均值不等式练习题

1、利用均值不等式求最值的方法一均值不等式221. （ 1）若 a,bR ，则 a 2b22ab(2)若 a, b R ，则 abab（当且仅当 ab 时取“ =”）22. (1)若 a, bR* ，则 abab(2)若 a,bR* ，则 ab 2ab （当且仅当 ab 时取“ =”）2a2(3)若 a,b*b(当且仅当 ab 时取“ =”）R ，则 ab23. 若 x12 (当且仅当 x1 时取“ =”） ; 若 x 0，则 x11 时取0 ，则 x2 ( 当且仅当 xxx“ =”）若 x0 ，则 x12即 x12或 x1-2 (当且仅当 ab 时取“ =”）xxx3. 若 ab0 ，则 ab2

2、( 当且仅当 ab 时取“ =”）ba若 ab0 ，则 ab2即 ab2或 ab-2 ( 当且仅当 ab 时取“ =”）bababa224. 若 a,bR ，则 ( a2ab（当且仅当 ab 时取“ =”）2b )2注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、 求变量的取值范围、 证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用一、配凑1. 凑系数例 1.当0x4 时，求 yx(82x) 的最大值。解析：由0x4知， 82x 0

3、，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2 x (82x) 8 为定值，故只需将 yx(82 x) 凑上一个系数即可。yx(82 x)1 2x· (82x)1(2x82x ) 28222当且仅当2x82x，即 x 2 时取等号。所以当 x 2 时， yx(82x) 的最大值为 8 。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。12. 凑项例 2.已知 x5 ，求函数f xx1的最大值。( )4 244 x51解析：由题意知 4x50 ，首先要调整符号， 又 (4x2) ·

4、不是定值， 故需对 4x2 进行凑4x5项才能得到定值。 x54x0， 54xx11·1f(54x)3254(x)3231) 4245x5544 xx当且仅当 54x1，即 x1时等号成立。4 x5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 分离例 3.x 27x 10求 y( x 1) 的值域。x 1解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。yx27 x 10 ( x 1) 25( x 1) 4( x1)4x1x 15x1当 x10，即 x1时y2(x459（当且仅当 x 1 时取“”号）。1)·1x当 x10

5、，即 x1时y52( x1) ·41（当且仅当 x 3时取“”号）。x1 yx27 x10( x 1) 的值域为 (，1 9，) 。x 1评注：分式函数求最值，通常化成A()B( A 0 m0)， g(x) 恒正或恒负的形式，y mg x，g()x然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换2例 4.已知 a0，b0，a2b1 ，求 t11 的最小值。解法 1 ：不妨将 11ab乘以 1，而 1用 a 2b代换。ab( 11)· 1( 11)· (a2b)abab12ba2ab32baab3 2 2b · a a b32 2当且仅当 2ba2baa21时取等

6、号，由 ab，得2aba2b1b12a2111 的最小值为 32 2 。即b12 时， tab2解法 2：将 11分子中的1 用 a2b代换。aba2ba2b12ba2abab32ba322ab评注：本题巧妙运用“1 ”的代换，得到 t32ba ，而 2b 与 a 的积为定值，即可用均值不等式abab求得 t11 的最小值。ab三、换元例 5.求函数 yx2 的最大值。2x5解析：变量代换，令tx 2 ，则 x t 22(t0)，则 yt12t2当 t 0 时， y 0当 t1120 时， y412 2t· 12ttt3当且仅当 2t1，即 t2 时取等号。t2故 x3 时， yma

7、x2 。24评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例 6. 求函数解析：注意到y2 x 15 2x (1x5) 的最大值。222x1与52 x 的和为定值。y 2( 2x 15 2x ) 242 (2 x1)(5 2x)4(2 x1)(5 2 x) 8又 y0 ，所以0y2 2当且仅当 21x52x ，即 x3 时取等号。2故 ymax2 2 。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，

8、积极创造条件利用均值不等式。练一练1.若 0 x2，求 yx(63x) 的最大值。2.求函数 y1xx(3) 的最小值。x33.求函数 yx 28 ( x1) 的最小值。x14.已知 x0，y0，且 119 ，求 xy 的最小值。xy参考答案： 1.32. 53. 844.94新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4 基本不等式）典题精讲例 1（ 1）已知 0 x 1 ，求函数 y=x(1-3x) 的最大值 ;3（ 2）求函数y=x+ 1 的值域 .x思路分析： （ 1）由极值定理 ,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外 x 的系数变成互为相反数；（ 2）中，未指出 x 0，因而不能

9、直接使用基本不等式，需分x 0 与 x 0 讨论 .（ 1）解法一： 0x 1 , 1-3x 0.1313x(13x)1112，当且仅当3x=1-3x ，即 x=时，等号成立 .x=时， y=x(1-3x)=·3x(1- 3x) 2 =1266313函数取得最大值.12解法二： 0 x 1,1-x 0.3311xx111 y=x(1-3x)=3x(32x=时，等号成立 .，当且仅当-x) 32=12-x,即 x=336 x= 1 时，函数取得最大值1.612（ 2）解：当 x 0 时，由基本不等式，得y=x+ 12 x1=2，当且仅当 x=1 时，等号成立 .xx当 x 0 时， y

10、=x+ 1=-(-x)+1.x(x)1 -x 0, (-x)+(x)1 2,当且仅当 -x=,即 x=-1 时，等号成立.x y=x+ 1 -2.x综上 ,可知函数y=x+ 1 的值域为 (-,-2 2,+ ).x绿色通道： 利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备 .变式训练1 当 x -1 时，求 f(x)=x+1的最小值 .x1思路分析： x-1x+1 0,变 x=x+1-1 时 x+1 与1的积为常数 .x 1解： x -1,x+1 0.1=x+1+1( x 1)1 f(x)=x+-12-1=1.x 1x1( x 1)

11、5当且仅当x+1=1,即 x=0 时 ,取得等号 .x1 f(x) min=1.变式训练2 求函数 y= x43x 23 的最小值 .x 21思路分析： 从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令 t=x 2+1 ，则 t 1且 x2=t-1. y= x 43x23 = (t 1) 23(t 1) 3t 2t 1t1 1.x 21ttt t 1, t+12 t 1=2, 当且仅当 t=1,即 t=1 时，等号成立 .ttt当 x=0 时，函数取得最小值3.例 2 已知 x 0,y

12、 0，且 1 + 9 =1，求 x+y 的最小值 .x y思路分析： 要求 x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会 .解法一：利用“1的代换 ”,19 +=1,xy x+y=(x+y) ·(1+9)=10+y9x .xyxy x 0,y 0, y9x2y9x=6.xyxy当且仅当 y9x，即 y=3x时，取等号 .x y又 1 + 9 =1, x=4,y=12.x y当 x=4,y=12 时， x+y 取得最小值16.解法二：由 1+9=1，得 x=y.xyy9 x 0,y 0, y9.x+y=yy 9999+y=

13、y+y=y+1=(y-9)+10.y99y 9y 9 y 9, y-9 0.6 y992 ( y 9)9=6.y9y9当且仅当9，即 y=12 时，取得等号，此时x=4.当 x=4,y=12 时， x+y 取得最小值16.解法三：由y-9=y919+=1，得 y+9x=xy,xy (x-1)(y-9)=9. x+y=10+(x-1)+(y-9) 10+2( x 1)( y9) =16,当且仅当 x-1=y-9 时取得等号 .又 1+9=1,xy x=4,y=12.当 x=4,y=12 时， x+y 取得最小值16.绿色通道： 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出

14、基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱： 本题容易犯这样的错误：1 + 9 2 9 ,即6 1,xy 6.xyxyxy x+y2 xy 2×6=12 . x+y 的最小值是 12.产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是1=9 ，不等式等号成立的条件是x=y. 在同一个题目xy中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.ab=1 ，x+y 的最小值为 18，求 a,b 的值 .变式训练 已知正数 a,b,x,

15、y 满足 a+b=10,yx思路分析： 本题属于 “1的”代换问题 .解： x+y=(x+y)( ab)=a+ bxay +b=10+bxay .xyyxyx x,y 0,a,b 0， x+y10+2ab =18 ，即ab =4.又 a+b=10 ，a2,a8,8或2.bb例 3 求 f(x)=3+lgx+4 的最小值（ 0 x 1）.lg x7思路分析： 0 x 1, lgx 0,4 0 不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负lg x号变正数 .解： 0 x 1, lgx 0,4 0.-4 0.lg xlg x (-lgx)+(-4lg x)(4) 2(

16、) =4.lg xlg x lgx+ 4-4. f(x)=3+lgx+4 3-4=-1.lg xlg x当且仅当 lgx= 4,即 x=1时取得等号 .lg x100则有 f(x)=3+lgx+4(0 x 1)的最小值为 -1.lg x黑色陷阱： 本题容易忽略0 x1 这一个条件 .变式训练1 已知 x 5 ，求函数 y=4x-2+1的最大值 .44 x5思路分析： 求和的最值，应凑积为定值.要注意条件 x 5 ，则 4x-5 0.解： x 5 , 4x-5 0.44y=4x-5+11 +3+3=- (5-4x)+5 4x4 x 5-2 (54x)1+3=-2+3=1.4x5当且仅当 5-4x

17、=1,即 x=1 时等号成立 .4x5所以当 x=1 时，函数的最大值是 1.变式训练2 当 x 3 时，求函数 y=x+83的最大值 .22x思路分析： 本题是求两个式子和的最大值,但是 x· 8并不是定值 ,也不能保证是正值,所以 ,必须使用一.可以变为 y= 1 （ 2x-3 ）+82x333 2x8） + 3些技巧对原式变形+=-（3,再求最值 .22x3222x2解： y= 1 （ 2x-3） +8+3=-（ 32x8）+3，22 x32232x2当 x 3 时， 3-2x 0，28 32 x83 2x83 2x8，即 x=- 1时取等号 .23 2x223 2x=4，当且

18、仅当3 2x22于是 y-4+3=5，故函数有最大值5.222例 4如图 3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图 3-4-1（ 1）现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（ 2）若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析： 设每间虎笼长为x m，宽为 y m，则（ 1）是在 4x+6y=36 的前提下求xy 的最大值；而 (2) 则是在xy=24 的前提下来求4x+6y 的最小值 .解： （ 1）设每间虎笼长为x m ，宽为 y

19、m，则由条件 ,知 4x+6y=36 ，即 2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S，则 S=xy.方法一：由于2x+3y2 2x3y =26xy , 2 6xy 18,得 xy27 ，即 S27 .22当且仅当 2x=3y 时等号成立 .2x2 y,x4.5,由3y18,解得3.2xy故每间虎笼长为4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大 .方法二 :由 2x+3y=18 ，得 x=9- 3y.2 x 0, 0 y 6.33S=xy=(9-y)y=(6-y)y.2 2 0 y6, 6-y 0. S3 (6 y)y 2= 27 .222当且仅当6-y=y, 即 y=3 时，等号成立，此时x=4

20、.5. 故每间虎笼长4.5 m,宽 3 m 时，可使面积最大 .(2) 由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则 l=4x+6y.方法一 : 2x+3y2 2x3y =26xy =24, l=4x+6y=2(2x+3y) 48,当且仅当 2x=3y 时 ,等号成立 .2x3y,x6,由24,解得4.xyy故每间虎笼长6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 .方法二 :由 xy=24 ，得 x= 24.y996161616 l=4x+6y=+6y=6(+y) 6×2y =48,当且仅当=y ，即 y=4 时，等号成立，此时 x=6.yyyy故每间虎笼长6 m,宽 4 m 时，可

21、使钢筋总长最小.绿色通道： 在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（ 1） x,y 都是正数；（ 2）积 xy（或 x+y）为定值；（ 3） x 与 y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2 所示 ),由于地形限制 ,长、宽都不能超过16 米 ,如果池外周壁建造单价为每米400 元 ,中间两道隔墙建造单价为每米248 元 ,池底建造单价为每平方米 80 元 ,池壁的厚度忽略不计 ,试设计污水处理池的长和宽 ,使总造价最低 ,并求出最低造价 .图 3-4-2思路分析： 在利用均值不等式求最值时 ,必须考虑等号成立的条件 ,若等号不能成立 ,通常要用函数的单调性进行求解 .解：设污水处理池的长为x 米 ,则宽为200 米 (0 x16,0 200 16),12.5 x 16.xx于是总造价 Q(x)=400(2x+2