n阶行列式的性质

1、上页下页铃结束返回首页 性质性质1 行列式与它的转置行列式的值相等，即行列式与它的转置行列式的值相等，即D = =DT。证明：证明：记记D= =|aij|，D T= =| bij |， 且且bij = = aji ，D T的一般项为的一般项为 第二节第二节 n阶行列式的性质阶行列式的性质 将行列式将行列式D的行与列互换后得到的行列的行与列互换后得到的行列式称为式称为D的转置行列式，记为的转置行列式，记为DT或或D 。行列式的转置：行列式的转置：nnnjjjjjjbbb212121)() 1(njjjjjjnnaaa21)(2121) 1(=njjjnjjjnnaaa21)12()(2121)

2、1(=这也是这也是D 的一般项，的一般项，所以所以 D = =DT。结论：结论：行列式的行具有什么性质，列也具有同样的行列式的行具有什么性质，列也具有同样的性质性质下页下页上页下页铃结束返回首页 性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式的值变号。，行列式的值变号。 证明：证明：记记D= =|aij|，交换，交换D的第的第s行与第行与第t(st)行得到的行得到的行列式为行列式为D1= =| bij |，则，则bsj = = atj 、btj = = asj(j= =1, 2, , n)。ntsntsnjtjsjjjjjjNbbbb 111)() 1( D1的一般项为的一般项为

3、 ntsntsnjsjtjjjjjjNaaaa = 111)() 1(nstntsnjtjsjjjjjjNaaaa = 111)() 1(它与它与D的一般项相差一个负号，的一般项相差一个负号，所以所以D 1=D。nstnstnjtjsjjjjjjNaaaa = 111)() 1(，下页下页上页下页铃结束返回首页 推论推论 如果行列式中有两行如果行列式中有两行(列列)的对应元素相同，则的对应元素相同，则此行列式的值为零。此行列式的值为零。 性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式的值变号。，行列式的值变号。 这是因为，将行列式这是因为，将行列式 D 中具有相同元素的两行互换中

4、具有相同元素的两行互换后所得的行列式仍为后所得的行列式仍为D，但由性质，但由性质2，D=D，所以，所以D= =0。12-72 -1444 0646 1838如如=0上页下页铃结束返回首页 推论推论 如果行列式中有两行如果行列式中有两行(列列)的对应元素相同，则的对应元素相同，则此行列式的值为零。此行列式的值为零。 性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式的值变号。，行列式的值变号。 性质性质3 用数用数k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用数，等于用数k乘以此行列式。即乘以此行列式。即a11ka31an1 a12ka32an2 a1nka3nann ninn

5、jijjjjjNakaa )() 1(1211)( 这是因为，这是因为，ninnjijjjjjNaaak = 1211)() 1(。= =k。a11a31an1 a12a32an2 a1na3nann 下页下页上页下页铃结束返回首页 推论推论2 如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)的对应元素成比例，的对应元素成比例，则此行列式的值为零。则此行列式的值为零。 推论推论1 如果行列式中某一行如果行列式中某一行(列列)的所有元素有公因的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式符号的外面。子，则公因子可以提到行列式符号的外面。 推论推论 如果行列式中有两行如果行列式中有两行(列列)的对应元素相同，

6、的对应元素相同，则此行列式的值为零。则此行列式的值为零。 性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式的值变号。，行列式的值变号。 性质性质3 用数用数k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用数，等于用数k乘以此行列式。乘以此行列式。下页下页上页下页铃结束返回首页 例例1计算行列式计算行列式 4105363142=D。 解：解：因为第一列与第二因为第一列与第二列对应元素成比例，所以列对应元素成比例，所以4105363142=D。= =0。 反对称行列式：反对称行列式： a ij=a ji(i j)，a ii= =0(i= =j)。 反对称行列式的特点是：反对称行列

7、式的特点是：0 a12 a13 a1n a120 a23 a2n a13a230 a3n a1na2na3n0 。下页下页上页下页铃结束返回首页 解：解：设设 例例2证明奇数阶反对称行列式的值为零。证明奇数阶反对称行列式的值为零。0 a12 a13 a1n a120 a23 a2n a13a230 a3n a1na2na3n0 ，D = =则则0a12a13a1n a120a23a2n a13 a230a3n a1n a2n a3n0 = =( 1)nDTD = = ( 1)n当当n为奇数时，有为奇数时，有D=D，= =( 1)n D，所以所以D= =0。( 将将D的每一行的每一行提出一个提出

8、一个 1)( DT= = D)下页下页上页下页铃结束返回首页 例例3设设 a11a21a31a12a22a32a13a23a33= =1，6a11 3a21 3a31 2a12a22a32 10a135a235a33求求。6a11 3a21 3a31 2a12a22a32 10a135a235a33 解：解： 3a11 3a21 3a31a12a22a325a135a235a33 2a11a21a31a12a22a32a13a23a33 2 ( 3) 5 = =30。=2 ( 3) 5 1下页下页( 2)5( 3)上页下页铃结束返回首页 性质性质4 若行列式中的某一行若行列式中的某一行(列列)

9、的元素都是两数之的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和：和，则此行列式可以写成两个行列式之和：a11ai1 bi1an1a12ai2 bi2an2a1nain binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann = = 。a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann 这是因为，这是因为， niinnjijijjjjjNabaa)() 1(1211)() 1(112111)(nininnjijjnjijjjjjNabaaaa = = ninnjijjjjjNaaa1211)() 1( ninnjijjjjjNaba1211)() 1(。 下页下页上

10、页下页铃结束返回首页推论：推论：如果将行列式某一行（列）的每一个元素都如果将行列式某一行（列）的每一个元素都写成写成m个数（个数（m为大于为大于2的整数）的和，则此行列的整数）的和，则此行列式可以写成式可以写成m个行列式的和个行列式的和2222212112121111babababa222221121211222221121211babbabbaabaa=22211211222112112221121122211211bbbbababbabaaaaa=下页下页上页下页铃结束返回首页练习练习设设 a11a21a31a12a22a32a13a23a33= =1，下页下页则则333231312322

11、212113121111324324324aaaaaaaaaaaa-12上页下页铃结束返回首页 性质性质5 将行列式的某一行将行列式的某一行(列列)的所有元素同乘以数的所有元素同乘以数k后后加到另一行加到另一行(列列)对应位置的元素上，行列式的值不变。对应位置的元素上，行列式的值不变。a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11ai1 kaj1an1a12ai2 kaj2an2a1nain kajnann= =。下页下页a11aj1an1a12aj2an2a1najnann k。a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 右边右边= =即即 这是因为这是因

12、为上页下页铃结束返回首页2351961062902131=D例例计算下列行列式计算下列行列式（）（）解解23542006100103002131=D235200100300213=2354610213应用举例应用举例上页下页铃结束返回首页（）（）)0,(2=bababbaabababaD解解babbaabababaD=2+ +babbaabababb上页下页铃结束返回首页例例证明证明3332221112333332222211111)1 (cbacbacbaxcbxaxbacbxaxbacbxaxbaD=结束333322221111333322221111cbxaxbcbxaxbcbxaxbc

13、bxaacbxaacbxaaD=证明证明333222111333222111333222111333222111cbxbcbxbcbxbcxaxbcxaxbcxaxbcbacbacbacxaacxaacxaa=3332221112333222111cabcabcabxcbacbacba=3332221112)1 (cbacbacbax=上页下页铃结束返回首页16例例62101044614753124025973313211 = =D计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值ijrkr 3

14、化三角形法化三角形法 上页下页铃结束返回首页172101044614753124025973313211 = =D3 解解123rr 13211 00- -10- -2c cc cc c 2 c cc cc cc cc cc c132rr 0204- -1 3 143rr 0- -21- -53154rr 0022- -2c cc cc c 4 上页下页铃结束返回首页1842rr 2220020100140203512013211 222002010003512013211 01- -1223rr 2 上页下页铃结束返回首页19 612 = =.12= =6400001000211003512

15、013211 34rr 352rr 454rr c c0上页下页铃结束返回首页 例例7 0 1 1 2 2 1 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 1 2 2 1 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 0 0 2 2 0 0 2 4 0 1 1 2 1 1 0 2下页下页(, ) 0 3 1 4 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 0 2 1 ( 2) 1 3 0 0 0 2 0 0 2 4 0 1 1 2 1 1 0 2=1 ( 1) ( 2) ( 2) = =4。 ( 1)上页下页铃结束返回首页21例例8 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD=

16、=解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 = =D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2上页下页铃结束返回首页22 11(1)11bbbabbanbbabbba= = 1(1)bbbabanbabab = 00 1(1) ().nanb a b = = 上页下页铃结束返回首页23例例9 设设 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb= =,)det(11111kkkkijaaaaaD= = =,)det(11112nnnnijbbbbbD= = =.21DDD = =证明证明 上页下页铃结束返回首页24证明证明1111110;kkkkkpDpppp=对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 1Dijrkr 1D设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp=设为设为上页下页铃结束返回首页25对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式,01111111111