含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题

1、精品文档含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 x2 项的系数 a 的符号分类，即a0, a 0, a0 ;例 1解不等式： ax 2a2 x1 0分析： 本题二次项系数含有参数，a2 24aa 24 0 ，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：a 2 24a a 24 0解得方程ax 2a2 x10 两根 x1a2a 24 , x2a2 a242a2a当 a0 时,解集为x | xa2a24 或 xa2a 242a2a当 a0时，不等式为2x10, 解集为x | x12当 a0时, 解集为x |a2a 24xa2a 242a2a例 2 解不等式 ax25ax

2、6a 0 a 0分析 因为 a0 ，0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解a(x 25x6)a x2 x30当 a0 时，解集为x | x2或 x3 ；当 a0 时，解集为x | 2x3变式：解关于x 的不等式1、 (x 2)(ax2) 0；3、 ax2( a 1) x 1<0( aR)21(1)当a时，,或x1(1)当 a0时 , x |x20 x | xaa( 2)当a时，1(2)当 a0时 , x | x 20 x | x12当a时，x(3)当0a 1时 , x | x2, 或 x(3)01 x |1aa( 4)当a时，(4)当 a1时, x | x 2112(5)当a时，x1

3、(5)当 a1时, x | x, 或 x 21 x |aa二、按判别式的符号分类，即0,0,0 ；例 3 解不等式 x 2ax40。1欢迎下载精品文档分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑与根的情况。解： a 216当 a4,4 即0 时，解集为 R ；当a4即 0 时，解集为且a；x xRx2当 a4 或 a4 即0 , 此时两根分别为 x1aa 216aa 216x2 ,2， x22，显然 x1不等式的解集为x xaa216 或x aa 21622例 4 解不等式 m21 x 24x1 0 m R解 因 m21 0,( 4)24 m 21 4 3 m2所以当 m3，即0 时

4、，解集为x | x1；2当3m3 ，即0时，解集为x x2 3m2或x 23m2；m21m21当 m3或 m3 ，即0 时，解集为 R。变式：解关于x 的不等式：ax2x10当a时，114a或x114a(1)0 x | x2a,2a当a时，1(2)0 x | x当0a1 时，114ax114a(3) x |2a2a4当a1 时，(4)4三、按方程ax 2bxc0 的根 x1 , x2 的大小来分类，即x1x2 , x1x2 , x1x2 ；例 5解不等式x 2(a1 )x 1 0 (a 0)a分析： 此不等式可以分解为：xa (x1 ) 0，故对应的方程必有两解。本题a只需讨论两根的大小即可。

5、2欢迎下载精品文档解： 原不等式可化为： xa ( x1) 0 ，令 a1，可得： a1aa当 a 1 或 0 a 1时， a1x | a x1，故原不等式的解集为；aa1当 a1 或 a1 时， a, 可得其解集为；a当 1 a0 或 a1 时 , a1, 解集为x | 1x a 。aa例 6 解不等式x25ax6 20， a0a分析 此不等式5224a2a20 ，又不等式可分解为x2a (x3a) 0，故只需比较两根a2a与 3a 的大小 .解 原不等式可化为：x2a ( x3a)0 ，对应方程x 2a ( x3a) 0 的两根为x12a, x23a ，当 a f 0 时，即 2a p 3

6、a ，解集为 x | x3a或 x2a；当 a0 时，即 2a f 3a ，解集为x | x2a或x3a7、若关于 x 的不等式 (2 x 1) 2 ax2 的解集中的整数恰有3 个，求实数 a 的取值范围。（ 25a49 x2916【解析】不等式可化为 (4 ) 4 1 0 ，由于原不等式的解集中的整数恰有3 个，所以ax4 a0，解得 0 a 4，故由得1x1，又 111 ，所以解集中的164(4 a)220a2a4a23 个整数必为 1,2,3，所以 31 4，解得25 a 492a916一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的两种解法(1) 分离参数法 . 把

7、所求参数与自变量分离 , 转化为求具体函数的最值问题 .(2) 不等式组法 . 借助二次函数的图象性质 , 列不等式组求解 .例 1. 设函数 f ( x)ax 22x2 ，对于满足1<x<4 的一切 x 值，都有 f(x)>0，求实数 a 的取值范围 .【解析】法一：当a>0 时， f (x)a( x1) 221，由 x (1,4)， f(x)>0得aa111414a1或或aaf (1)a22 0f ( 1 )210f (4) 16a8 2 0aa。3欢迎下载精品文档a11a1a144 ，所以 a1 或 1a 1，即 a1所以或1或。a0aa32228当 a&l

8、t;0 时，当 a=0 时，f (1)a 220;f (4)16a8，解得 a2 0f ( x)2x2 ,f(1)=0,f(4)=-6,不合题意 .综上可得，实数a 的取值范围是a1。 .2法二：由 f(x)>0,即 ax22 x20 ,x (1,4)，则有 a22x2在(1 ，4) 上恒成立 .x令 g (x)222(11 ) 21，1( 1,1)g( x)maxg (2)1，x2xx22x42所以要使 f(x)>0在 (1,4)上恒成立，只要1即可 .1a故 a 的取值范围为 a.222. 已知函数f (x)x3bx2cx1在区间 ( ， 2 上单调递增，在区间 2,2 上单调

9、递减，且b 0.(1) 求 f(x) 的表达式；(2) 设 0<m 2，若对任意的x1、 x2 m 2， m不等式 |f(x1) f(x2)| 16m恒成立，求实数 m的最小值解析(1) 由题意知 x 2是该函数的一个极值点 . (x) 322，f( 2)0，即 124 0.fxbxcb c又 f ( x) 在 2,2上单调递减，f ( x) 3x2 2bxc 在 2,2 上恒有 f ( x) 0. f (2) 0，即 12 4b c 0. 12 4b4b 120. b 0，又 b 0， b 0， c 12， f ( x) x3 12x 1.(2) f ( x) 3x2 12 3( x 2)( x 2) 0< m 2，而当 m 2 x m时， 0<m x 2<m 2， m4 x 2m 2 0， f ( x) 0，