基本不等式教案

1、.课题 :§ 3.4 基本不等式a bab第 1课时2授课类型：新授课【学习目标】1知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式abab的证明过程；2【教学难点】ab基本不等式 ab等号成立条件2【板书设计】课题 :

2、67;3.4基本不等式 aba b （第 1 课时）21. 课题导入2. 讲授新课3. 随堂练习基本不等式abab的几2何背景：如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。1问题探究探究图形中的不等关系。4. 课时小结2总结结论：3思考证明：你能给5、能力提高出它的证明吗？ 补充例题 ;.【教学过程】1. 课题导入基本不等式abab的几何背景：2如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标

3、是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2. 讲授新课1问题探究探究图形中的不等关系。将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2 。这样， 4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为a2b2 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2b22ab 。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH 缩为一个点，这

4、时有a2b22ab 。2总结结论： 一般的， 如果 a, bR, 那么 a2b 22ab(当且仅当 a b时取 " " 号 )结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为a 2b22ab (ab) 2当 ab时 ,( a b)20,当 ab时 ,( a b)20,所以， (ab) 20 ，即 ( a 2b2 )2ab.;.ab41）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab2特别的，如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、 b ，可得 ab2 ab ，通常我们把上式写作：aba b (a>0,b&

5、gt;0)2ab2 ）从不等式的性质推导基本不等式ab2用分析法证明：要证ab2ab(1)只要证a+b(2)要证（ 2），只要证a+b-0（ 3）要证（ 3），只要证（ -） 2（ 4）显然，（ 4）是成立的。当且仅当a=b 时，（ 4）中的等号成立。3）理解基本不等式abab 的几何意义2探究：课本第 110 页的“探究”在右图中， AB是圆的直径，点C是 AB上的一点， AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于AB 的弦 DE，连接AD、 BD。你能利用这个图形得出基本不等式abab的几何解释吗？2易证t，那么2·A D tDBDA B即 D ab .这个圆的半径为 ab ，显然，

6、它大于或等于CD，即 abab ，其中当且仅当点 C 与22圆心重合，即时，等号成立 .a b因此：基本不等式abab几何意义是“ 半径不小于半弦 ”2评述： 1. 如果把 ab 看作是正数 a、 b 的等差中项，ab 看作是正数 a、 b 的等比中项，2.那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项2. 在数学中，我们称a b 为 a、 b 的算术平均数，称ab 为 a、 b 的几何平均数 . 本2节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 补充例题 例 1已知 x、y 都是正数，求证：y x(1) 2；x y;.(2) （ x y）（ x2 y2）（ x

7、3 y3） x3y3.分析： 在运用定理： abab 时，注意条件 a、b 均为正数， 结合不等式的性质( 把2握好每条性质成立的条件) ，进行变形 .解： x，y 都是正数 x 0， y 0， x2 0， y20， x3 0， y3 0yx(1)xy2 xy 2即 xy 2.yxyxyx(2)x y 2xy 0x2 y2 2x 2 y2 0x3 y3 2 x3 y3 0（ x y）（ x2 y2）（ x3 y3） 2 xy · 2 x2 y 2 · 2 x3 y 3 x3y3 即（ x y）（ x2 y2）（ x3 y3） x3 y3.3. 随堂练习1. 已知 a、 b、 c 都是正数，求证（ a b）（b c）（ c a） abc分析：对于此类题目，选择定理：果.解： a，b， c 都是正数abab （ a 0， b 0）灵活变形，可求得结2 a b 2ab 0b c2bc 0c a2ac 0（ a b）（ b c）（ c a） 2ab · 2bc · 2 ac abc即（ ）（ ）（a）abc.a bbcc4. 课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2 b22ab；两正数 a、 b 的算术平均数（ ab ），ab ）及它们的关系 （ a b 2几何平均数 （ab ）. 它们成立的条件不同，