2019年揭阳市高考一模试题(理数)

1、6 . 2019年揭阳市高考“一模”试题 数学（理科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上. 2 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液， 不按以上要求作答的答案无效. 4考生必须保持答

2、题卡的整洁 ，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 如果事件A在一次试验中发生的概率是 P,那么n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 Pn（k）=C：Pk（1 -PT . 、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的. 5 . 一质点受到平面上的三个力 尺丁2怎（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态. 已知F1,F2成 120角，且匕丁2的大小分别为 1 和 2,则有 fi f h rt A . F1, F3成 90角 B . F1, F3成 150 角 C . F2,F3 成 90 角 D . F2,F3 成 6

3、0角 1. 已知集合 A =1,2?, B =a, b,若 API B = ,则AUB为. 2. 1 A ?,1,b 1 C . 込 1 .-1,-,1 设函数 f （x）二 cos （2x -禦）, 则f (x)是 A .最小正周期为二的奇函数 C .最小正周期为一的奇函数 2 已知随机变量服从正态分布 .最小正周期为 .最小正周期为 二的偶函数 -的偶函数 2 N(2,- 2) , P( _ 4) =0.84，贝U P( -0)= A . 0.16 B .0.32 C .0.68 D .0.84 4.数列an 是公差不为 0 的等差数列， 且a1,a3,a7为等比数列bn的连续三项，则数列

4、bn 的公比为 A.、2 B .4 C .2 D 1 2 3 . 表示的平面区域为 B y D D 7.一物体 A 以速度v=3t +2 （ t的单位：s, v的单位：m/s）,在一直线上运动，在此直线 上在物体 A 出发的同时，物体 B 在物体 A 的正前方 8m 处以 v=& （t的单位：s, V的单 位：m/s）的速度与 A 同向运动，设ns 后两物体相遇，则 n的值为 、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. （一）必做题（9- 13 题） f (x 1),x ： 4. 13 .下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的

5、样本频率分布直方图， 已知图甲A. 4 帀 B . 2 10 3 &平面内称横坐标为整数的点为“次整点” 线，则倾斜角大于 45的直线条数为. A. 10 B . 11 C . 4 D . 5 .过函数y二一 9X2图象上任意两个次整点作直 9.已知函数y二lg（4 -x）的定义域为 A，集合B二x| x ： a，若 P： Q： “ B ”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围 _ . x2 y2 10 .双曲线 1上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦 16 9 点距离的等差中项，贝 y P 点到左焦点的距离为 _ . 11.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如右

6、图示 （单位长度：cm,图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的 铁皮的12 .已知函数 f (x)二 1 X (2)心 则 f(log23)= 中从左向右第一组的频数为 4000.在样本中记月收入在 1000,1500， 1500,2000）, 2000,2500）,2500,3000）,3000,3500） , 3500, 4000的人数依次为 A、 A、代.图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图， 则样本的容量n ；图乙输出的S二 _ .（用数字作答） 图甲 （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） X = 1 +1 14. （坐标系与参数方程选做题）设直

7、线1,的参数方程为 （t为参数），以坐标原 y = a + 3t 点为极点，X 轴为极轴建立极坐标系得另一直线 12的方程为sin v-3cos4 = 0. 若直线h与12间的距离为、10，则实数a的值为 _ . 15. （几何证明选做题） 如图，已知P是L O外一点，PD为L O的切线，D为 切点，割线 PEF 经过圆心O,若PF =12,PD =纸3,则.EFD的度数为 _ 三解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本题满分 12 分） z2 二 m (m -3cos2 x)i ( ,m, X R,),且 乙二 z?. （1 ）若 =

8、0 且 0 ： x ：二，求 X 的值; 某品牌的汽车 4S 店，对最近 100位采用分期付款的购车者进行 统计，统（2）设-=f （X），已知当 x = 时, 1 兀 =2，试求cos（4）的值. /输入 A1? A2 , A 6/ I S= 0,i = 2 | i=i+1 是 + 是 S = S+AJ 图乙 已知复数 乙=sin2x： ； i 17.（本题满分 12 分） 付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期 频 数 40 20 a 10 b 频率组距 开始 /输出 S/ 结束 3 期付款的频率为 0.2 , 4S 店经销一辆该品牌的汽车， 分 2期或 3

9、期付款其利润为 1.5 万元；分 4 期或 5 期付 计结果如右表所示：已知分 顾客分 1 期付款，其利润为 1 万元; 款，其利润为 2 万元用表示经销一辆汽车的利润 （1） 求上表中的a,b值； （2） 若以频率作为概率，求事件 期付款”的概率P（A）; （3） 求 的分布列及数学期望 18.（本题满分 14 分） 右图为一简单组合体，其底面 EC / PD，且 PD =2EC , 求证：BE/平面 PDA N为线段PB的中点，求证： EN _平面PDB ; PD 二 A 2，求平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的大小. (1) (2) (3) AD A: “购买该品牌汽车的 3

10、 位顾客中，至多有 1 位采用 3 ABC:为正方形，PD _平面ABCD , B 19(本题满分 14 分) 2 2 已知如图，椭圆方程为 x I- =1(4 b 0) .P 为椭圆上的动点 16 b2 Fi、F-为椭圆的两焦点，当点 P 不在 x轴上时，过 R 作/ F1PF-的外角 平分线的垂线 F1M,垂足为 M 当点 P 在 x轴上时，定义 M 与 P 重合. (1) 求 M 点的轨迹 T 的方程； (2)已知0(0,0)、E(2,1)，试探究是否存在这样的点 Q : Q是轨迹 内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点) S 0EQ 2 ?若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在

11、，说明理由. 20.(本题满分 14 分) 设函数 f (x) = x| x _1| m,g(x) = In x. (1) 当m . 1时，求函数y = f (x)在0, m上的最大值； (2) 记函数p(x) = f (x)-g(x)， 若函数p(x)有零点， 求 m 的取值范围 21 .(本题满分 14 分) x 1 已知：x1, x2 （% ：x2）是方程x2 -6x 5 =0 的两根，且 yn 口 , xn .2 = （5 ）xn d. * xn yn n N . （门求, y2,y3的值； n (2)设Zn = y.yn卅，求证：送z狂26n ； i=1 (3)求证：对 十N有|y2

12、n -yn ，且 OEQ 的面积 y P J_ 1_ 625 26n W. 参考答案及评分说明 一.选择题： DBAC ACCB 1 1 1 解析：1 由 Q B =得 2 a=-1 , b ，故选 D. 2. f (x) = cos(2x -二)-cos2x，可知答案选 B. 3由正态分布的特征得 P乞0) = 1 - P乞4) =1 - 0.84 =0.16，选 A. 经=2，选 C. 5.由匸 F? F3 =0= F3 - -(FF2) 二 F32 =(FF2)2 = F21 F22 2| F1 | | F2 |cos120 -14 4 |F3|= . 3 由 | 吒 | = 1,| F

13、2 |= 2,| F31=、3 知，F.j, F3 成 90角，故选 A. C. n Q n 7依题意得 (3t2 2)dt = 8 亠 I 8tdt, n3 2n = 8 4n2 = (n -4)(n2 2) = 0= n = 4, 选 C. &如图，设曲线 y = J9-X2的次整点分别为 P,R,川P7,过点 P倾斜角大于 45的直线有RP2,PP3，过点B的有BB, 过点F3有PR、P3P7，过点巳有P4P、P4P5、47，过 点P有PsRRB,过点P6的有P6P7,共 11 条，故选 B. 1 二、填空题：9. a A4 ； 10. 13_、； 11. 100(3+75) ;

14、 12. 一 ； 24 科网 13. 10000、6000; 14.9 或- 11; 15. 30 . 解析：9. A=x|xv4，由右图易得a4. 4. 设数列an的公差为 d ( d 式0),由 af =a1a7得(a +2d)2 =印(耳 +6d)n a =2d 6.不等式组 f(x)-f(y) _0; 1 _x _4. x_y _0; 即 x y-5_0;或 x y 5 乞 0; 1x乞4. 1乞x乞4. 故其对应平面区域应为图 F2 10.由 a =4,b =3 得 c = 5 设左焦点为 F1 ,右焦点为 F?,则 IPF2 (a + c + c a) = c = 5 , 由双曲线

15、的定义得：| PF1 |=2a |PF2戶8 13. 11.该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形 的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积 12.由已知得 f (log2 3) = f (log23 1) = f (log2 3 2) = f (log2 3 3) = f (log224) log2(24 )丄 1 2 二 24 13.v月收入在1000,1500）的频率为0.0008 500 =0.4，且有 4000 人 样本的容量 n = 4000 = 10000 ,由图乙知输出的s = A2 A3 HI As=10000 0.4 4000=6000. 14.将直

16、线h的方程化为普通方程得 3x-y，a-3 = 0，将直线I?的方程化为直角坐标方程得 a 一11 由切割线定理得 PD2二PEPF = PE =空 =4 PF 12 1 二 EF =8, OD =4, / OD _ PD , OD PO . . P =30 , 2 POD =60； PDE = EFD =301 .解答题: 16 解：(1)T Z| = Z2 sin 2x = m 二 m；3cos2x =sin 2x - - 3 cos2x 若 =0 贝V sin2x -、3cos2x = 0得 tan2x 二 3 / 0 x ：二,.0 . 2x : 2二 c 兀 .2x ,或 2x 二

17、3 3 2 二 x 或 - 6 3 .(1)|092 24 3x -y -4 =0，由两平行线的距离公式得 1 二4 1 =：怖二 |a 1| = 10 二 a = 9 或 15. 4 S = 100(3、5) P A - 1 .,3 (2)T 二 f(x)二sin 2x i 可3 cos2x = 2(sin2x cos2x) 2 2分 c/ c 兀 c 兀 JI =2(sin 2xcos cos2xsin ) =2sin(2 x )- 8 分 3 3 3 1 当 x = :时，= 2 H 1 兀 1 兀 1 二 2sin(2 ) , sin(2 ) , sin( 2 ) - 9 3 2 3

18、4 3 4 3 6 6 3 cos(4 )=2 (-) -1- . - 2 分 3 4 8 a 17解：(1)由 0.2 得 a =20 100 40 20 a 10 b =100 . b =10 - 2 分 (2) 记分期付款的期数为 ，依题意得： . 40 蛙 20 卫 P( =1) 0.4, P( =2) 0.2, P( =3)72, 100 100 = 10 卫 10 PC： =4) 0.1, PC： =5) 0.1 - 5 分 100 100 则“购买该品牌汽车的 3 位顾客中至多有 1 位采用 3 期付款”的概率： P(A) = 0.83 +C3o.2x(1O.2)2 =0.896

19、 - 7 分 (3) 的可能取值为： 1, 1.5 , 2 (单位万元) P( =1) = P( =1)=0.4 - 8 分 P( =1.5) = P( =2) P( =3) =0.4 - 9 分 P(=2) =P(：=4) P(F： =5) =0.1 0.1 =0.2 - 10 分 . 的数学期望 E=1 0.4 1.5 0.4 2 0.2 =1.4(万元)-12 分. 18.解：(1)证明： EC / PD , PD 平面 PDA , EC 二 平 面PDA .EC/ 平面 PDA , 同理可得 BC/平面 PDA- 2 / EC 平面 EBC,BC 平面 EBC 且 ECp|BC =C

20、.平面BEC /平面PDA- 3 又 BE 二 平面 EBC . BE/ 平面 PDA - 4 (2)证法 1 :连结 AC 与 BD 交于点 F,连结 NF, n 1 1.5 2 P 0.4 0.4 0.2 2 昇 2 : cos(4 ) = cos2(2 )=2cos (2 ) 1 = 2sin ( 2：) 111 分 . 的分布列为 分 F 为 BD 的中点， .NF / PD 且 NF 二丄 PD , - 6 分 27 分 13 分 10 分 设平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为二， 1 又 EC / PD 且 EC PD 2 NF / EC 且 NF =EC 四边形 NF

21、CE 为平行四边形 - NE / FC DB _ AC , PD _ 平面 ABCD , AC _ PD , AC 二面 ABCD 又 PD BD = D AC _ 面 PBD 证法 2:如图以点 设该简单组合体的底面边长为 NE _ 面 PDB - D 为坐标原点，以 AD 所在的直线为 1, PD = a x 轴建立空间直角坐标系如图示: 则 B(1,1,0),C(0,1,0), P(0,0, a), a 1 1 a E(0,1,-), N(-,-,-) 2 2 2 2 1 1 EN =( ,0) , PB=(1,1,a), DB =(11,0) 2 2 1 1 -EN PB 1 1 -

22、a 0=0, 2 2 1 1 EN DB 1 1 0 0 =0 2 2 EN _ PB,EN _ DB (3) / PB、DB 面 PDB，且 PBDB=B NE _ 面 PDB - 解法 1 ：连结 DN 由(2)知NE丄面PDB AD DN为平面 PBE 的法向量，设 / DP为平面 ABCD 的法向量, DB f ；2AD PD AD =1，则 N(1,-2) DN =(-, 2 2 2 2 2 )-11 DP =(0,0,、2), 12 7 分 13 分 10 分 贝y COS 二 |DN | |DP | 72 解法 2:延长 PE 与 DC 的延长线交于点 G,连结 GB 则 GB

23、为平面 PBE 与 ABCD 勺交线 - / PD =2EC CD 二CG =CB即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45 14 9 分 11 分 D B、G 在以 C 为圆心、以 BC 为半径的圆上， DB PD _ 平面 ABCD , BG 面 ABCD PD _ BG 且 PDDB =D BG _ 面 PDB / PB 二面 PDB BG _ PB . PBD为平面 PBE 与平面 ABCD 所 成的二面角的平面角 - 在 Rt . PDB 中 / PD =DB 乙PBD = 45即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45 - 其它解法请参照给分 19.解：（1

24、）当点 P 不在 x轴上时，延长 FM 与 F2P 的延长线相交于点 11 分 13 14 N,连结 0M . NPM 二.MPF1, NMP 二.PMF1 PNM PF1M |PN|=|PF1| 1 OM 二一F2N 2 2 点 P在椭圆上 1 F2p +|PN )=；qF2P +|PFj PF2 + PR = 8 OM = 4, 当点 P 在 x轴上时，M 与 P 重合 2 2 2 M 点的轨迹 T 的方程为：x y =4 . NF1的中 M 是线段 分分 分 （2）连结 0E 易知轨迹 T 上有两个点 A( -4,0) , B(4,0)满足 S OEA 二 S OEB = 2 , 分别过

25、 A、B 作直线 0E 的两条平行线l1、l2. 同底等高的两个三角形的面积相等 符合条件的点均在直线 盼） 分 koE 设点Q(x, y) (x,y Z 分别解 y2 16 1 与 y =_ (x +4) 2 12的方程分别为：y=l（x，4）、丫 =丄&-4） 2 2 ) Q在轨迹 T 内， x2 y2 16 x2 x2 y2 16 y E(X-4) 2 2 得 一4 ： x 2 与 一2 x ： 4 5 5 分 即函数p(x)有零点时m0 14 分 2 Z x为偶数，在(4气)上2,2对应的心23 2 在(-2 ,4)上 x = -2,0, 2，对应的 y = -3,-2, -1

26、 5 满足条件的点 Q存在，共有 6 个，它们的坐标分别为: (-2,1),(0,2),(2,3), (-2,-3),(0, -2),(2, -1). 20.解:(1) 当 X 0,1时，f (x) =x(1_x) m = _X2 X m 二 _(x_)2 2 当 时，f(X)max 二 m 1 2 4 2 1 2 1 当 x (1,m时，f(x)=x(x_1) m = x-x m = (x ) m 2 4 由 m2 _ m 1 得 m2 - m -丄 _ 0 又 m 1 = 4 4 当 m1 时，f(XU 后，当 1” 宁时，f(X)max (2)函数 p(x)有零点即方程 f (x) - g(x) = x | x-1| -1 nx，m = 0 有解 即 m =ln x-x|x1| 有解 - 7 分 令 h(x) = ln x -x | x -1| 当 x (0,1时 h(x) =x2 - x I nx h(x) =2x 1 -1 _2 .2 -1 0 - 9 分 x 函数h(x)在(0,1上是增函数， h(x)乞h(1) = 0