q2(x)(g(x)。若(q1(x)=(f(x)且(q2(x)=(g(x)，则必有(h(x)(f(x)，(h(x)(g(x)，从而 (h(x)p(x) = (h(x) + (p(x) (f(x) + n (f(x)g(x) g(x)Fxp(x) , (g(x

54、) n-1 ?n此与(18.5)式矛盾。不妨设(f(x), h(x)=q(x)，且(q(x)(f(x)。离离 散散 数数 学学 80有限域上不可约多项式作成域n证明：设(f(x), h(x)=q(x)，且(q(x)(f(x)。 于是，有f(x), h(x)Fx, 使得f(x) = f(x)q(x) (18.6)h(x) = h(x)q(x) (18.7) 其中(f(x) 1。 因为q(x)是f(x)和h(x)的最高公因式，所以有a(x), b(x)Fx, 使得a(x)f(x) + b(x)h(x) = q(x) (18.8) 由(18.6), (18.7)和(18.8)得a(x)f(x)+b(

55、x)h(x)=1，这说明f(x)和h(x)互质。离离 散散 数数 学学 81有限域上不可约多项式作成域n证明： 已证f(x)和h(x)互质。 又由(18.5), (18.6)和(18.7)得g(x)f(x) = h(x)p(x) 从而f(x) | h(x)p(x)，但是f(x)和h(x)互质，故f(x) | p(x) 而且(f(x) 1。这说明p(x)是可约的。矛盾。此矛盾说明Fxp(x)无零因子。 总之，若F是有限域，则Fxp(x)对运算和作成域，当且仅当p(x)是F上的不可约多项式。离离 散散 数数 学学 82FXp(x)是F添加p(x)的根的域 由FXp(x)= n1aixi | aiF

56、, i = 0, 1, , n1， 容易验证 F是FXp(x)的子域。 此外，若p(x)是一次多项式，则FXp(x) = F。 若p(x) = p0 + p1x + + pnxn是Fx上n次不可约多项式，则 0 = (p(x)p(x)= (p0 + p1x + + pnxn)p(x)= p0 p1 x pnx x x x 这说明x是F上不可约多项式p(x)在Fxp(x)中的根。因此， Fxp(x)称为是添加p(x)的根到F上所得到的域离离 散散 数数 学学 83有限多项式域的例子 例2：给定域F = 0, 1上的多项式p(x)=x2+x+1。 p(0) = p(1) = 1，p(x)是F上不可

57、约的。 (p(x)p(x) = 0，x是p(x)在Fx上的根。 p(x+1) =(x+1)2 +(x+1) +1 = x2 +12 + x +1 + 1 = x2 + x + 1 = (p(x)p(x) x+1也是p(x)在Fx上的根。 因此Fxp(x) = 0, 1, x, x+1。在p特征的域上，(a + b)p = ap+bp离离 散散 数数 学学 84有限多项式域的例子 让我们验证一下Fxp(x) = 0, 1, x, x+1是域： 因为Fxp(x)是Fx的子集，又Fxp(x)是有限的，因此我们只需要验证它对于加法和乘法都封闭就行了。 容易验证加法的封闭性，只需注意到：x+x=0，(x

58、+1)+(x+1)=0。 也容易验证乘法的封闭性，注意到：xx=x2=x+1, x(x+1)=x2+x=1, (x+1)2=x2+1=x 离离 散散 数数 学学 85判断多项式不可约 判断域F上的p(x)不可约的方法类似于判断质数的方法： 若p(x)是n次可约多项式，则有p(x) = f(x)g(x) 其中(f(x)n/2，(g(x) n/2。 因此，如果所有次数不高于 n/2的不可约多项式都不是p(x)的因式，则p(x)就是一个不可约多项式。离离 散散 数数 学学 86判断不可约多项式的例子 例3：设域F = 0，1，则 (1)F上的一次不可约多项式有：x，x+1。 (2)F上的二次可约多项

59、式有：x2，x(x+1) = x2 + x，(x + 1)2 = x2 + 1, 从而二次不可约多项式为x2 + x + 1。 依次可以求出更高次数的不可约多项式。离离 散散 数数 学学 87有限域的阶必为质数幂 定理18.4.4：每个有限域F的阶(元素个数)必为质数幂。 证明：设F的特征为p，则F必包含p阶质域F1。 若F = F1，则定理得证，否则有x1F F1。令F2=a1+a2x1 |a1, a2F1。由|F1| = p有|F2| = p2。？n显然|F2|p2。若|F2|p2，则有a1, a2, b1, b2F1， a1b1或a2 b2，使得a1+a2x1 = b1+b2x1，即，(

60、a2b2)x1 = b1a1。若a2b2， 则 x1= (a2b2)1(b1a1)F1，矛盾。因此a2=b2，从而a1=b1。矛盾。故|F2| = p2。n 若F = F2，则定理得证。否则有x2F F1。令F3=a1+a2x1 +a3x2 |a1, a2 , a3F1。仿上可证|F3| = p3。又易知F1 F2 F3 F。依次作下去，由于F有限，故必有Fn = F，且|Fn| = pn。离离 散散 数数 学学 8818.5 有限域的结构离离 散散 数数 学学 89n次多项式至多n个根 定理18.5.1：域F上的n次多项式至多n个根。 证明：对n进行归纳证明： (1) 0次多项式是F中的非零