反比例函数与一次函数的综合应用

1、.反比例函数与一次函数1、反比例函数与一次函数的比较函数正比例函数反比例函数解析式y kx k 0yk k是常数， k 0x图象形状直线双曲线K>0位置第一、三象限第一、三象限增减性y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小K<0位置第二、四象限第二、四象限增减性y 随 x 的增大而减小y 随 x 的增大而增大举一反三 ：1.函数 y=-x 与 y= 1 在同一直角坐标系中的图象是（）x2.当 k>0 时，反比例函数yk和一次函数 y=kx-k 的图象大致为（）xyyyyOxOxOxOxABCD3.已知关于 x 的函数 y=k（ x+1）和 y=- k （k0）它们在同

2、一坐标系中的大致图象是（? ）x4.函数 y ax a 与 ya （ a 0）在同一坐标系中的图象可能是（）x;.5.k0 时， y 随 x 的增大而增大，则y kxk 的大致图象为（）已知函数 y中， xxyyyyOxOxOxOxABCD图 52、反比例函数与一次函数交点反比例函数与一次函数交点分两种情况：有两个，或者没有练习题：1.在函数 y=1 与函数 y=x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（）xA1 个B2 个C3 个D0 个2.已知正比例函数y1k1 x 和反比例函授 y2k2的图像都经过点（2， 1），则 k1 、 k2 的值分别为（）xA k1= 1 ， k2= 1B

3、k1=2， k2 = 1C k1 =2， k2 =2D k1 = 1 ， k2 =222223.反比例函数 yky2x 图像的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（）与正比例函数x4444-4 -2224-4-22424-2-224-4-4-2-2-2-2-4-4-4-4ABCD4.已知关于 x 的一次函数 y=kx+1 和反比例函数y=6 的图象都经过点 （ 2，m），则一次函数的解析式是_x5.已知一次函数 y=2x5 的图象与反比例函数kP（ a,3a），则这个反比例y=(k 的0)图象交于第四象限的一点x函数的关系式为。6.若函数 y(2m1)x 与 y3m 的图象交于第一、

4、三象限，则m 的取值范围是x7.若一次函数y=x+b 与反比例函数y= k 图象，在第二象限内有两个交点，?则 k_0，b_0 ，（用 “>、”“<、”x“”填空）3、求一次函数和反比例函数的关系式.例：如图，反比例函数yky axb 的图象交于 M、 N 两点。的图象与一次函数x（1）求反比例函数和一次函数的解析式。;.（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围。解：（ 1）将点 N（ 1， 4）代入 yk，得 k=4x反比例函数的解析式为4yx又 M边在 y4上x m=2由 M、N 都在直线yaxb ，由两点式可知：ab4，解得 a2, b22ab2yM

5、（2，m）oxN（-1，-4）一次函数的解析式为y2x2（ 2）由图象可知当 x1和0x 2时 ，反比例函数的值大于一次函数的值举一反三 ：1.如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数m的图象相交于A， B 两点。yx（ 1）求反比例函数与一次函数的表达式（2）根据图象求出一次函数大于反比例函数的值时x 的取值范围。2.如图所示 ,已知一次函数y=kx+b(k 的0)图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A,B 两点 ,且与反比例函数 y=m(m0)x的图象在第一象限交于C 点 ,CD x 轴 , 垂足为 D,若 OA=OB=OD=1.求 (1)点 A,B,D 坐标；（ 2）一次函数与反比

6、例函数的解析式。3.如图，反比例函数y4的图象与直线 y1 x 的交点为 A ， B ，过点 A 作 y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点Cx1AB42 ABC。求（）点的坐标；（）的面积。、4.如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 ym的图象交于 A( 21)， B(1， n) 两点x（ 1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（ 2）求 AOB 的面积5.已知一次函数 ykxb 的图像与反比例函数y8B 的纵坐的图像交于 A、B 两点，且点 A 的横坐标和点x标都是 2 ， 求（ 1）一次函数的解析式； （ 2） AOB 的面积yyAOACxOxBB第 2题图第3题

7、图第 4题图第5题图第 1题图;.4、实际问题与反比例函数用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式） ，这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。（ 1）由题意列关系式例：某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P（千帕） 是气体体积 V（立方米） 的反比例函数， 其图像如图所示 （千帕是一种压强

8、单位）（ 1）写出这个函数的解析式；（ 2）当气球的体积是 0.8 立方米时，气球内的气压是多少千帕？（ 3）当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？分析：（ 1）题中已知变量P 与 V 是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得 P96，（ 2）当 v 8m3 时代入 P 96 得 P 120 千帕；（ 3）问中当 P 大于 144 千帕时，气球会爆炸，即Vv当 P不超过144 千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P 随 V 的增大而减小，可先求出气压P 144千帕时所对应的气体体积，再分析出最

9、后结果是不小于2 立方米3举一反三 ：1京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（ h）与行驶的平均速度 v（ km/h ）之间的函数关系式为2完成某项任务可获得500 元报酬，考虑由x 人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式3）是它的体积 V（ m3 ）的反比例函数，当3一定质量的氧气，它的密度（ kg/mV10 时，1.43，（ 1）求 与 V 的函数关系式； （ 2）求当 V 2 时氧气的密度4.小林家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米 / 分），所需时间为t（分）（ 1）则速度

10、 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？（ 2）若小林到单位用15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（ 2）如果小林骑车的速度最快为300 米 / 分，那他至少需要几分钟到达单位？5学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6 吨计算，一学期（按150 天计算）刚好用完 .若每天的耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天（ 1）则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？（ 2）画函数图象（ 3）若每天节约 0.1吨，则这批煤能维持多少天？（ 2）利用图象列关系式例：为了预防疾病， 某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时， 室内每立方米空气中的含药量y(毫克

11、)与时间 x(分钟 )成为正比例 ,药物燃烧后， y 与 x 成反比例 (如图 )，现测得药物8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6 毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：(1) 药物燃烧时，y 关于 x的函数关系式为,自变量 x的取值范为；药物燃烧后， y 关于 x 的函数关系式为.(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，员工才能回到办公室；;.(3)研究表明， 当空气中每立方米的含药量不低于3 毫克且持续时间不低于10 分钟时， 才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效 ?为什么 ?分析：（ 1）

12、药物燃烧时， 由图象可知函数y 是 x 的正比例函数， 设 yk1x ，将点（ 8，6）代人解析式， 求得 y3 x ，4自变量 0 x 8；药物燃烧后，由图象看出y 是 x 的反比例函数，设 yk2 ，用待定系数法求得 y48xx（ 2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量 y1.6 代入 y48y 随时间 x 的增大而减小， 求得，求出 x30，根据反比例函数的图象与性质知药含量30 分钟x时间至少要（ 3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y 3 时，代入 y3 x 中，得 x 4，即当药物燃烧4 分钟时，药448含量达到 3

13、，毫克；药物燃烧后， 药含量由最高 6 毫克逐渐减少， 其间还能达到 3 毫克，所以当 y 3 时，代入 yx得 x 16，持续时间为16 4 1210，因此消毒有效举一反三 ：1某厂现有 300 吨煤，这些煤能烧的天数y 与平均每天烧的吨数 x 之间的函数关系是（）3 0 0300（ x 0）C y 300x（ x0）D y300x（ x0）A y（ x 0）B yxx2已知甲、乙两地相距s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）与汽车的行驶速度v（千米 / 时）的函数图象大致是（）3一场暴雨过后，一洼地存雨水20 米 3，

14、如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a 米 3/ 分，且排水时间为5 10分钟（ 1）试写出 t 与 a 的函数关系式，并指出a 的取值范围；（ 2）请画出函数图象（ 3）根据图象回答：当排水量为3 米 3/ 分时，排水的时间需要多长？4某学校接受3600 册的捐赠图书，分给x 名学生，平均每名学生分得的图书册数为y 册。（ 1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（ 2）如果学生为 720 名，平均每人分得图书多少册？5某空调厂的装配车间计划组装9 000 台空调 ,（ 1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台 / 天）与生产的时间t （单位：天）之间有怎样的函数关系？（ 2）原计划

15、用两个月时间（每月以30 天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10 天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？6小明家离学校 1.5km ，小明步行上学需x min ，那么小明步行速度 y(m / min) 可以表示为 y 1500 ；水平地面上x重 1500N 的物体，与地面的接触面积为x m2，那么该物体对地面压强y (N / m2 ) 可以表示为 y1500 ；，函x;.数关系式1500 还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1 例yx7有一容量为180 升的太阳能热水器，设其工作时间为y（分），每分钟的排水量为x（升）。（ 1）写出 y 与 x 之间的函数

16、关系式；（ 2）若热水器可连续工作的最长时间为1 小时，求自变量x 的取值范围；（ 3）若每分钟排放热水4 升，则热水器不断工作的时间为多少？课堂检测 （一）一、选择题（每小题 3 分，计 18 分）y1、下列函数是反比例函数的是()A、 y= xB、 y=6C、 y=x2+2xD、 y=4x+833xOx2、如图，这是函数（）的大致图像。A、 y=-5xB、y=2x+853第2题图C、 y=D、 y=xx3、如图，函数 yk (x1)与 yk）在同一坐标系中，图象只能是下图中的（x4、已知反比例函数yk k 0的图象上有两点A（ x1 , y1 ）、B（ x2 , y2 ），且 x1x2 ，

17、则 y1y2 的值是（）xA、正数B、负数C、非负数D、不能确定5、在电压一定时，通过用电器的电流与用电器的电阻之间成（）A、正比例B、反比例C、一次函数D、无法确定k6、函数 ykx 与y0 ）的图象的交点个数是（x （ k）A.、 2B、 1C、 0D、不确定二、填空题（每小题4 分，计 32 分）7、一般地，函数是反比例函数，其图象是，当 k0 时，图象两支在象限内。28、反比例函数y=x，当 y=6 时， x_。9、若正比例函数y=mx (m 0)和反比例函数y= n(n 0)的图象有一个交点为点(2,3)，则 m=_， n=_ .x;.10、若反比例函数y=(2m-1) xm22 的

18、图象在第一、三象限,则函数的解析式为 _.11、反比例函数的图像过点（3， 5），则它的解析式为 _。12、在函数 yk 22（ k 为常数）的图象上有三个点（-2， y1 ），(-1 ， y2 )，（1 ， y3 ），函数值 y1 ， y2 ， y3x2的大小为；13、函数 y=2 的图象，在同一直角坐标系内，如果将直线y=x+1 沿 y 轴向上平移2 个单位后，那么所得直线与函x数 y= 2 的图象的交点共有个x14、老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质，甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：y 随 x 的增大而减小；丁：当x2 时， y0。已知

19、这四人叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 _。三、解答题（共 50 分）15、（ 6分）反比例函数yk 的图象经过点A(2, 3) .x（ 1）求这个函数的解析式；（ 2）请判断点 B (1,6) 是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.16、（ 9 分）作出函数 y8的图象，并根据图象回答下列问题：x（第 19 题图）（ 1）当 x4 时，求 y 的值 .（ 2）当 2y 3 时，求 x 的取值范围 .（ 3）当3x 2时，求 y 的取值范围 .17、（ 8分）若正比例函数yax 的图象与反比例函数y6a 的图象有一个交点的横坐标是1.求（ 1）两个函数x的解析式 .（2）它们

20、两个交点的坐标 .2m5n18、（ 8分）已知关于 x 的一次函数y mx 3nyx图象都经过点 (1, 2)，求这个一次函数和反比例函数与反比例函数的解析式19、（ 9 分）如图，正比例函数ykx b k 0与反比例函数1y的图象相交于 A、 C 两点，过 A 作 x 轴的垂线x于 B，连接 BC，求 ABC的面积20、（ 10 分）在压力不变的情况下，某物承受的压强P（ Pa）是它的受力面积S（ m2）的反比例函数，其图象如右图所示.（ 1）求 P 与 S 之间的函数关系式；（ 2）求当 S=0.5m 2 时物体所受的压强 P.（第 20 题图）;.课堂检测（二）一、选择题（每小题3 分，

21、计 18 分）k的图象过点（ 3， -7），那么它一定还经过点（）1、若函数 yxA、（ 3， 7）B、（ -3， -7）C、（-3， 7）D、（ 2， -7）2、反比例函数 y12m0 时， y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范围是（）（ m 为常数）当 xxA、 m 0111B、 mC、 mD、 m2223、若点 (x1 ,y1),(x2,y2),(x3,y3)都是反比例函数y=-1 的图象上的点 ,并且 x1<0<x2<x3,则下列各式中正确的是( )xA、 y1<y 2<y3B、 y2<y3 <y1C、 y3<y2<y1D、 y

22、1<y3<y24、如图 ,已知关于 x 的函数 y=k(x-1)和 y=-k)(k 0),它们在同一坐标系内的图象大致是(yxyyOxOxOxOxABCD5、已知力F 所做的功是15 焦 ,则力 F 与物体在力的方向上通过的距离S 的图象大致是如图中的();.6、下面关于反比例函数的意义或性质的综述，错误的是()A 、自变量 x 扩大 (或缩小 )几倍，函数 y 反而缩小 (或扩大 )几倍B、反比例函数是形如k(k 是常数， k 0)的函数yxC、若 x 与 y 的积是一个常数，则y 是 x 的反比例函数D 、当 k 0 时， y 随 x 的增大反而减小二、填空题（每小题4 分，计

23、 32 分）7、如果点（ 3， 1）在反比例函数y= k 的图象上，则y 与 x 之间的函数关系 _kx8、已知反比例函数k0的图象经过点（2， 3），则 k 的值是 _,图象在 _象限，当 x>0 时，yxy 随 x 的减小而 _.9、已知反比例函数y1，当 m时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m时，其(3m2) x图象在每个象限内y 随 x 的增大而增大；10、已知 P1( x1 , y1), P2 ( x2 , y2 ) 是反比例函数 yk,则 k_。(k 图0)象上的两点 ,且 x1 x2 <0 时 , y1 y2x11、已知正比例函数y=kx(k 0),y随 x 的增大而减小 ,那么反比例函数 y= k ,当 x< 0 时 ,y 随 x 的增大而 _.x12、已知 y1 与 x 成正比例 (比例系数为k1),y2 与 x 成反比例 (比例系数为 k2),若函数 y=y1+y2 的图象经过点 (1,2),(2, 1),2则 8k1+5k2 的值为 _.13、若 m 1，则下列函数：ym x 0; y =mx+1; y = mx; y =(m + 1)x 中， y 随