北京市西城区2015-2016学年度第一学期期末试卷高三理科数学分析

1、北京市西城区 2015 -2016学年度第一学期期末试卷高三理科数学分析一、试卷整体情况这份试题目的在于考查学生在完成高三数学第一轮复习时的知识掌握情况。 试卷结构与北京高考卷一致， 知识点覆盖较全重点难点突出， 没有偏题怪题。 在紧扣北京的考试说明的同时，从考生通过第一轮复习应该落实的的基础知识入手，遵循重点知识重点考查的原则，宽角度、多视点、有层次地考查了学生的数学能力与综合素养。1 回归教材，注重基础遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点。选择题、 填空题考查知识点依次为：集合、函数、简易逻辑 （四种命题和充要条件）、三角函数、 三视图、线性规划、复数、解三角形、

2、程序框图、概率、双曲线、平面几何选讲、向量、框图、排列组合、二项式定理等知识点。大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型同时，在平面向量、概率统计、导数、 数列等题目上进行了一些微创新，这些题目的设计回归教材和中学教学实际。2 适当设置题目难度与区分度由于新课标重新修订完毕，即将实施下一轮新课改，一个重要的信息就是文科理科将会同卷，这就意味着理科数学难度必然会下降，该套试题依然秉承北京8 、14 、 20 作为能力题的传统， 但这几个题的整体难度有所下降；多题把关其他题目的难度和以往相比相同，但对学生计算能力的要求有所提高，这就导致整卷在最后的成绩分布上和往年相同。该卷区分度较好，结果

3、表明对基本功扎实计算能力强且答题速度快的同学更为有利。二、亮点试题【考试原题】 4.在数列 an 中，“对任意的 nN * ， an21an an 2 ”是“数列 an 为等比数列”的（）A 充分而不必要条件D 既不充分也不必要条件【考查方向】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定， 所涉及的知识是等比数列的判断，充要条件的判断是高考的热点，常与函数的单调性、奇偶性、不等式的性质或解集、立体几何、解析几何、数列、概率等知识交汇命题.【易错点】本题易在判定是否为充分条件时出现错误，易忽视”数列为常数列0“的情形。【解题思路】 1 举特例（ an0 ），说明即“对任意的 nN *， an21an

4、an 2 ”不是“数列 an 为等比数列”的充分条件；2 再由等比中项，判定“对任意的nN *， an21anan 2 ”是“数列 an 为等比数列”的必要条件；3 下结论。【解析】当数列 an 的通项为 an0 时，满足 an21anan2 ，但数列 an 不是等比数列，*2an an 2 ”不是“数列 an 为等比数列” 的充分条件； 当数列 an 即“对任意的 n N ，an 1为等比数列时，由等比中项得到an21an an 2 ，即“对任意的 nN *， an21an an 2 ”是“数列 an 为等比数列” 的必要条件， 即“对任意的 n N *， an21an an 2 ”是“数列

5、 an 为等比数列”的必要不充分条件；所以选B 选项。【相似易错试题】 2015年北京（理科）高考题第4 题设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m?“ m”是“”的（）A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件【试题分析】：考查了充分条件、必要条件的判定，所涉及的知识是平面与平面平行的判，定和性质。 考查了充分条件、必要条件的判定，所涉及的知识是平面与平面平行的判，定和性质。从两个方面判断：1 m 能否推出；2 能否推出m。故答案是B【考试原题】 8. 如图，正方形ABCD 的边长为6 ，点 E ， F 分别在边 AD ， BC 上，且DE2 AE ， C

6、F2BF .如果对于常数，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6 个不同uuur uuur的点 P 使得 PE PF =成立，那么的取值范围是（）A (0,7)B (4,7)C (0,4)D ( 5,16)【考查方向】 本题主要考查了平面向量数量积的运算，在近几年的各省的高考题中出现的频率较高，常与三角函数、数列、解析几何等知识交汇命题.【易错点】本题易在对x, y 的取值范围出现错误，易忽视0 x 6,0 y 6 【解题思路】 1 建立直角坐标系，写出E, F 点的坐标；分别讨论点 P 在 CD , AD ,CB , ABuuuruuur2上，得到 PEPF 关于 x 或 y 的二次函数；

7、uuur uuur3逐段得到 PE PF 的范围及相应的解；4 整合讨论结果，得到所求范围。【解析】以DC 为 x 轴， DA 为 y 轴建立直角坐标系（如图所示），则 E(0,4), F (6,4) （1 ）若点 P 在 CD 上，设 P(x,0),0uuuruuurx6 ，所以 PE(x, 4), PF(6x,4) ，所以uuuruuurx26x 16 ，因为 06，所以 7uuuruuur16 ，所以当7 时有唯一PE PFxPEPF解，当 716时有两解；uuuruuur（2 ）若点 P 在 AD 上，设 P(0, y),0y6 ，所以 PE(0, 4y), PF(6, 4y) ，所以

8、uuuruuury28 y 16 ，因为 06，所以 0uuuruuur16 ，所以当PEPFyPEPF0 或416 时有唯一解，当 04 时有两解；uuuruuur（3 ）若点 P 在 AB 上，设 P(x,6),0x6 ，所以 PE(x,2), PF(6x,2) ，所以uuuruuurx26 x 4 ，因为 06，所以 7uuuruuur4 ，所以当7 时有唯一PE PFxPEPF解，当74 时有两解；uuuruuur（4 ）若点 P 在 BC 上，设 P(6, y),0y6 ，所以 PE(6, 4 y), PF(0, 4y) ，所uuuruuury 28y 16 ，因为 0uuur uu

9、ur以 PEPFy6，所以 0 PE PF16 ，所以当0 或416 时有唯一解，当 04 时有两解；综上所述，的取值范围是 (0, 4) 【相似易错试题】2012 上海（理科）高考第12 题在矩形 ABCD 中，边 AB 、 AD 的长分别为2 、1 ，若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点，uuuuruuurBMCNuuuuruuur且满足 uuuruuur，则 AMAN 的取值范围是BCCD【试题分析】： 本题主要考查了平面向量数量积的运算。解题方法：本题可以建立直角坐标系，设出 M 、 N 的坐标（注意利用条件的比例相等），利用坐标进行运算，如若以A 为坐标原点，设M （ 2

10、， k），则（ 2-2 ，），注意的范围是0< <1.【考试原题】 20 （本小题满分13 分）在数字 1,2,L , n (n2) 的任意一个排列 A： a1 , a2 , L ,an 中，如果对于 i , jN , i j ，有ai a j ，那么就称 (ai , aj ) 为一个逆序对 . 记排列 A 中逆序对的个数为S(A) .如 n=4 时，在排列 B： 3, 2, 4, 1 中，逆序对有 (3, 2) ， (3,1)， (2,1)， (4,1)，则 S(B) 4 .（）设排列C：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出 S(C ) 的值；（）对于数字1，2， L， n的一

11、切排列 A ，求所有 S( A) 的算术平均值；（）如果把排列 A： a1 ,a2 , L, an 中两个数字 ai , aj (ij ) 交换位置， 而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A ： b1 , b2 , L , bn ，求证： S( A) S( A) 为奇数 .【考查方向】本题主要考查了新定义的研究，对新定义问题的考查通常分以下几类：1.与集合相关的新定义，2.与数列相关的新定义，3.与函数相关的新定义；与计数原理相关的新定义.新定义问题在高考中属于创新题，所以经常出现在试题中，多以选择题、填空题出现，并且通常出现在每种题型的最后一题。【易错点】本题涉及到了数列求和、排

12、列问题，在第二问中，对“逆序”理解不透彻，容易导致错误； 第三问中，不要忽视对j,i 1的关系和 ai , a j 的是否相邻进行讨论。【解题思路】本题考查新定义问题的考查，解题步骤如下：1 直接写出 S(C) 的值； 2 考查考察排列 D：d1, d 2 , L , d n 1 , dn 与排列 D1：d n , dn 1, L , d2 , d1 中的数对个数； 3研究排列与逆序的个数，进而求其平均值；4分情况讨论研究“仅有相邻两数的位置发生变化【解析】试题分析：本题属于新定义题目的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，1 直接按照步骤来求，2 要注意分类讨论思想的应用（）解： S(C )

13、10 ；（）解：考察排列D：d1 , d2 ,L , dn 1 , dn 与排列 D1：d n ,dn 1 , L , d2 ,d1 ，因为数对(di,d j )与(d j , di )中必有一个为逆序对（其中1 ij n），2n(n1)C n2且排列 D 中数对 (di , d j ) 共有个，S(D)S( D1)n( n1)2所以所以排列 D 与 D1 的逆序对的个数的算术平均值为n(n1)4而对于数字1 ，2 ，L ，n 的任意一个排列 A ：a1 ,a2 , L , an ，都可以构造排列A1 ：an , an 1, L , a2 , a1n(n1)，且这两个排列的逆序对的个数的算术平

14、均值为4n(n1)所以所有 S(A) 的算术平均值为4（）证明：当ji1 ，即 ai , a j 相邻时，不妨设 aiai 1，则排列 A 为 a1 , a2 ,L , ai 1 , ai 1 , ai , ai 2 ,L, an ，此时排列A 与排列 A： a1,a2 , L , an 相比，仅多了一个逆序对(ai 1 ,ai ) ，所以 S( A)S(A)1，所以 S( A)S(A)2S(A)1为奇数当 j i1，即ai , a j 不相邻时，ai , a j之间有 m 个数字，记排列a1 , a2 , L , ai , k1, k2, ,L km, a j,L , an，假设A ：先将

15、ai 向右移动一个位置，得到排列A1 ：a1, a2 , L , ai 1, k1, ai , k2, ,L, km , a j , L , an，由，知 S(A1) 与 S(A) 的奇偶性不同，再将 ai 向右移动一个位置，得到排列A2 ：a1, a2 , L , ai 1, k1, k2 , ai , k3 ,L , km , a j ,L , an ，由，知S(A2 ) 与 S( A1) 的奇偶性不同，以此类推，aia1, a2 , L , k1, k2 ,L , km , ai , a j ,L , an，共向右移动 m 次，得到排列 Am ：再将a j向左移动一个位置，得到排列Am+

16、1a1 , a2 , L, ai 1 , k1, L , km , a j , ai ,L, an，：以此类推，aj 共向左移动 m+1 次，得到排列a1, a2 , L , a j , k1,L , km , ai,L ,an，A2m+1 ：即为排列 A ，由，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列 A 经过 2m1次的前后两数交换位置，可以得到排列A ，所以排列A 与排列 A 的逆序数的奇偶性不同，所以 S( A)S( A) 为奇数综上，得 S( A)S( A ) 为奇数。【相似易错试题】2014北京（理科）高考第20 题:对于数对序列P(a1 ,b1)

17、,( a2,b2 ),L ,( an, bn ) ，记 T1(P)a1b1，Tk(P)bkmaxTk 1(P), a1a2Lak (2kn) ，其中maxTk 1( P), a1a2Lak 表示Tk 1 (P)和 a1a2Lak 两个数中最大的数，（ 1 ）对于数对序列 P(2,5), P(4,1) ，求 T1 ( P),T2 (P) 的值 .（2 ）记m为 a,b, c, d 四个数中最小值，对于由两个数对(a,b),( c,d )组成的数对序列P(a,b),( c, d) 和P '(a,b),( c, d ) ，试分别对ma 和 md的两种情况比较T2( P)和T2 (P'

18、)的大小.（ 3 ）在由 5 个数对 (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6) 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 P 使 T5 (P) 最小，并写出 T5 ( P) 的值 .（只需写出结论）.【试题分析】：本题是新信息题，考查利用所学知识分析、解决综合应用问题的能力，试题难度较大。解题方法： 1 根据所给定义及两个数对序列直接写出；2 根据定义 Tk ( p)bkmax Tk 1 ( p), a1a2.ak (2kn) 写出 ma,md 时的值判定即可；3 根据定义写出数对序列即可。三、该卷与北京高考数学理科卷的比较与北京市近几年高考题对比： 总体上讲， 这是

19、一份考生容易上手， 大部分学生能稳定发挥，具有一定区分度的试卷 .北京卷题型构思设计新颖，同时从新课标以来北京市高考数学试题着重于六大能力的考查： 空间想象能力、 抽象概括能力、 推理论证能力、 运算求解能力、数据处理能力、分析问题和解决问题的能力。具体情况如下第一，各题考查的知识点。知识点的考查除8 ，14 、 20 题外，基本和北京近些年的高考卷考查点没有什么出入。基础部分的分值达到108 分左右，这也秉承北京“考题”一项不喜好“偏难怪”的特点，考查到了学生基本概念、基本题型及基本的解题方法的掌握.建议大家在备战未来高考的时候，一定要注重基本题型及通性通法.第二，注重对知识本质理解的考查.例如第 16 题离散型随机变量的分布列、期望与方差 .如果学生在备考这类题目中只注重计算而不注重理解概念的本质原理，就会无从下手.同样的，第6 题对线性规划的考查，学生可能背下很多公式，但掌握最基本的方法和原理是最重要的，而不应该死记硬背公式.掌握最本质的方法是以不变应万变的硬道理.第三，试卷在平稳中有创新，让人眼前一亮.今年的第 20 题压轴题跟以往风格也有所不同，题目并没有引出新定义，而是侧重考查学生观察数列各项之间的内在联系，对于整张试卷最难的第20 题第 3 问，虽然没有像去年不要求学生证明结论，但是前两问的铺垫为攻克第三问打下了理论基础.即使在考场上没有发现理论