椭圆标准方程及其性质知识点大全_3590

1、学习必备欢迎下载【专题七】 椭圆标准方程及其性质知识点大全( 一) 椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆定义：平面内一个动点 P到两个定点 F1、 F2 的距离之和等于常数( PF1PF22aF1 F2 ) ,这个动点P 的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距 .注意： 若 ( PF1PF2F1 F2 ) ，则动点 P 的轨迹为线段F1F2 ；若 ( PF1PF 2F1 F2 ) ，则动点 P 的轨迹无图形( 二) 椭圆的简单几何性：标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。x 2y 21 ( a b 0)y 2x21 (a b 0)标准方程2b 2

2、a2b2a图形焦点F1 (c,0) ， F2 (c,0)F1(0,c) ， F2 (0, c)焦距F1F22cF1 F22c范围xa ， ybxb ， y a性质对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点(a,0) ， (0,b)(0,a) ， ( b,0)轴长长轴长 A1 A2, A A= 2a ，短轴长 B1 B2 ,B B= 2b1 21 2学习必备欢迎下载 ec(0 e 1) ， e1 ( b ) 2 c 2a2b 2离心率aa（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数a 与 b，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F1 ，F 2 的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭

3、圆标准方程的类型，常数a，b，c都大于零，其中a 最大且 a2 =b 2 +c 2 .2. 方程 Ax2By 2C 表示椭圆的充要条件是： ABC 0，且 A ，B，C 同号， A B。A B 时，焦点在 y 轴上， A B 时，焦点在 x 轴上。(三 )焦点三角形的面积公式： S PF Fb2tan如图：122椭圆标准方程为 : x2y 21(ab0) ，椭圆焦点三角形： 设 P 为椭圆上任意一点，a2b2F1 , F2 为焦点且 F1PF2，则 F1PF2为焦点三角形，其面积为 S PF Fb2 tan。122(四 )通径 ：如图：通径长MN2b2yaM 椭圆标准方程 : x 2y 21(

4、ab0)，Fxa 2b 2(五 )点与椭圆的位置关系 ：N（1）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外x02y021 ；（2）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上x02y02a2b2a2b2 1；（3）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内x02y021a2b2( 六) 直线与椭圆的位置关系 ：x 2y 21设直线 l 的方程为： Ax+By+C=0 ，椭圆 a 2b 2（ab0），联立组成方程组，消去 y(或 x)利用判别式的符号来确定：（ 1）相交：0直线与椭圆相交；（ 2）相切：0直线与椭圆相切；学习必备欢迎下载（ 3）相离：0直线与椭圆相离；( 七) 弦长公式： 若 直 线 AB:

5、ykx b 与 椭 圆 标 准 方 程 : x2y 21 (a b 0) 相 交 于 两 点a 2b2A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，把 AB 所在直线方程 y=kx+b ，代入椭圆方程 x 2y 21整理得： Ax 2+Bx+C=0 。a 2b2弦长公式：AB1k2x1x21k2(x1x2 )24x1 x21k 2（含ax 的方程）1124 y1 y2 = 11（含 yAB1k2 y1y21k 2( y1y2 )k 2a的方程）（八）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。设 Ax1 , y1 ， Bx2, y 2 是椭圆x 2y 21

6、( ab0) 上不重合的两点，a 2b 2x0x1x22直线 AB 的斜率k AB ， M x 0， y 0是线段AB 的中点坐标，y1y 2y0222x1y11122则ab，22x2y 21222ab两式相减得x1x 2 x1x2y1y2y1y 20a 2b 2y1y2b 2x1x2x1x 2a 2y1y 2所以1 式可以解决与椭圆弦AB 的斜率及中点有关的问题，此法称为点差法( 设而不求) 椭圆标准方程 :x 2y 21(ab0) ，以 M ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率b2a 2b 2kkOMa2 ；y 2x2 椭圆标准方程:1 (ab0) ，以 M ( x0 , y0

7、 ) 为中点的弦所在直线的斜率a2b2学习必备欢迎下载k kOMa2b2斜率为 k 的弦的中点轨迹方程：设弦 PQ的端点为 P(x 1 ，y 1 ) ，Q(x 2，y 2 ) ，中点为 M（ x 0 ，xky0y 0 ），把 P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得a 2b 2（椭圆内不含端点的线段） 。【考点指要】在历年的高考数学试题中，有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的15%左右，且题型，数量，难度保持相对稳定：选择题和填空题共2 道题，解答题1 道，选择题和填空题主要考查圆锥曲线的标准方程，几何性质等； 解答题往往是以椭圆，双曲线或抛物线为载体的有一定难度的综合题，问题涉及函数，方程，不等式，三角函数，平面向量等诸多方面的知识， 并蕴含着数学结合，等价转化，分类讨论等数学思想方法，对考生的数学学科能力及思维能力