大学物理下册期末复习必过

1、第 10 章 静电场第 11 章 静电场中的导体【教学内容】 电荷，库仑定律；静电场，电场强度；静电场中的高斯定理；静电场的环路定理；电势；静电场中的导体；电容，电容器；静电场的能量。【教学重点】1.库仑定律的矢量表达；点电荷的场强分布；电场强度叠加原理及其应用。2.电场线的性质；非匀强电场中任意非闭合曲面及任意闭合曲面电通量的计算；真空中的高斯定理及其应用。3.静电场的环路定理及其反映的静电场性质；点电荷电场的电势分布；电势的叠加原理及其应用。4.静电平衡条件；处于静电平衡状态的导体上的电荷分布特点。5.典型电容器的电容及其计算；电容器储存的静电能的计算。【考核知识点】1. 电场强度的概念，

2、由电场强度叠加原理求带电体的电场强度分布。（ 1）公式 点电荷的电场强度分布：uvQuvE4 0r 2er 由电场强度叠加原理求点电荷系的电场强度分布：uvQiuuvEi 42eri0riuvdquv 视为点电荷的 dq 的电场强度分布： dE0 r2er4 由电场强度叠加原理求连续带电体的电场强度分布：uvuvdquvE = dEerQ 4 0r 2 由电荷密度表示的dq ：电荷体分布：电荷面分布：电荷线分布：dqdVdqdSdqdl 均匀带电球面的电场强度分布：0(r R)EQ(r, 方向：沿径向。40 r 2R)（ 2）相关例题和作业题【例】求电偶极子轴线和中垂线上任意一点处的电场强度。

3、【例 10.2.2】一无限长均匀带电直线，电荷线密度为（ C m 1）,求距该直线为 a 处的电场强度。 如图 10.2.5所示图带电线的电场【例】一均匀带电细半圆环，半径为R，带电量为Q，求环心 O 处的电场强度。如图所示YdqRddExOXdEydE图带电半圆环环心处的电场强度【 10.1 】四个点电荷到坐标原点的距离均为d，如题 10.1 图所示，求点O的电场强度的大小和方向。y+2q+2qOqxq题图 10.1【 10.4 】正方形的边长为a，四个顶点都放有电荷，求如题10.4 图所示的 4 种情况下，其中心处的电场强度。+ q+ q+ q+ q+ qq+ qq0000+ q+ q q

4、 q q+ q+ q q( a )( b )( c )( d )题图 10.4【 10.5 】 一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷+ ，求环心处的电场强度。Q题图 10.5【 10.6 】 长为 15.0cm 的直导线，其上均匀分布着线密度=5.0 10 9 Cm-1 的正电荷，如题图10.6 所示。求（ 1）AB在导线的延长线上与导线B 端相距为 5cm 的点 P 的场强。【 10.8 】如题图10.8 （a）所示，电荷线密度为1 的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为2 的有限长均匀带电直线AB，两者位于同一平面内，求AB所受的静电力。（ a）（ b）题图 10.82. 电通量的

5、计算。（ 1）公式uruveEdSE cos dSSS（ 2）相关例题和作业题【 10.9 】有一非均匀电场，其场强为 E( E0 kx)i ，求通过如题图10.9 所示的边长为0.53 m 的立方体的电场强度通量。（式中 k 为一常量）yS1S2Oxz题图 10.93.用真空中的高斯定理计算电荷分布具有对称性的连续带电体的电场强度分布。（ 1）公式均 匀 带电 球面/球 体/球 壳：选同心球面为高斯面S，由高斯定理得uvurr 2QiEdS E4iE d S蜒SS0QiEi, 方向：沿径向。240 r 无限长均匀带电直线/ 圆柱面 / 圆柱体 / 圆柱壳：选同轴圆柱面为高斯面S，其中 S1、

6、 S2 为上下底面， S3 为侧面， h 为柱高，由高斯定理得uv uruvuruvuruv ur?E dSE dSE dSE dSSS1S2S3uvurQiiE dS ES3E2 rhS30QiEi, 方向：沿径向。20 rhuv 无限大均匀带电平面的电场强度分布：平面两边分别为均匀电场，E 的方向与带电平面垂直，大小为E，其中为均匀带电平面的电荷面密度。2 0（ 2）相关例题和作业题【例】设有一半径为R 带电量为Q 的均匀球体。求：球体内部和外部空间的电场强度分布。带电体带电体RRrPrOO高斯面（ a）（ b）高斯面图 10.3.7 均匀带电球体的场强解：首先分析 E 空间分布的特性，由

7、于电荷分布具有球对称性，故E 方向沿球半径方向，且E 的大小在同一球面上都相等。故取高斯面为同心球面。【例 10.3.2】求无限长均匀带电直线的电场强度分布。高斯面rhOprE图无限长均匀带电直线的电场解：由于带电直线无限长，且其上电荷分布均匀，所以其产生的电场强度E 沿垂直于该直线的径矢方向，而且在距直线等距离各点处的电场强度大小相等，即无限长均匀带电直线的电场分布具有柱对称性。如图所示，以带电直线为轴线，r 为半径，作一高为h 的圆柱体的表面为高斯面。由于电场强度 E 的方向与上、下底面的法线方向垂直，所以通过圆柱两个底面的电场强度通量为零，而通过圆柱侧面的电场强度通量为E2 rh ，所以

8、通过该高斯面的电场强度通量为E dSE dSE dSE dSS下底侧上底0E2rh0E 2rh该高斯面所包围的电荷量为q ih内根据高斯定理有hSE dSE2rh0由此可得E20 r即无限长均匀带电直线外某点处的电场强度，与该点距带电直线的垂直距离r 成反比，与电荷线密度成正比。【例】设有一无限大的均匀带电平面，其电荷面密度为，求距该平面为r 处某点的电场强度。图无限大均匀带电平面的电场解：首先分析分布特点，因为是无限大均匀带电平面。故方向必垂直于带电面，由电平面两侧附E（r ）E（ r）近的电场具有镜像对称性，大小在两侧距带电面等距离各点处相等。为此选取如图10.3.10所示的闭合圆柱E（

9、r）面为高斯面。由高斯定理EdS1q0S0S内左方E dSEdSE dSEdS ES0ES2ES 2 a 2 ES左底侧右底该高斯面内所包围的电荷量为内q iSEd2ESSSS0得E20可见，无限大均匀带电平面产生的电场为匀强电场，方向与带电平面垂直。若平面带的电荷为正（> 0），则电场强度的方向垂直于平面向外；若平面带的电荷为负 （< 0），则电场强度的方向垂直于平面向内,如图 10.3.11所示。> 0< 0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-图无限大均匀带电平面场强方向利用上面的结论和电场强度叠加原理，可求得两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场分布，如图

10、所示。设两带电平面的面电荷密度分别为+和 -（>0），两带电平面的电场强度大小相等均为E，而它们的方向，在两平面之间的区域，方向是相同的；在两平面之外的区域，方向则是相反的。所以，在两带电平面外侧20的电场强度为零，在两平面之间的电场强度大小为E20200其方向由带正电平面指向带负电平面。【 10.10 】设匀强电场的电场强度E 与半径为 R 的半球面的轴平行，求通过此半球面的电场强度通量。题图 10.10【10.11 】 两个带有等量异号的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1 和 R2 （R1 < R2） , 单位长度上的带电量为，求离轴线为r 处的电场强度： （1） r <

11、R1；(2) R1 < r < R2 ；(3) r > R2 。题图 10.11【 10.12 】如题图 10.12 所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆柱体，电荷体密度为+，求带电圆柱体内、外的电场分布。题图 10.12解：此圆柱体的电场分布具有轴对称性，距轴线OO等距离各点的电场强度值相同，方向均垂直 OO轴，沿径向，因此，可用高斯定理求解。1. 圆柱体内的电场强度分布（r1 R ）设点 P 为圆柱体内任意一点，它到轴线的距离为r1 ，在圆柱体内，以 r1 为半径作一与圆柱体同轴，高为l 的闭合圆柱面为高斯面（如题图10.12 ）。由于高斯面上、下底面的法线均与面上各点的

12、电场强度方向垂直，故通过上、下底面的电场强度通量为零，侧面上任一点的法线方向，均与该处电场强度方向一致，故通过整个高斯面的电场强度通量为 2 r1lE1 ，高斯面内包围的总电荷为r12 l，由高斯定理2 r1lE1r12l0r1得E1202. 圆柱体外的场强分布（ r2 R ）设 P ' 为圆柱体外任一点，类似上面的讨论，以r2 为半径作高斯面（如题图10.12 ），由高斯定理有E2 2 r2lR2l由此得E20R220 r2【 10.13 】两个均匀带电的金属同心球面，半径分别为0.10 m和 0.30 m , 小球面带电1.010 8 C,大球面带电1.510 8 C 。求离球心为

13、（ 1）0.05 m ；（ 2）0.20 m ；（3）0.50 m 处的电场强度。【 10.14 】如题图 10.14 所示，一个内、外半径分别为1 和2 的均匀带电球壳，总电荷为1，球壳外同心罩一个RRQ半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为2。求（ 1）r<R1（2） 1<r< 2（3）2<r< 3(4)r>R3的QRRRR电场强度。题图 10.14【 10.16 】两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+ 和-2，求图示中3 个区域的场强。+ 2题图 10.164. 电势的概念，用电势的定义及电势叠加原理求带电体的电势分布。（ 1）公式 点电荷的

14、电势分布： U PQ0)(U40r 由电势叠加原理求点电荷系的电势分布：U PQi(U0)40 rii 视为点电荷的 dq 的电势分布：dq(U0)dU4 0 r 由电势叠加原理求连续带电体的电势分布：U P =dUdq0)Q 4(U0 r 由电势的定义求连续带电体的电势分布：U PP0 uvr，其中 UP0EdlP0ur需已知或易求 PP0积分路径上的 E分布。 均匀带电球面的电势分布：QR)4(r0 RUQR)4(r0 r（ 2）相关例题和作业题【例10.5.1 】求均匀带电球面激发静电场的电势分布。已知球面半径为R，所带电量为Q，如图10.5.3 所示。图均匀带电球面解：选无限远处 U0

15、 ，由U的定义式 U PE dlP上述结果表明，均匀带电球面内各点的电势相等，都等于球面上的电势；球面外任意一点的电势与电荷全部集中在球心时的电势一样。电势分布的U-r 曲线如图所示。图均匀带电球面的 U-r 曲线【例】一点电荷的电荷量为Q1 = 2 10-5 C，位于（ -d，0）处，另一点电荷电荷量为Q2 = -1 10-5 C，位于（ +d，0）处，设 d = 1m，求点 P（2，2）处的电势。图用电势叠加原理求电势解：根据电势叠加原理可知点P 处的电势为UU1U2其中QQU 1；U 24 0 r14 0 r2建坐标轴如图所示r1322 23.6 m；r2122 22.2 m其中将 r1

16、 , r2 代入 U1 、U2 中得U1 = 5.0 104（ V）；U 2= -4.1 104（ V）所以点 P 处的电势为U=9.0 103 V【例】求均匀带电细圆环轴线上一点的电势。已知圆环半径为R，带电量为Q。图均匀带电细圆环轴线上的电势解：以圆心 O 为原点，沿圆环轴建坐标系如图所示，均匀带电圆环的线电荷密度为Q2R在圆环上任取一电荷元dqdlQ2dlR它在点 P 的电势为dU Pdqdlr4 0 r40根据电势叠加原理，整个圆环在点P 处产生的电势为所有电荷元产生电势的代数和，即U PdU P2RdlQ4 0 r2 Rx 2L04 0 r40R2若点 P 在环心 O 处，则环心处的

17、电势为UQ40 R虽然环心处的电场强度为零，但电势不为零。若点 P 远离环心（ x >> R）, 则点 P 处的电势为UQ4 0 x上式表明，细圆环轴线上远离环心处的电势与电荷全部集中在环心时的电势相同，即细圆环可视为点电荷。【 10. 19】 一均匀带电半圆环，半径为，带电量为，求环心处的电势。RQ【10. 20】 电量 q 均匀分布在长为 2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a 的点 P 的电势（设无穷远处为电势零点）。题解图 10.20【 10. 22】 如题图 10.22 所示，两个同心球面， 半径分别为1 和2，内球面带电 - ，外球面带电 + ，求距球心（ 1）R

18、RqQr < R1(2)1R2 (3) r > R2 处一点的电势。R < r <题图 10.225电势差的计算。（ 1）公式U abU a U bb uvrEdla（ 2）相关例题和作业题【 10. 23】 一半径为 R的长棒， 其内部的电荷分布是均匀的，电荷的体密度为。求（1）棒表面的电场强度； （2）棒轴线上的一点与棒表面之间的电势差。题图10.23【 10. 24】两个很长的同轴圆柱面（R13.0102m, R20.10 m ），带有等量异号的电荷，两者的电势差为450 V。求（ 1）圆柱面单位长度上的带电量是多少？（2）两圆柱面之间的电场强度？题图 10.24

19、6在静电场中移动点电荷，静电场力所做功的计算。（ 1）公式AabqU abq(U aU b )b uvrq Edla（ 2）相关例题和作业题【 10. 17】 如题图 10.17所示， AB两点相距 2 l ，是以 B 为圆心， l 为半径的半圆。 A 点有正电荷q ，B点有负电荷q。求（ 1）把单位正电荷从O点沿移到点时电场力对它做的功？（2）把单位负电荷从DD点沿 AB的延长线移到无穷远时电场力对它做的功？题图 10.17【 10. 28】如题图 10.28 所示，已知 a = 810 2m， b = 6 10 2m, q1 =3 108C, q2 = 3 10 8C 。求（ 1）点 D

20、和点 B 的电场强度和电势； （2）点 A 和点 C 的电势；（3）将电量为q0 = 2 109 C的点电荷由点A 移到点 C时电场力做的功； （4）点电荷 q0 由点 B 移到点 D 时电场力做的功。yABCbbbq1a/2O(D)q2xa题图 10.28解：根据题意，建立如图所示坐标系，以点D为坐标原点， 水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向。7. 静电平衡条件。 静电平衡条件：当导体处于静电平衡状态时，在导体内部电场强度处处为零；导体是一个等势体，导体表面是一个等势面。 处于静电平衡状态的导体上的电荷分布特点：（1）导体所带电荷只能分布在导体的表面，导体内部没有净余电荷；（2）

21、导体表面外邻近处电场强度的大小与导体表面电荷密度成正比E；0（ 3）导体表面上的面电荷密度与其表面的曲率半径有关，曲率半径越小，电荷面密度越大。8. 典型电容器的电容及其计算。（ 1）公式 电容的计算公式： CQU 平行板电容器的电容：C0Sd 孤立导体球电容器的电容：C40R（ 2）相关例题和作业题【 P45: 球形电容器的电容计算】如图11.3.2 所示，一球形电容器，内外球壳的半径分别为R1 和 R2，内外球壳间为真空，假设内外球壳分别带有+Q 和 -Q 的电荷量。则由高斯定理可得两球壳间的电场强度大小为R2R1O图 11.3.2球形电容器Q（ R1 < r < R2）E24

22、 0 r因此两极板间的电势差为R2R2QQR2 R1UR1E drR1 40 r 2 dr4 0 R1R2根据式（），可知球形电容器的电容为Q40 R1R2（ 11.3.3）CR2R1U【 P45-46: 柱形电容器的电容计算】柱形电容器是由两个不同半径的同轴金属圆柱筒A、B 组成的，并且圆柱筒的长度远大于外圆柱筒的半径。图 11.3.3 柱形电容器已知两圆柱筒半径分别为 RA 、 RB，筒长为 l 。设内外圆柱面带电荷量为+Q 和 -Q，则单位长度上的线电荷密度为Q l 。由静电场的高斯定理可知，rRA 及 r RB 区域， E0；再由高斯定理可求得 RA rRB区域的电场强度大小为EQ10

23、 r 20 l r2方向垂直于圆柱轴线向四外辐射。因此，两极板间的电势差为QRBdrQRBU ABE drln0l RA r2 0 lAB2RA根据式（），得到柱形电容器的电容为Q2 0 lC(11.3.4)U RBlnRA【 11. 7】作近似计算时，把地球当作半径为6.40 106m的孤立球体。求（ 1）其电容为多少？解： (1) 根据孤立球体电容公式，地球的电容值近似为C 40 R43.148.8510 126.401067.11 10 4 F【 11. 9】地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100km。求地球 - 电离层系统的电容。 （设地球与电离层之间为真空）9. 电容器

24、储存的静电能的计算。（ 1）公式We1 QU1CU 2Q 2222C（ 2）相关例题和作业题【 11. 10】 一平行板电容器，极板形状为圆形，其半径为8.0cm ，极板间距为 1.0mm。若电容器充电到100V，求两极板的带电量为多少？储存的电能是多少？10静电场的性质。uvurQii 高斯定理： ?E dS，说明静电场是有源场。S0uvr 环路定理： ?Edl0 ，说明静电场是保守场。L第 12 章 恒定磁场【教学内容】磁场，磁感强度；毕奥萨伐尔定律；磁场的高斯定理；磁场的安培环路定理；磁场对运动电荷的作用；磁场对载流导线的作用；磁介质中的磁场。【教学重点】1. 磁感强度的定义；电流元的定

25、义；毕奥- 萨伐尔定律和磁场叠加原理的应用。2. 磁通量的计算；磁场的高斯定理及其反映的磁场性质；磁场的安培环路定理及其应用。3. 洛伦兹力的特性； 用安培定律计算载流导线在磁场中受到的磁力以及载流线圈在均匀磁场中受到的磁力矩。【考核知识点】1. 毕奥 - 萨伐尔定律和磁场叠加原理的应用。（ 1）公式 无限长载流直导线的磁感强度分布：B0I，方向与 I 成右手螺旋关系，具有柱对称性。2r 半无限长载流直导线，具有限端垂直距离为r 的点的磁感强度分布：B0 I，方向与 I 成右手螺旋4r关系。 载流直导线延长线上的点的磁感强度分布： 载流圆弧导线在圆心处的磁感强度分布：urB0B0 I为圆弧的圆

26、心角）( R为圆弧半径 ,4R方向与 I成右手螺旋关系。（ 2）相关例题和作业题【例 12.2.1 】一无限长载流直导线被弯成如图12.2.5 所示的形状，试计算O 点的磁感强度。1OR23R4图用场强叠加原理求磁感应强度【 12.1 】一长直导线被弯成如题图12.1 所示的形状，通过的电流为I ，半径为R 。求圆心 O处的磁感强度的大小和方向。IROII题图 12.1【 12.3 】电流 I 沿着同一种材料作成的长直导线和半径为R 的金属圆环流动，如题图12.3 所示，求圆心O处的磁感强度的大小和方向。【 12.4 】将一导线弯成如题图12.4 所示的形状，求点O处的磁感强度的大小和方向。I

27、R2R1OI题图 12.4【 12.5 】四条相互平行的载流长直导线中的电流均为I，如题图12.5 所示，正方形边长为，求正方形中心点Oa处的磁感强度的大小和方向。题图 12.5【 12. 7】如题图 12.7 所示，有两根导线沿半径方向接到铁环的、b两点上，并与很远处的电源相接，求环中心a点 O处的磁感强度。题图 12.7【 12. 8】如题图 12.8 所示，一宽为b 的无限长薄金属板，其电流为I ，求在薄板的平面上，距板的一边为r 处的点 P的磁感强度。题图 12.82. 磁通量的计算；磁场的高斯定理。（ 1）公式uvurB cos dS 磁通量的计算公式：mBdSSSmuvur 磁场的

28、高斯定理：?B dS 0S（ 2）相关例题和作业题【例 12. 3.1 】在真空中有一无限长载流直导线，电流为I ，其旁有一矩形回路与直导线共面，如图12.3.3 （ a）所示。求通过该回路所围面积的磁通量。ababIcIcOxXdx( a)( b)【 12. 12】两根平行长直导线相距 40 cm, 分别通以 A 处的磁感强度；（2）通过图中矩形面积的磁通量20 A 的电流，求（ 1）两导线所在平面内，与两导线等距的点( a = 10 cm, b = 20 cm,c = 25 cm) 。【 12. 13】电流 I 均匀地流过半径为 R 的圆形长直导线的截面，试计算单位长度导线内的磁场通过图中

29、所示剖面的磁通量。【12. 14】在磁感强度为B 的均匀磁场中，有一半径为R的半球面，B 与半球面轴线的夹角为。求通过该半球面的磁通量。题图 12.14解：由磁场的高斯定理v v ?B dS0，可知穿过半球面的磁感线全部穿过圆面S，因此有：mB SR 2 Bcos3. 磁场的安培环路定理及其应用。（ 1）公式uvr 磁场的安培环路定理：?Bdl0I iLi 无限长载流直螺线管内的磁感强度分布：B0nI ，方向与 I 成右手螺旋关系，为均匀磁场。 载流螺绕管内的磁感强度分布：N，方向与 I 成右手螺旋关系，为非均匀磁场。B02 R I0 nI 无限长载流圆柱体/ 圆柱面 / 圆柱壳的磁感强度分布

30、求法：ur取半径为 r 的 B 线为积分路径L，由安培环路定理得：uvr蜒dlBdl B2 r0I iBLLi0I iBi2 r 无限长载流同轴电缆的磁感强度分布求法：ur取半径为 r 的 B 线为积分路径L，由安培环路定理得：uvrBdlB2 r0I i蜒B dlLLi0I iBi2rur0特点：外筒外 B（ 2）相关例题和作业题【例 12. 4.1】一无限长密绕螺线管，单位长度上有n 匝线圈，已知每匝线圈中的电流均为I ，。求螺线管内、外的磁感强度。d P c PBaba b dc图长直密绕螺线管的磁感强度分布【例 12. 4.2 】计算载流螺绕环内磁场。设管内为真空的环上均匀地密绕有N

31、匝线圈，线圈中的电流为I 。并且环的平均半径R 远远大于管截面的直径d 。图螺绕环解：由于密绕，故B外0 ， B内 方向特点为沿同心圆的切线方向，且同一圆周上各点B内 的大小相同，故由安培环路定理求B内 时过 P 点选取半径为r 的圆周为安培环路线。Bl 0I由L内d内dB2r0 NILBl可得B内0 NI2r从上式可以看出，螺绕环内的横截面上各点的磁感强度是不同的，与r 有关。当 R>>d时， rR 。取 nN为螺绕环线圈的线密度，2 RB内0 nI(12.4.5)从此结果可见细螺绕环与“无限长”螺线管一样，产生的磁场全部集中在管内，并且度的匝数 n 值不变时，螺绕环就过渡为“无

32、限长”直螺线管了。B0 nI 。当螺绕环半径 R 趋于“无限大” ，且单位长【例 12. 4.3 】一载流无限长圆柱体，其半径为R，电流强度为I ，且均匀分布在圆柱体的横截面上，求圆柱体内外的磁感强度分布。解：首先分析 B 分布特点，由于 I 分布是轴对称的，故B 分布也是轴对称的。IBBQBLrPrQROBrPORr(a)(b)（c）【 12. 16】有一同轴电缆，尺寸如题图12.16 所示。两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反。求以下各区域的磁感强度的大小（ 1） rR1 ；（ 2） R1rR2 ；（3） R2rR3 ；（ 4） rR3 。R1R2R3题图 12.16解：设同轴电缆为无限长，导线横截面上电流均匀分布，在电缆的横截面内，以截面的中心为圆心，取不同的半径 r作圆，并以此为各积分环路。在每个环路上，磁感强度的大小相等, 方向均沿圆周的切线方向。应用安培环路定理B dL0I ，可求出磁感强度 B的值。L【 12. 28】一无限长，半径为R的圆柱形导体，导体内通有电流I ，设电流均匀分布在导体的横截面上。今取一个长为 ，宽为 2 的矩形平面，其位置如题图12.28 所示。求通过该矩形平面的磁通量。RRIRRR4. 洛伦兹力的特性；用安培定律计算载流导线在磁场中受到的磁力以及载流线圈在均匀磁场中受到的磁力矩。（ 1）