电磁感应双杆模型

1、2. 如图，相距 L 的光滑金属导轨，半径为 R 的 1/4 圆弧部分竖直放置、直的部分固定于水平地面，MNQP范围内应 用 动 量 定 理 与 动 量 守 恒 定 律 解 决 双 导 体 棒 切 割 磁 感 线 问 题1. （12 丰台期末 12分） 如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上平行放置两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形回路。已知两根导体棒的质量均为m、电阻均为 R，其它电阻忽略不计，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行。开始时，导体棒 cd 静止、 ab 有水平向右的初速度 v0，两导体棒在运动中

2、始终不接触。求：1）开始时，导体棒 ab 中电流的大小和方向；2）从开始到导体棒 cd 达到最大速度的过程中，矩形回路产生的焦耳热；33）当 ab 棒速度变为v0时， cd 棒加速度的大小。4有方向竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场金属棒 ab 和 cd 垂直导轨且接触良好， cd 静止在磁场中， ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与 cd 没有接触已知 电阻为 r 金属导轨电阻不计，重力加速度为 g忽略摩擦1）求： ab 到达圆弧底端时对轨道的压力大小2）在图中标出 ab刚进入磁场时 cd 棒中的电流方向3）若 cd 离开磁场时的速度是此刻 ab 速度的一半，求： cd 离开磁场瞬

3、间， ab 受到的安培力大小3. （20 分）如图所示， 电阻均为 R的金属棒 ab，a 棒的质量为 m，b 棒的质量为 M，放在如图所示光滑的轨道 的水平部分，水平部分有如图所示竖直向下的匀强磁场，圆弧部分无磁场，且轨道足够长；开始给 a 棒一水平向 左的的初速度 v0，金属棒 ab与轨道始终接触良好且 a棒与 b 棒始终不相碰。请问：1）当 ab 在水平部分稳定后，速度分别为多少？损失的机械能多少？a 棒已静止在水平轨道上，且 b 棒与 a 棒2）设 b 棒在水平部分稳定后，冲上圆弧轨道，返回到水平轨道前， 不相碰，然后达到新的稳定状态，最后（3）整个过程中产生的内能是多少4.（18 分）

4、如图所示， 电阻不计的两光滑金属导轨相距 L，放在水平绝缘桌面上， 半径为 R的 1/4 圆弧部分处在竖 直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。两金属棒ab、cd 垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒ab质量为 2 m，电阻为 r，棒 cd 的质量为 m，电阻为 r 。重力加速度为 g。开始棒 cd 静止在水平直导轨上，棒 ab 从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd 始终没有接触并一直向右运动， 最后两棒都离开导轨落到地面上。 棒 ab 与棒 cd 落地点到桌面边缘的水平距离之比为3: 1。求：（1）棒 ab和棒 cd 离开导轨时的速

5、度大小； （ 2）棒 cd 在水平导轨上的最大加速度； （3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热。5（20 分）如图所示， 宽度为 L 的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r 1的四分之一圆弧轨道，右端为半径为r 2的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道。水平轨道所在的区域有磁感应强度为B 的竖直向上的匀强磁场。一根质量为 m的金属杆 a 置于水平轨道上，另一根质量为 M的金属杆 b 由静止开始自左端轨道最高点滑下，当 b 滑入水平轨道某位置时， a就滑上了右端半圆轨道最高点 （b 始终运动且 a、b 未相撞），并且 a 在最高点对轨道的 压力大小为 mg，此过程中通过 a的电荷量为 q，a、b

6、棒的电阻分别为 R1、R2，其余部分电阻不计。在 b 由静止释放到 a 运动到右端半圆轨道最高点过程中，求：（ 1 ）在水平轨道上运动时 b 的最大加速度是多大？（2）自 b 释放到 a 到达右端半圆轨道最高点过程中 系统产生的焦耳热是多少？（3）a 刚到达右端半圆轨道最低点时 b 的速度是多大？6两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道，如图所示放置，间距为 d=100cm，在左端斜轨道部分高 h=1.25m 处b，杆 Ab 电阻 Ra=2 ，放置一金属杆 a，斜轨道与平直轨道以光滑圆弧连接，在平直轨道右端放置另一金属杆Rb=5 ，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感强度B=2T。现杆 b 以

7、初速度 v0=5m/s 开始向左滑动，同时 由静止释放杆 a，杆 a滑到水平轨道过程中，通过杆 b的平均电流为 0.3A ；a下滑到水平轨道后，以 a 下滑到水 平轨道时开始计时， Ab 运动图象如图所示 （a 运动方向为正 ） ，其中 ma=2kg，mb=1kg，g=10m/s2，求1）杆 a 落到水平轨道瞬间杆 a 的速度 v ；2）杆 a 在斜轨道上运动的时间；3）在整个运动过程中杆 b 产生的焦耳热。7. （12分）如图所示， 两根间距为 L的金属导轨 MN和 PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端 有宽度为 d、方向竖直向上的匀强磁场 I ，右端有另一磁场 II ，其宽

8、度也为 d，但方向竖直向下，磁场的磁感强 度大小均为 B。有两根质量均为 m、电阻均为 R 的金属棒 a 和 b 与导轨垂直放置， b 棒置于磁场 II 中点 C、D 处， 导轨除 C、 D两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a 棒从弯曲导轨某处由静止释放。 当只有一根棒作切割磁感线运动时， 它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正 比，即 vx 。求：（1）若 a棒释放的高度大于 h0，则 a 棒进入磁场 I 时会使 b棒运动，判断 b 棒的运动方向并求出 h0为多少？BNbIICIId D Q2）若将 a棒从高度小于 h0的某处释放，使其以速度

9、 v0进入磁场 I，结果 a棒以 v0 的速度从磁场 I 中穿出，求在 a 棒穿过磁场 I 过程中通过 b 棒的电量 q 和两棒即将相碰时2b 棒上的电功率 Pb 为多少？8（ 2014届海淀期末 10分）如图 21所示，两根金属平行导轨 MN和 PQ放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为 L，电阻不计。水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场，相距一段距离不重叠，磁场左边界在水 平段导轨的最左端，磁感强度大小为B，方向竖直向上；磁场的磁感应强度大小为2B，方向竖直向下。质量均为 m、电阻均为 R的金属棒 a和 b垂直导轨放置在其上，金属棒 b置于磁场的右边界 CD处。现将金属棒 a从 弯曲

10、导轨上某一高处由静止释放，使其沿导轨运动。设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。1（1）若水平段导轨粗糙，两金属棒与水平段导轨间的最大摩擦力均为1 mg，将金属棒 a 从距水平面高度 h 处由5静止释放。求：金属棒 a 刚进入磁场时，通过金属棒 b 的电流大小；若金属棒 a 在磁场内运动过程中， 金属棒 b 能在导轨上保持静止， 通过计算分析金属棒 a 释放时的高度 h 应满足的条件；（2）若水平段导轨是光滑的，将金属棒a仍从高度 h 处由静止释放，使其进入磁场。设两磁场区域足够大，求金属棒 a 在磁场内运动过程中，金属棒 b 中可能产生焦耳热的最大值。应用动量定理与动量守恒定律解决双

11、导体棒切割磁感线问题答案1. 【解析】：（12 丰台期末 12 分）1）ab棒产生的感应电动势Eab= BLv0 ，（ 1分）ab 棒中电流 I = Eab = BLv0 ，（1分）2R 2R方向由 ab （1 分）2）当 ab 棒与 cd 棒速度相同时， cd棒的速度最大，设最大速度为 v 由动量守恒定律mv0 = 2mv（1 分）1 vv0 （1分）201 2 1 2由能量守恒关系 Q mv02 （2m）v 2 （1 分）20212 Q mv02 （1 分）4033）设 ab 棒的速度为 v0 时， cd 棒的速度为 v4由动量守恒定律：3mv0 =m v0 + mv（ 1分）0 4 0v

12、= 1vv= v0 。403Eab = BL v041Ecd = BL v03BL（ v0v0）442R4I Eab Ecd2R I BLv0 （2 分）4Rcd 棒受力为 F IBL此时 cd 棒加速度为B2L2v00 （1 分） 4R22FB2L2v0am 4Rm1 分）2. 【解析】：（1）设 ab 到达圆弧底端时受到的支持力大小为N，ab 下滑机械能守恒，12有： mgRmv2 22由牛顿第二定律： N mg mv ；R联立得： N 3mg 由牛顿第三定律知：对轨道压力大小为 N 3mg 2）如图（ 2 分）（如用文字表达，正确的照样给分。如：d 到 c，或 dc）3）设 cd 离开磁

13、场时 ab 在磁场中的速度 vab，则 cd 此时的速度为 1 vab ，1 ab、cd 组成的系统动量守恒，有： mv m vab 3m vab 2ab、cd 构成的闭合回路：由法拉第电磁感应定律：E BLvab 闭合电路欧姆定律： I E 2rB2L2 2gR 安培力公式： Fab BIL 联立得 Fab 5r3. 【解析】1）对 a b 棒水平轨道分析，动量守恒；v1是稳定时 ab 棒共同速度mv0 (m M )v1-3分，v1解得mv0(m M )-1分，E损失的机械能为1 2 1 2Mmv022mv0 2(m M )v1 2(M m) -4 分2）由于 b棒在冲上又返回过程中 ,机械

14、能守恒 , 返回时速度大小不变 v2 v1 -2 分b 棒与 a 棒向右运动过程中，直到稳定，动量守恒：Mv2 (M m)v3 -3 分v3 达到新的稳定状态 a， b 的末速度 :Mmv 02(M m)2 -2 分3）整个过程中产生的内能等于系统机械能的减少量1 2 1 2Q mv0 (M m)v3 22 -3 分Q 1mv02 (1M m 3解得： 2 0 (M m)3) -2 分4. 【解析】：121）设 ab 棒进入水平导轨的速度为 v1 ，ab 棒从圆弧导轨滑下机械能守恒： 2mgR2mv12 （ 2 分）1 2 1离开导轨时，设 ab棒的速度为 v1/ ，cd 棒的速度为 v2/

15、，ab棒与 cd 棒在水平导轨上运动，动量守恒，2mv1 2mv1/ mv2/ ( 2 分)依题意 v1/ >v2/ ，两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移x vt 可知v1: v 2 =x 1:x 2=3:1 （ 2 分），联立解得/67 2gR ， v2/ 72 2gR2 分）2）ab棒刚进入水平导轨时， cd 棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，设此时回路的感应电动势为BLv （ 1 分），I 2r （ 1 分）cd 棒受到的安培力为： Fcd BIL （ 1 分）根据牛顿第二定律， cd 棒的最大加速度为： a Fcd （ 1 分） m联立解得： a B L

16、2gR （ 2 分）2mr3）根据能量守恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为：1 2 1 / 2 1 /2Q 2mv12 ( 2mv1/ 2 mv2/2 )( 2 分) 2225. 解析：( 20 分)1）由机械能守恒定律：12 Mvb21 Mgr1 vb1 2 gr1 -4 分刚滑到水平轨道时加速度最大， E=BLvb1， I R1ER2 ，由牛顿第二定律有： F 安=BIL=Ma22a B2L2 2gr1 -4 分 M (R1 R2)2）由动量定理有： -BILt=Mv b2 Mvb1，BLq 即： -BLq=Mvb2 Mvb1 vb22gr1M3）根据牛顿第三定律得： N=N?=mg，

17、 mg N1212 Mgr1Mvb22mva21 mg2r2 Q22能量守恒有 2mgr2 1 mva22 1 mv2a122动量守恒定律 Mvb1 Mvb3 mva22va1m a1r2 va12gr2 Q 2gr1 BLq 3mgr2va26gr2 3 分vb32gr1 Mm 6gr2 3 分222BLq-6 分2M/ / 22联立并代入 v1/ 和 v2/ 解得： Q mgR （ 2 分）496. 【解析】：1）v 2gh 5m/s，2）b 棒， BdI t mb v0 2 ，得t 5s3）共产生的焦耳热为 QmaghB 棒中产生的焦耳热为1mb v02 1(ma mb)v 2225 1

18、15Q161JJ66 J 19J7. 【解析】（12 分）： （ 1）根据左手定则判断知b 棒向左运动。2 分）a 棒从 h0 高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有a 棒刚进入磁场 I 时 E BLv , 此时感应电流大小1mv2EI2Rmgh0得： v 2gh0 (1 分）此时 b 棒受到的安培力大小F BIL ，依题意，有 FKmg , 求得： h02 2 22K2m2gR2 3 分)44B4L42）由于 a 棒从小于进入h0 释放，因此 b 棒在两棒相碰前将保持静止。流过电阻R的电量 qIt又因： I ER总 R总 tBSR 总 t所以在 a 棒穿过磁场 I 的过程中，通过电阻 R 的电量：,1 分）故： q B S BLd （3 分）（没有推导过程得R总 2Rv0v0 将要相碰时 a棒的速度 v v02 d v0 （1分）2 d 2 4222 此时电流： I BLv BLv0（1分），此时 b棒电功率： Pb I2R B Lv0 2R 8R b 64R8. 【解析】（ 1） a 棒从 h0高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有 解得： a 棒刚进入磁场 I 时, 此时通过 a、 b 的感应电流大小为 I E 解得： 2R a 棒刚进入磁场 I