圆的知识点总结及典型例题精品资料

1、圆的知识点总结（一）圆的有关性质知识归纳1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。4. 垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论 1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，

2、并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个： 过圆心；垂直于弦； 平分弦（不是直径） ；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。推论 2圆的两条平行弦所夹的弧相等。5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

3、此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：两个圆心角相等；两个圆心角所对的弧相等；两个圆心角或两条弧所对的弦相等；两条弦的弦心距相等。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论 1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径；推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补

4、，并且任何一个外角都等于它的内对角。 8. 轨迹轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。例题分析例 1.已知：如图 1，在 O 中，半径 OM弦 AB于点 N。图1若 AB若半径， ON 1，求 MN的长；OMR， AOB 120°，求MN的长。解： AB，半径 OMAB， ON1，由勾股定理得OA2 ANBN MNOMONOA ON

5、 1半径 OMAB，且 AOB120° AOM 60° ON OA·cos AON OM·cos60°说明：如图 1，一般地，若 AOB 2n°， OMAB于 N， AOR， ONh，则 AB2Rsin n ° 2htan n °例 2.已知：如图 2，在 ABC中， ACB 90°， B25°，以点 C 为圆心、 AC为半径作 C，交 AB于点 D，求的度数。图 2分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，

6、仅选几种供参考。解法一：（用垂径定理求）如图21，过点 C作 CEAB于点 E，交于点 F。图 21又 ACB90°， B25°， FCA25° 的度数为 25°，解法二：（用圆周角求）如图的度数为 50°。22，延长 AC交 C于点E，连结ED图 22AE是直径， ADE90° ACB 90°， B25°， E B 25°的度数为 50°。解法三：（用圆心角求）如图23，连结 CD图 23 ACB 90°， B25°， A65°CA CD， ADC A 65

7、76; ACD 50°，的度数为 50°。例 3. 已知：如图 3， ABC内接于 O且 AB AC， O的半径等于 6cm，O点到 BC的距离 OD等于 2cm，求 AB的长。析：因为不知道 A 是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。略解：（ 1）假若 A 是锐角， ABC是锐角三角形。如图 3，由 AB AC，可知点 A是优弧 的中点，因为 OD BC且 AB AC，根据垂径定理推论可知， DO的延长线必过点 A，连结BOBO 6， OD2在 Rt ADB中， AD DOAO6 2 8图 3图 31（2）若 A 是钝角

8、，则 ABC是钝角三角形，如图31 添加辅助线及求出，在 RtADB中， AD AODO6 24AB综上所述 AB小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。例 4. 已知：如图 4，AB是 O的直径，弦 CDAB，F 是 CD延长线上一点， AF交 O于 E。求证： AE· EFEC· ED图 4分析：求证的等积式AE·EF EC·ED中，有两条线段EF、ED在 EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明 FED CEA即可。证明：连结 AC四边形 DEAC内接于圆 FDE CAE， FED DCA直径 AB CD， DCA CEA， FED CEA FED CEA， AE·EF EC·ED小结