导数与微分练习题答案

1、学而不思则惘，思而不学则殆高等数学练习题第二章导数与微分第一节导数概念一填空题f（X。-. ：x） - f （ X。）i右 f（X。）存在，则 ixm。= - f（Xo）2.若f（X。）存在,f(X。h) f (x。 h)h=_2f(X。)f (x。 3. ：x) f (x。)也X=3f (Xd).3.设 f （x。“ 2 则叫&。0一）4.已知物体的运动规律为S = t t2（米），则物体在=2秒时的瞬时速度为 5 （米/秒）5.曲线y =cosx上点法线方程为1，2）处的切线方程为3x2y_1._：0，3236.用箭头？或？表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系,可微

2、可导°连续极限存在。二、选择题1设f（。）=0,且f （。）存在，则幻(A )f(X)(B) f (0)(C) f(0)(D)f(0)2.设f （x）在x处可导，a,b为常数，则f (x a ：x) - f (x b ：x)(A )f (x)(B) (a b) f (x)(C) (a-b)f (x)(D)2 f(X)3.函数在点X。处连续是在该点X。处可导的条件（A ）充分但不是必要 要(B)必要但不是充分（C）充分必要(D)即非充分也非必24设曲线y = x x - 2在点M处的切线斜率为 3,则点M的坐标为(A ) (0,1)(B) (1,0)(C) ( 0,0)(D)(1,1)

3、5.设函数 f (x) =|si nx|，则f (x)在 x = 0处(A)不连续。(B)连续，但不可导。(C)可导，但不连续。(D)可导，且导数也连续。 2 xX V 1三、设函数f(X)=丿为了使函数f (x)在x = 1处连续且可导，aax + bx>1么值。b应取什角军：由于f(x)在x=1处连续,所以f(1-) =1二f()=a b二f(1) 即 a b = 1又f (x)在x =1处可导，所以f(iriim=2J1_x_1有故求得jax b -(a b)f *1) = lim = ax _1a = 2， b = T a =2， b = T四、如果f (x)为偶函数，且f (0

4、)存在，证明f (0)=0。解:由于f(X)是偶函数，所以有 f(x)=f(-x)f(or 呵=limx )0f(x)- f(0)x -0f (-x)-f(0)x -0f(t)-f (0)_tf (0)2f(0) = 0，故五、证明：双曲线xy =a2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。2a2x在任意(X。, yo)处的切线方程为y - yo2a 二(X _ x。) Xo则该切线与两坐标轴的交点为:(0単)和(2xo,O)x。所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为A = 1 丝2x = 2a2，（ a是已知常数） 2 Xo故其值为定值第二节求导法则一、填空题1. y = (2 s

5、ecx)sin x,2y = tan x 2cosx 1.sinxy = cosxey 二 arccos(x2 x) , y:-2x x,1 - (X2 x)22. y =cos(2ex) , y = -2exsin(2ex)；03 P = In tan , P "= cs旳；2 4. w = ln(sect tan t), w = sect .sin2x2xcos2x - sin2xy =， y =xxr=xlog2x In 2, r = log2 x log2e5.)=厂x26.ln tan ；=;(In (x已 知 y = I x nx(),则1.已知y=sin x则Fxy =

6、(A)xsi nXcosx(B)xcos xsin x2 x2 x2已知y=sin x1 cosxC(A )cosx -1(B)1 cosx2cosx 12cosx -13已知xy = s e eA(A )xx ,e sece tanx ex tx(B) sece tane、选择题4. B (C)sin xxsin x(D) x322cos x - x sin xx,则y=(C)1(D)2 cosx -11 cosx1 cosxc则y=.xx x , x(C) tan e(D) e cot e学而不思则惘，思而不学则殆(A )1(B)1x2(C)XJ X2(D)X2-11 x25.已知y =I

7、n c x o，t则y| jtx-2.L4D(A)1（B）2（C）-1/2(D)-26.已知1 -X则yy -1 X B（A）2(B)-2(C)2x(D)-2x2(X 1)2(X 1)2(X 1)2(X 1)三、计算下列函数的导数:(1) y=ln( + Vln xy = tan (I n x)解:y" 31(I nx3)-x解:y' = seC I nc) x1 1y(In x)3x 3-2 1sec(ln x) x.sin21v(4 ) y = sec (In x)解：u = e.sin2!v11(-2 sincos-vv(-2)v解:y1 =3seC(l rx)sec(

8、xn t a n (Ixn 1x解:1 . 2 sin ev-sin2!v=In (x 、1 -x2)1 -x2(x 1 - X2)'解：y3 se c( I rx)t a n ( xn xy = arcta n1 -x(S)1 F)2 1 X-1x1 x2=(1r=)X * 1 - X21 - X2J1 _x2 _x.1 -X2(X 1 - X2 )学而不思则惘，思而不学则殆四、设f(x)可导，求下列函数 y的导数dydx(1) y=f(e =d sint4设t= e cost dy3.设由方程x-y siyn= 0所确定的隐函数为y二y(x)，贝U-)ef(x)解：y'=

9、f'(ex) ex ef(x)f(ex) ef(x) f'(x)=ef(x)exf'(ex)f'(x)f(ex) y = arctan f (x)1解：寸 爲 f'(x)1 + f (x)=f'(x)21 f (x) y = f (sindx x)f (cos2 x)2解: y'= f'(sin x)2sinxcosx2f '(cos x)(2cosx (_sin x)=sin 2x( f '(sin2 x) - f '(cos2 x) y = f (sin x) sin f (x)解：y= f'(

10、sinx)cosx cos(f(x) f'(x)二cosx'(sinx) f'(x)cos(f (x)第三节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、填空题1 .设 y = 1 - xey，则 yey2yx yx y2.设 r = tanr)，贝U r = -csc r)3. 设 ln . x2y2dy dxody cost-sint dx sint cost、选择题1由方程si ny，xey=0所确定的曲线y = y(x)在(o, 0)点处的切线斜率为A 11(A )-1(B) 1(C)(D)222. 设由方程xy2 =2所确定的隐函数为y 二 y(x)， 则dyA (

11、A )-y dxy(B)dx(C)-ydx(D)ydx2x2xxx学而不思则惘，思而不学则殆22(A )2 -cosy(B) 2 sin y(C)2 cosy(D)2 -cosx4.设由方程丿a(t - Sint)所确定的函数为y = y(x) y = a(1 - cost)则在jit:2处的导数为(A)-1(B) 1(C) 0(D)5.设由方程 xy=In1t2二 arctant所确定的函数为y = y(x)，则dydx2t(B)(D)t.三、求下列函数的导数dydx1.x3y3 =a3r3.x = acos t2. 3 .y = as in t解:方程两边同时对x求导，得23asin tc

12、ost'-3a cos21 sin t-ta n t2y，=0xc丄 233. y x yyex 1=04.xsin x , 1 - ex解：方程两边同时对x求导，得1In y In x Insinx 2 21 ln(1 -ex)4y 2xy33( 2y2XiXy ye ye 0= l + _cosx +y 2x 2sinx 4(1-ex)2xy3 yex1 3x2y2 exx学而不思则惘，思而不学则殆y'二 xsinx 1 -ex ( 2cotx - 2x4(1 ex)四、求曲线丿 -exsin 日 +1 = 0y 日3 2日=0在V -0处的切线方程，法线方程解:dy =

13、(3二22)ddx - exdx sin ex cosd)- 0dx=u竺,从而史=(3宀2!(1去川)1 -e sindxe cost, y"半dx故切线方程为y = 2e( x 1)法线方程为y八舟（x i）第四节高阶导数一、填空题.设 r = ©cos©，贝H r "=coS ©sin© ,=一 2sin©coS .2.设 y =ln(x1 x2),则 y =xJ1 十 x2，y -2 3/2(1 + x )rdydtd2ydt23 若 y = f (t2),且 f (t)存在，则=2tf«),=2f'

14、;(t2) + 4t2f''(t2)4.设y=1 - xey，则ey2 yy=e2y(3 -5.设*X 二 f(t)=t - arctgt且dydx 2，则n2x-4 r6.设 y = x e ,则y(n) = n!+2ney) (2y)3d2y V_t22 = ° dx 4t2x A7设 f(x) =x(x 1)(x 2)(x2001)，则 f (0) = - 2001!.、选择题(A) 2Inx(B) 2ln x 1(C) 2In x 22.设 y = f (u),= ex,则 d-ydx22x22(A) e f (u)(B) u f (u) uf (u)(C)

15、e f (u)D (D) 2ln x 3B (D) u f (u) uf (u)3. 设 y 二 sin2 x则 y(n)二(A) 2nlsin2x (n -1) 2(C) 2n 1 sin2x (n 1)24. 设 y = xex,则 y(n)=(A) ex (x n)A (B) 2ncos2x (n -1) 2(D) 2nsin2x (n -1)2A x,、X,、nx(B) e (x-n)(C) 2e (x n)(D) xe、设f “(x)存在，求下列函数y的二阶导数d2y dx2解:dy 1 dx f(x)f'(x)二f'(x)f(x)1. y = f(ex)解：凹=f&

16、#39;(ex) ex dx学二 f''(ex) e2xf'(ex) exd x2 2d y f''(x)f(x) f'(x)2 2d xf(x)四、求下列函数y的二阶导数d2ydx2rry =2x2 2y2(x-y)3五、设y1 ，求y(n)2x 3解：y (2x-3)222(2x -3)3III(-2)(-3)23(2x-3)4一 (-2)(-3)(-4)24(2x-3)5依此类推，得y(n)十1)n2n n!(2x-3)n 1bcostb解：ycott-asi ntad2yb1b2(COt t)23dx a-asint-a sin t2.

17、arctan y = In . x2y2x解:方程两边同时对x求导，得y' x - y 二 x yy(1 y )X - y -)x( yx y(x-y)2第五节函数的微分已知y = x2 - x，计算在x = 2处(1)当 叹二 0.1 时，y = 0.31， dy = 0.3(2)当 x =0.001 时，y = 0.003001 , dy = 0.003。兀21f(x)二 J 12 1(1)函数y希cse x在-处的一次近似式为(2)函数 y = ecosd _1)在 x = 0处的一次近似式为 f (x) ： cos1-(cos1-sin1)xA(3)计算近似值-83 ：“ 3

18、54三.填空(求函数的微分)1、d(2v2sinv) = (“si"cos )d=2、 d(ln(cos . x)= - tan x d . x2 23、d(ln (1 -x)= ln(4 - x)dxx 124、d(ln secx tan x) = (tan x sec x)dx15、d (f (arctan )= x112 f'(arctan)dx1 xxd(sin x) d (cos x)-co lxxc o sx- s i n2x3-d /369、3 (x -2x x )=dx四将适当的函数填入下列括号内，使等号成立。8、1 - 4x3 3x6(1). xdx 二 d (2x23c );(2). sin(3x -2)dx二 d( -1 cos(3x -2) c3);232(3). (3x 2x)dx = d( x x c);-2x .|(4). e dx = d(-2xc );1xdx=d( arctan caa);1.dx = d(2x 3An (2x 3) c2);X22(7). e