同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)

1、学习资料收集于网络，仅供参考课程名称：高等数学试卷类别： A 卷考试形式：闭卷考试时间： 120分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称： 高等数学A （考试性质： 期末统考（ A 卷）题号（型）一二三四核分人得 分总分评卷人一 、 单选题（共 15分，每小题 3 分）C1设函数 f ( x, y) 在 P(x0, y0 ) 的两个偏导 fx (x0, y0 ) ， f y ( x0 , y0 )都存在， 则()A f ( x, y) 在 P 连续B f (

2、x, y) 在 P 可微C limf ( x, y0 ) 及 limf (x0 , y) 都存在Dlimf ( x, y) 存在xx0yy0( x, y) (x0 , y0 )D2若 zyln x ，则 dz 等于（）A. yln x ln y yln x ln yB. yln x ln yxyxC . yln xln ydxyln x ln yyln x ln yyln x ln xxdyD .dxdyxyC3设是圆柱面 x2y22x 及平面 z 0, z1所围成的区域，则f ( x, y, z)dxdydz(）A.2 d2cosdr1, z) dzB.2 d2cos10f (r cos ,

3、 r sinrdrf (r cos , r sin , z)dz00000C .2 d2 cos1f (r cos, r sin , z)dzD .d2 cosx1, z) dz0rdr0rdrf ( r cos , r sin2000B4 4若an (x1)n 在 x1处收敛，则此级数在x2 处（）n1A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 敛散性不能确定A5曲线xyz2） .zx2y2 在点（ 1， 1， 2）处的一个切线方向向量为（A. （ -1， 3， 4）B. （ 3，-1， 4）C. （ -1， 0， 3）D. （ 3， 0， -1）二、填空题（共15 分，每小题 3 分）学习资料学习

4、资料收集于网络，仅供参考1设 x2 y2xyz0 ，则 zx ' (1,1)-1.eln xI_ I1ef ( x, y)dx _ 2交 换I1dx0f ( x, y)dy 的积分次序后，0dyey3设 u2xyz2 ，则 u 在点 M (2,1,1) 处的梯度为2 i4 j 2 k.4.已知 exxn，则 xex(1)n xn 1.n!n 0n!n05.函数 zx3y33x23y2 的极小值点是(2,2).三、解答题（共54 分，每小题6-7 分）1.（本小题满分6 分）设 zy arctan y ,求z ,z .xxy解： zx2y2y2;(3分)xz=arctanyxyyx+ x

5、2y 22.（本小题满分6 分）求椭球面 2x23y2z29 的平行于平面 2x 3 y 2z 10 的切平面方程，并求切点处的法线方程 .解：记切点( x0 , y0 , z0 ) 则切平面的法向量为n 2(2 x0,3 y0 , z0 ) 满足： 2x03y0z0，切点为： (1, 1,2) 或 ( 1,1, 2) (3232分 ) ，切平面： 2x 3y 2z9or9( 4 分) ， 法线方程分别为： x 1y 1 z 2 或者 x 1y 1 z 2 ( 6分)2322323. （本小题满分 7 分）求函数 zx2y2在点 (1,2) 处沿向量 l1 i3 j 方向的方向导数。22解：

6、f (1,2)(2,4)(3分),f (1,2)(7分)1 2 3l学习资料学习资料收集于网络，仅供参考14. （本小题满分 7 分）将 f ( x)展开成 x3 的幂级数，并求收敛域。x1=11,(2分)解： f ( x)3(x 3)3 1x3()3因为(1)n xn1， x( 1,1), 所以n 01x11( 1) n 1 ( x 3) n = ( 1) n (1) n 1 ( x 3) n , 其中 1x 3 1，即 0 x 6 . ( 53(x 3n 033n 0331)分)3当 x0时，级数为1 发散；当 x6 时，级数为( 1) n1发散,故n 0 3n 031 =( 1)n (

7、1) n 1 ( x3) n， x(0,6)， ( 7 分)xn 035（本小题满分7 分）求由方程2x 22y 2z28 yzz80 所确定的隐函数 zz( x, y) 的极值。z4x0x1 2z8y解： 由,得到 x0 与 y 2z 0,(2分)z4(y2z)0y1 2z8y再代入 2x222z28yz z80，得到7 z2z80 即 z8。y1,7由此可知隐函数2由 2z4，x1 2z8y在 (0,2) 点， zzz( x, y) 的驻点为 (0, 2) 与 (0, 16 ) 。 (4 分 )72 z0 ，2z24，可知在驻点 (0, 2)与 (0,16)有 H 0。( 5分 )x yy

8、 1 2z 8y71，因此2 z40 ，所以 (0, 2) 为极小值点，极小值为 z1；( 6 分)215x在 (0, 16) 点，z8 ，因此2 z40 ，所以 (0, 16 ) 为极大值点，极大值为 z877x21577， ( 7学习资料学习资料收集于网络，仅供参考6（本小题满分7 分）计算二重积分( x2y 2 )d, D 由曲线 x1y 2 , y1, y 1 及 x2围成.D2x02解：记D11yx0，则 DD1D2. （2 分） 故:yD 2 :111 y1( x2y 2 )d( x2y 2 )d( x2y 2 )d( 4分)DD1D2dy(x2y 2 )dx3r 3dr202 d

9、101122034（7 分）7.（本小题满分7 分）利用格林公式计算xy 2dy x 2 ydx，其中 L 是圆周 x2y 2a 2 （按逆时针方向） .L8. （本小题满分7 分）计算xydxdydz ，其中是由柱面x2y21 及平面 z1, x0, y0 所围成且在第一卦限内的区域.四、综合题（共16 分，每小题 8 分）学习资料学习资料收集于网络，仅供参考1（本小题满分8 分）设级数un ,vn 都收敛，证明级数(unvn ) 2 收敛。n 1n 1n 12（本小题满分8 分）设函数f ( x, y) 在 R2 内具有一阶连续偏导数，且f2x ，x证明曲线积分2xydxf ( x, y)

10、 dy 与路径无关若对任意的t 恒有L( t ,1)f (x, y) dy(1,t )2xydx2xydx f ( x, y) dy ，求 f (x, y) 的表达式(0,0)(0,0)参考答案及评分标准一、单选题（共15 分，每小题3 分）： 1.C2 D3 C4B5 A二、填空题（共15 分，每小题3 分）(nxn 1I1e1)1.-1 2.0dyey f (x, y)dx3.2 i4 j2 k4n 0n!5. (2,2)三、解答题（共54 分，每小题6-7分）1解：zy2分 )xx 2; (3y 2z = arctan y+xy(6分).yxx 2y 22.解：记切点 (x0 , y0

11、, z0 )则切平面的法向量为n2(2x0 ,3 y0 , z0 )2x03y0z0，切点为：(1,1,2) 或满足：322(1,1,2)(3分 ) ， 切 平 面 ： 2x3y2z9or9 (4分 ) ，法 线 方 程 分 别 为 ： x1 y 1z2 或 者x1y1z2 ( 6232分 )2323. 解：f (1,2)(2,4)( 3 分 ),f (1,2)123(7分)l111, (2分)4. 解： f ( x)=x3 (x3) 313()3学习资料学习资料收集于网络，仅供参考因为( 1)n xn1， x (1,1), 所以 11( 1)n 1 ( x 3) n =( 1) n ( 1)

12、 n 1 ( x 3) n, 其中n 01 x3 1 ( x 3)n 033n 0331 x 3 1 ，即 0 x6.(5分)3当x时，级数为1 发散；当x时，级数为(1)n1发散,故1=(1)n(1n 1( x 3)n0n 0 363x)， x (0, 6) ，n0n 03(7 分)z4x0x12z8y5. 解：由,得到 x0 与 y 2z0,(2分)z4( y2z)0y12z8y再代入222282xyz8yzz80，得到 7 zz 80 即 z1,。27与 (0,16)。 (4由此可知隐函数zz(x, y) 的驻点为 (0,2)分 )2z2 z2z7由4，0，4，可知在驻点 (0,2) 与

13、 (0,16)有 H0。(5 分)x21 2z 8yx yy2 1 2z 8y7在 (0,2) 点， z 1，因此2 z40，所以 (0,2) 为极小值点，极小值为z1；( 6 分)x215在 (0, 16 ) 点， z8，因此2 z40 ，所以 (0, 16) 为极大值点，极大值为z8， ( 7分)77x215772x01y2x0，则 D6. 解：记 D1 :D2 :D1D2. （2 分） 故1y111y( x2y 2 )d( x2y 2 )d( x2y 2 )d(4 分)DD1D21dy0(x2y 2 )dx3r 3dr20（7 分）2 d11220347.解 ：L所围区域D： x2y2a

14、 2,由格林公式，可得Lxy 2 d yx 2 y d x =2)2y)222 4( xy( x2a(xy)dxdy =( xy)dxdy =d0rr d ra.(7分 )DD02学习资料学习资料收集于网络，仅供参考8.解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，1 dz1 r coszxydxdydz2 dr sinr dr(4 分)0001r 4 1 1sin 2 d13dr =(cos221分 )O= 20r). (70 2404 081y四、综合题（共16 分，每小题 8 分）1证明：因为 lim un0, lim vn0，（2 分）xnn0z1,: 0, 所以0r21,故存在 N，当 nN 时， (unvn )2un2vn22unvn3un ，因此(unvn )2 收敛。（8 分）n12证明：因为f(2xy)2x ，故曲线积分2xydx f ( x, y)dy 与路径无关（4 分）2x ，且Lxy因此设 f ( x,