特殊平行四边形：动点问题

1、特殊平行四边形：动点问题特殊四边形：动点问题题型一：1.已知直角梯形 ABCDh,AD/ BCAB丄BCAt=2, BOD（=5,点P在BC上移动，则当PA+PD取最小 值时， APD中边AP上的高为（）2 .171717C、点 172.如图 4，在梯形 ABCDh, AD/ BC AD= 6, BC =16, E是BC的中点点P以每秒1个单位长度 的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同 时以每秒2个单位长度的速度从点 C出发，沿 CB向点B运动点P停止运动时，点Q也随之停 止运动.当运动时间t =秒时，以点P, Q,E, D为顶点的四边形是平行四边形.BEQ3. 如图，在梯形 ABCD中

2、, AD/ BC,E是BC的中 点，AD=5 BC=12 CD=42 , Z C=450，点 P 是 BC 边上一动点，设PB长为x.当x的值为时，以点P、A D E为顶点的四边形为直角梯形当x的值为时，以点P、A、D E为顶点的四边形为平行四边形点P在BC边上运动的过程中，以点 P、A D E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理 由4. 在一个等腰梯形 ABCD中，AD/BC，AB=CD AD=10cm BC=30cm动点P从点A开始沿AD边 向点D以每秒1cm的速度运动，同时动点Q从点 C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动， 当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运 动，设运动时间为

3、t s.(1) .t为何值时，四边形ABQF为平行四边形？(2) .四边形ABQF能为等腰梯形吗？如果能，求出t的值，如果不能，请说明理由6. 梯形 ABCD中, AD/ BG / B=90°, AD=24cm AB=8cm BC=26cm动点P从点A开始，沿AD边， 以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C 开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。 已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中 一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设 运动时间为t秒，问：（1）t为何值时，四边形PQC是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形PQC耐能是菱形吗？ 为什么？（3）t为何值时，四边

4、形PQC是直角梯形？（4）t为何值时，四边形PQC是等腰梯形？（5）t 为何值时，APQ是等腰三角形?7. 如图，在直角梯形 ABCD中, Z B=90°, AD| BG 且 AD=4crp AB=8cr, DC=10cm 若动点 P 从 点A出发，以每秒4cm的速度沿线段AD DC向C点运动；动点Q从C点以每秒5cm的速度沿CB 向B点运动。当Q点到达B点时，动点P、Q同 时停止运动。设P、Q同时出发，并运动了 t秒。（1） 直角梯形ABCD的面积为cm的 平方（2）当t=秒时，四边形PQCD平行四边形。（3）当 t=秒时，PQ=DC（4）是否存在t，使得P点在线段DC上，且PQ

5、丄DC（如图2所示）？若存在，列出方程求出此 时的t ;若不存在，请说明理由8如图，在直角梯形 ABCD中, Z B=90°, AB| CD,且 AB=4cm BC=8cm DC=10cm 若动点 P 从 点A出发，以每秒1cm的速度沿线段AB BC向C点运动；动点Q从C点以每秒1cm的速度沿CB 向B点运动。当Q点到达B点时，动点P、Q同 时停止运动。设P、Q同时出发，并运动了 t秒。（1） 直角梯形ABCD的面积为cm的 平方（2）当t=秒时，四边形PBCC为平行四边形。（3） 当 t=秒时，PQ=BC.10. 如图，在等腰梯形 ABCD中, AB/ CD,其中 AB=12 cm

6、,CD=6cm梯形的高为4,点P从开始 沿AB边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从 开始沿CD边向点D以每秒1cm的速度移动，如 果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到 达终点时运动停止。设运动时间为 t秒。（1）求证：当t为何值时，四边形APQD是平行 四边形；（2）PQ是否可能平分对角线BD?若能，求出当 t为何值时PQ平分BD若不能，请说明理由；（3）若厶DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t 的值。11. 如图，在直角梯形 ABCD中，AB/CD, Z C=RT 厶AB=AD=10cm,BC=8cr点P从点A出发，以每 秒3cm的速度沿线段AB方向运动，点Q从点D 出发，以每秒2

7、cm的速度沿线段DC方向向点C 运动。已知动点P、Q同时出发，当点Q运动到 点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t(s).求CD的长。 当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形 PBQ啲周长；(3) 在点P,点Q的运动过程中，是否存在某一 时刻，使得 BPQ的面积为20cm?若存在，请求 出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理 由。13.已知,矩形ABCD中,AB = 4cm , BC =8cm , AC的垂直平 分线EF分别交AD、BC于点E、F ,垂足为O.(1) 如图10-1,连接AF、CE .求证四边形AFCE为菱形, 并求AF的长； 如图10-2,动点P、Q分别从A、C两点同时出

8、 发，沿MFB和ACDE各边匀速运动一周.即点p自AT> A停止，点Q自C f D f E f C停止.在运动过程中, 已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4 cm,运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的 四边形是平行四边形时,求t的值. 若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm, ab"), 已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式图 10-1QQ14. 已知：如图，在梯形 ABCD中, AB/ DC /B=90°, BC=8cm CD=24cm AB=26Cm 点 P 从 C出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q

9、从A出发， 以3cm/s的速度向B运 动，其中一动点达到端 点时，另一动点随之停止运动.从运动开始.（1）经过多少时间，四边形 AQPD是平行四边 形？（2）经过多少时间，四边形 AQP成为等腰梯 形？（3）在运动过程中，P、Q B、C四点有可能构 成正方形吗？为什么？如图，在梯形 ABCD中，AD/ BC, Z B=90°, AD=16cm AB=12cm BC=21crp 动点 P 从点 B 出 发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动， 动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的 速度向点D运动，点P，Q分别从点B, A同时出 发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动， 设

10、运动的时间为t （秒）. 当t为何值时，四边形PQD（是平行四边形； 当t为何值时，以C, D, Q, P为顶点的梯形 面积等于60cm ？ 是否存在点卩，使厶PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在, 请说明理由.15. 如图，在梯形 ABC中，AD/ BG AD=6 DC=10AB=6，/ B=45°.动点M从B点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点 N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长 度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.(1) 求BC的长.(2) 当MIN/ AB时，求t的值.(3) 4 MNC可能为等腰三角形吗？若能

11、，请求 出t的值；若不能，请说明理由.(4) MNC可能为直角三角形吗？若能，请求 出t的值；若不能，请说明理由.(5) MNC为20时，请求出t的值.如图，直角梯形 ABCD中, AB/ CD Z A=90°, AB=3, AD=4 DC=、®2，点p从点a出发沿折 线段AD-DC-CB以每秒3个单位长的速度向点B 匀速运动，同时，点Q从点A出发沿射线AB方 向以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P与 点B重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P, Q的运动时间是t秒(t > 0).(1) 当点P到达终点B时，求t的值；(2) 设厶APQ的面积为S,分别求出点P运动到

12、 AD CD上时，S与t的函数关系式；(3) 当t为何值时，能使PQ/ DB当t为何值时，能使P、Q D B四点构成的 四边形是平行四边形。16. 如图，在等腰梯形 ABCD中, AD/ BC, AB=DC=6, AD=75 BC=135 点 P从点 B 出发沿 折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点 C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以 每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作 射线Qa BC,交折线段CD-DA-AB于点E.点P、 Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动， 点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t > 0).(1) 当点P到达终点C时，求t

13、的值，并指出 此时BQ的长；(2) 当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ / DC(3) 设射线QK扫过梯形ABCD勺面积为S,分 别求出点E运动到CD DA上时，S与t的函数 关系式；(不必写出t的取值范围)(4) PQE能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由.17. 如图，直角梯形 ABCD中, AD/ BC, ZABC=90，已知 AD=AB=3 BC=3，动点 p 从 B 点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q 从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动.过 Q点垂直于AD勺射线交AC于点M交BC于点N. P、 Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.当

14、Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点 Q运动的时间为t秒.(1) 求NC MC的长(用t的代数式表示)；(2) 当t为何值时，四边形PCDQ勾成平行四边 形？(3) 当t为何值时，射线QN恰好将 ABC的面 积平分？并判断此时 ABC的周长是否也被射线 QN平 分.19. 如图，已知直角梯形 ABCD中，AD/ BC AB 丄 BC AD=2 AB=8 CD=10(1) 求梯形ABCD勺面积S;(2) 动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿 B-A-dC方向，向点C运动；动点Q从点C 出发，以2cm/s的速度、沿C-D A方向，向点 A运动.若P、Q两点同时出发，当其中一点到 达目的地

15、时整个运动随之结束，设运动时间为 t 秒.问：当点P在B-A上运动时，是否存在这样 的t，使得直线PQ将梯形ABCD勺周长平分？若 存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分 梯形ABCD勺面积；若不存在，请说明理由； 在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三 角形？若存在，请求出所有符合条件的 t的值；备用图20. 在直角梯形 ABCD中, Z C=90，高 CD=6crp 底BC=10c(如图1).动点Q从点B出发，沿BC 运动到点C停止，运动的速度都是1cm/s.同时， 动点P也从B点出发，沿BLAD运动到点D停 止，且PQ始终垂直BC.设

16、P, Q同时从点B出 发，运动的时间为t (s)，点P运动的路程为y(cm).分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标 系(如图2)，已知如图中线段为y与t的函数的 部分图象.经测量点M与N的坐标分别为(4,5) 和(2，5).(1) 求M N所在直线的解析式；(2) 求梯形 ABCD中边AB与AD的长；(3) 写出点P在AD边上运动时，y与t的函数 关系式(注明自变量的取值范围)，并在图2中补 全整运动中y关于t的函数关系的大致图象.22.如图，在直角梯形 ABCD中，AD/ BC, Z B=90°, AD=6 BC=8 AB=3 3，点 M是 BC的中 点点P从点M出发沿MB以每秒1

17、个单位长的 速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度 沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长 的速度在射线MC上匀速运动.在点P, Q的运动 过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ使它与 梯形ABCD在射线BC的同侧点P，Q同时出发， 当点P返回到点M时停止运动，点 Q也随之停 止设点P，Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动 的过程中，写出y与t之间的函数关系式(不必 写t的取值范围)；(2) 当BP=1时，求 EPQ与梯形ABCD重叠部 分的面积；CD已知：如图，在直角梯形 COA沖，OC AB,/ AOC=90 , AB=4 AO=8 O

18、C=10 以 O 为原点建 立平面直角坐标系，点 D为线段BC的中点，动 点P从点A出发，以每秒4个单位的速度，沿折 线AOC向终点C运动，运动时间是t秒.(1) D点的坐标为;(2) 当t为何值时， APD是直角三角形；(3) 如果另有一动点 Q从C点出发，沿折线 CBA向终点A以每秒5个单位的速度与P点同时 运动，当一点到达终点时，两点均停止运动，问: P、C、Q A四点围成的四边形的面积能否为 28? 如果可能，求出对应的t ;如果不可能，请说明 理由.在梯形ABCO中，OC/ AB,以O为原点建立平面 直角坐标系，A、B、C三点的坐标分别是A (8, 0)，B(8，10)，C(0, 4

19、).点 D (4, 7)为线 段BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个 单位的速度，沿折线OAB的路线运动，运动时间 为t秒.(1) 求直线BC的解析式；(2) 设厶OPD勺面积为s，求出s与t的函数关 系式，并指出自变量t的取值范围；(3) 当t为何值时， OPD勺面积是梯形OABC 的面积的8?如图，在直角梯形COAE中，CB/ OA以0为原 点建立直角坐标系，A C的坐标分别为A (10,0)、C(0，8)，CB=4 D为 OA中点，动点 P 自 A 点出发沿A-B-SO的线路移动，速度为1个单 位/秒，移动时间为t秒.(1) 求AB的长，并求当PD将梯形COA啲周长 平分时t的值，并

20、指出此时点P在哪条边上；(2) 动点P在从A到B的移动过程中，设厶APD 的面积为S,试写出S与t的函数关系式，并指 出t的取值范围；(3) 几秒后线段PD将梯形COABF面积分成1: 3的两部分？求出此时点P的坐标？已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标 系中，AB/ OC AB=10 OC=22 BC=15 动点 M 从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿 AB 向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿CO向O点运动当其中一 个动点运动到终点时，两个动点都停止运动.(1) 求B点坐标；(2) 设运动时间为t秒； 当t为何值时，四边形OAM的面积是梯形OABC面积

21、的一半； 当t为何值时，四边形OAMN勺面积最小，并求出最小面积； 若另有一动点P,在点M N运动的同时，也 从点A出发沿AO运动在的条件下，PM+PN 的长度也刚好最小，求动点 P的速度.如图(1)，以梯形OABC的顶点O为原点，底边 OA所在的直线为轴建立直角坐标系.梯形其它 三个顶点坐标分别为：A (14，0)，B (11, 4)， C(3, 4)，点E以每秒2个单位的速度从O点出 发沿射线OA向A点运动，同时点F以每秒3个 单位的速度，从O点出发沿折线OCB向B运动， 设运动时间为t.(1) 当t=4秒时，判断四边形COEB是什么样的 四边形？(2) 当t为何值时，四边形COEF是直角

22、梯形？(3) 在运动过程中，四边形COERIE否成为一个 菱形？若能，请求出t的值；若不能，请简要说 明理由，并改变E、F两点中任一个点的运动速 度，使E、F运动到某时刻时，四边形 COEF是菱 形，并写出改变后的速度及t的值CFd厂B、0Ex 0A "x如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为 直角梯形，OA / BC，BC=14，A (16，0)，C(0, 2).(1)如图，若点P、Q分别从点C、A同时 出发，点P以每秒2个单位的速度由C向B运 动，点Q以每秒4个单位的速度由A向0运动, 当点Q停止运动时，点P也停止运动.设运动 时间为t秒（0w t吟4 求当t为多少时，四边

23、形 PQAB为平行四边 形？ 求当t为多少时，直线PQ将梯形OABC分成 左右两部分的比为 1 2,并求出此时直线PQ的 解析式.（2）如图，若点P、Q分别是线段BC、A0 上的任意两点（不与线段BC、A0的端点重合）， 且四边形OQPC面积为10，试说明直线PQ 一 定经过一定点，并求出该定点的坐标. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 ABCO 的变OC落在x轴的正半轴上，且AB/OC , BC 丄 OC，AB=4,BC=7, OC=10.正方形 ODEF 的 两边分别坐落在坐标轴上，且它的面积等于直角 梯形ABCO面积，将正方形ODEF沿x轴的正 半轴平行移动，设它与直角梯形 ABCO的

24、重叠 部分面积为So(1) 求正方形ODEF的边长。(2) 求OA所在直线的解析式(3) 当正方形ODEF移动到顶点O与C重合 时，求S的值(4) 设正方形ODEF顶点O向右移动的距离为 x,当正方形ODEF的边ED与y轴重合时，停 止移动，求重叠部分面积S与x的函数关系式。(备用图)如图，在 ABC 中，/ ACB=90 °,AC=BC=6cm , 等腰 RT DEF 中，/ D=90° , EF=4cm.EF 在 BC所在直线L 上,开始时点F与点C重合，让 等腰RT DEF沿直线L向右以每秒1cm的速 度做匀速运动，最后点E和点B重合。（1）请直接写出等腰RT DEF

25、运动6S时与 ABC重叠部分面积（2）设运动时间为xS,运动过程中，等腰RT DEF与厶ABC重叠部分面积为 ycm2 在等腰RT DEF运动6S后至运动停止前这 段时间内，求y与x之间的函数关系式 在RT DEF整个运动过程中，求当x为何值题型二:1. 如图,正方形ABCD勺边长为4cm,两动点P、Q 分别同时从D A出发，以1cm/秒的速度各自沿 着DA AB边向A B运动。试解答下列各题：(1) 当P出发后多少秒时，三角形PDC为等腰三角形;(2) 当P、Q出发后多少秒，四边形 APO购正方形;(3)当P、Q出发后多少秒时，_ 5S PQD S正方形 ABCD32B2. 如图所示，有四个

26、动点P、Q E、F分别从正 方形ABCD勺四个顶点出发，沿着 AB BC CD DA以同样的速度向B、C D A各点移动。(1) 试判断四边形PQEF是正方形并证明。(2) PE是否总过某一定点，并说明理由。(3) 四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最 小，最大？各是多少？3. 已知：如图，边长为 a的菱形ABCD中，/DAB=60，E是异于A、D两点的动点，F是CD 上的动点。请你判断：无论 E、F怎样移动，当 满足：AE+CF=s时， BEF是什么三角形？并说 明你的结论。4. 如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边 三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点， 将BM绕点B逆

27、时针旋转60°得到BN连接EN AM CM.求证： AMBA ENB当M点在何处时，AW CM的值最小；当M点在何处时，AW BW CM的值最小，并 说明理由；当AW BW CM的最小值为巧+1时，求正方形 的边长./ /题型三：1. 如图，在直角梯形 ABCD中, AD/BC,/ C= 90°, BC= 16, DC= 12, AD= 21。动点 P从点 D 出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的 速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以 每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分 别从点D, C同时出发，当点Q运动到点B时， 点P随之停止运动。设运动的时间为t （

28、秒）。(1) 设 BPQ的面积为S,求S与t之间的函数 关系式；(2) 当t为何值时，四边形ABPQF行四边形？(3) 当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的 三角形是等腰三角形？(4) 是否存在时刻t，使得PQL BD?若存在， 求出t的值；若不存在，请说明理由。2. 如图，在等腰梯形 ABC中, AD/BC,AE丄BC 于点 E，DEL BC于 F,AD=2cm,BC=6cm,AE=4cr点 P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接BP PQ QC CB所围的封闭图形记为 M若点P在线段 AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使 图形M的形状发生改变，但面积始终为 10cn2 设EP=x

29、cm,FQ=ycn解答下列问题：(1) 直接写出当x=3时y的值。(2) 求y与x之间的函数关系式，并写出自变 量的取值范围。(3) 当x取何值时，图形M为等腰梯形？图形 M为三角形？(4) 直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的 区域的面积。3. 在边长为6的菱形ABC即，动点M从点A出 发，沿At B- C向终点C运动，连接DM交 AC 于点N.(1 )如图251，当点M在AB边上时，连接BN 求证： ABN ADN ； 若/ ABC= 60 °，AM= 4，/ ABN=，求点 M 到AD的距离及tan :的值；(2 )如图252，若/ ABC= 90 °，记点M运动 所经过的路程为x (6<x< 12).试问：x为何值时， ADN为等腰三角形.4. 在正方形ABCD中, M是边BC中点，E是边 AB上的一个动点，MF丄ME,MF交射线CD于点F,AB=4 BE=x, CF=y(1) 求y关于x的解析式及定义域(2) 当点F在边CD上时，四边形AEFD的周长 是否随点E的运动而