初等代数研究__第4章__函数

1、1第第4章章 2v函数的发展函数的发展v函数概念的三种定义函数概念的三种定义v初等函数初等函数v函数的图像与函数的特征函数的图像与函数的特征v函数概念的教学函数概念的教学3一一 函数的发展函数的发展运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地位。 函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的1617世纪才逐渐产生。 4法国数学家法国数学家笛卡儿笛卡儿最先提出了最先提出了“变量变量”的概念，的概念，他在他在几何学几何学中不仅引入了坐标，而且实中不仅引入了坐标，而且实际上也引入了变量，他在指出际上也引入了变量，他在指出x、y是变量的是变量的同时，还注

2、意到依赖于而变化，这正是函数同时，还注意到依赖于而变化，这正是函数思想的萌芽。思想的萌芽。莱布尼茨莱布尼茨在在1673年的手稿中则用年的手稿中则用“Function”一词。一词。李善兰李善兰在在代微积拾级代微积拾级一书中将一书中将Function一一词翻译为词翻译为“函数函数”，并一直沿用至今。，并一直沿用至今。 51755年，欧拉提出了一个明确的函数定义：“如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。 61851年，黎曼定义：“我们假定Z是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量W的一个值与之对应，则称W是Z的函数”。 71

3、939年，布尔巴基学派的著作认为，若E、F是两个集合，二者的笛卡儿积是指XY中的任何子集S称为x、y之间的一种关系。如果关系F满足：对于每一个 ，都存在唯一的一个y，使得 ，则称关系F是一个函数。YyXxyx,|,XxFyx,8在20世纪以前，中学数学的中心是方程。1908年，数学家F克莱因担任国际数学教育委员会主席。他首次提出，中学数学应当以函数为中心；或者说“以函数为纲”。实际上直到第二次世界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。 9v中国也是这样。1949年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。到了20世纪50年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核

4、心地位。v普通高中数学课程标准（实验）必修课程：数学1函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）；数学4基本初等函数（三角函数）。10数学中的弱抽象方法数学中的弱抽象方法v在数学的思想活动中，有一类方法是同类的事件中在数学的思想活动中，有一类方法是同类的事件中抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属性，舍弃其他的特征，从而形成新的数学概念。这性，舍弃其他的特征，从而形成新的数学概念。这种舍弃一部分属性保留共同属性的抽象过程称之为种舍弃一部分属性保留共同属性的抽象过程称之为“弱抽象弱抽象”。v弱抽象的特点弱抽象的特点是：弱抽象得到的数学对

5、象，一般是是：弱抽象得到的数学对象，一般是概念外延扩大，而内涵减少。概念外延扩大，而内涵减少。补充：以弱抽象方法视角看函数的演变补充：以弱抽象方法视角看函数的演变11函数的演变函数的演变v函数的概念经过两百多年的发展演变，逐步由比较函数的概念经过两百多年的发展演变，逐步由比较模糊的陈述到明确的表述。模糊的陈述到明确的表述。v最初的函数概念实际上是幂的同义语，也就是最初的函数概念实际上是幂的同义语，也就是x，x2，x3等等，即等等，即多项式多项式。今天看来是最简单的函数。而。今天看来是最简单的函数。而“函数函数”这一名词是由这一名词是由莱布尼茨莱布尼茨最先提出。正式的最先提出。正式的函数概念也始

6、于函数概念也始于17世纪。世纪。v18世纪开始后，函数被理解为变量世纪开始后，函数被理解为变量x与常量经由算与常量经由算术运算、三角运算、指数运算及对数运算等联结而术运算、三角运算、指数运算及对数运算等联结而成的一种表达式。实际指今天的成的一种表达式。实际指今天的初等函数初等函数。v18世纪，世纪，欧拉给出欧拉给出了沿用至今的了沿用至今的函数符号函数符号f(x)f(x) 。12v人们曾经为研究初等函数，用人们曾经为研究初等函数，用级数展开级数展开的办法。而的办法。而一般形成的级数可扩大函数的对象，有些不再是初一般形成的级数可扩大函数的对象，有些不再是初等函数。等函数。 积分运算积分运算所得的函

7、数许多已不再是初等函数。所得的函数许多已不再是初等函数。xxxnxf131211)(dttttdtxx02sin,ln13v由于把函数等同于解析表达式，甚至只是一个表示由于把函数等同于解析表达式，甚至只是一个表示式。式。分段函数被称为伪函数分段函数被称为伪函数。但是：。但是：xnnxxxynnxnnxnxy) 12sin(1215sin513sin31sin, 2, 1, 0)22(12,4, 0) 12(2n,4一个三角级数：这个伪函数却可表示为）当（当当14v柯西柯西认为：若对认为：若对x每个值，都有确定的每个值，都有确定的y值与之对应，值与之对应，则则y即为即为x的函数。仍然把函数和解析

8、式联系起来，的函数。仍然把函数和解析式联系起来，只只突破了仅用一个式子来表示的局限突破了仅用一个式子来表示的局限。v重大突破：德国数学家狄利克雷和黎曼认为能否用重大突破：德国数学家狄利克雷和黎曼认为能否用（一个或几个）解析式表达不是函数概念的本质。（一个或几个）解析式表达不是函数概念的本质。柯西（柯西（1789-1857)1789-1857)15Dirichlet函数函数： 柯西、狄利克雷和黎曼是柯西、狄利克雷和黎曼是19世纪的一批人物，函数概念世纪的一批人物，函数概念的上述变化已跨越的上述变化已跨越18世纪。世纪。 Dirichlet函数被认为是从两个方面突破函数被认为是从两个方面突破17、

9、18世纪以来人世纪以来人们在函数观念上的错误观点：一是关于函数必然与解析式相联们在函数观念上的错误观点：一是关于函数必然与解析式相联系的观念，另一个是函数基本上连续的（甚至是可微的），例系的观念，另一个是函数基本上连续的（甚至是可微的），例外情形充其量是少数几个点的观念。外情形充其量是少数几个点的观念。 Dirichlet函数在任何一点函数在任何一点都不连续。都不连续。为有理数时。当为无理数时，当xxxD10)(nnmxmxD2!coslimlim)(然而，16v为解释为解释“对应对应”、“对应规则对应规则”，在有了集合论之，在有了集合论之后，人们又后，人们又把函数定义为有序数对的集合把函数定

10、义为有序数对的集合（x,yx,y）, ,其中，若（其中，若（x,yx,y）和（）和（x,zx,z）都在集合）都在集合内，则内，则y=zy=z。v更更一般化的函数概念把数也抽掉一般化的函数概念把数也抽掉了。变量的变化范了。变量的变化范围不一定是一个区间，甚至不一定是数集，可以是围不一定是一个区间，甚至不一定是数集，可以是任何一个集合。任何一个集合。v更为普遍的函数概念是集合函数更为普遍的函数概念是集合函数。设。设A A是某些集合是某些集合的集合（或成为集类），的集合（或成为集类），B B也是类，若对也是类，若对A A中的每一中的每一元素元素a a有有B B种确定的元素种确定的元素b b，那么就称

11、在类，那么就称在类A A上定义了上定义了一个集合函数。当一个集合函数。当A A和和B B都是单元素集，且这些元素都是单元素集，且这些元素都是实数时，这就是单变量的单值实变函数。作为都是实数时，这就是单变量的单值实变函数。作为“函数的函数函数的函数”的泛函也含于集合函数中。的泛函也含于集合函数中。17二二 函数概念的三种定义函数概念的三种定义定义1 有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量。另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（19世纪法国数学家柯西） 1 1 函数概念的定义函数概念的定义18定义2 在

12、某变化过程中，有两个变量x和y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数；x称为自变量。（19世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出） 19定义3 A和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A到集合B的函数。（19世纪70年代德国数学家康托） 20定义4 从集合A到集合B的映射 称为从集合A到集合B的函数，简称为函数f。（高等代数课程） BAf:21定义5 从集合A到集合B的函数f是满足以下条件的从A到B的一个关系：如果 ，并且 ，那么函数f记作 AfDfyx

13、,fzx,zy BAf:222 2 函数概念的三种定义函数概念的三种定义函数的变量说定义一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果变量y随着x的变化而变化，那么就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。 这种陈述性的定义，是函数的传统定义。它建立在变量的基础上，强调了变化。而描述变化，正是函数最重要的特征。函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。23函数的对应说定义设A为非空实数集，如果存在一个对应规律f，对A中每个元x按照对应规律f，存在R中唯一的一个实数y与之对应，则称对应规律f是定义在A上的函数，表为v这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的现代定

14、义。在高中阶段基本上就用这种定义。v目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情形。由于映射是用对应来定义的，所以“对应说”与“映射说”其实是一回事。RAf:24函数的关系说定义设f是集合X与集合Y的关系，即 。如果还满足 ，则 ，那么称f是集合X到集合Y的函数。v函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方面的优越性。这种定义是函数的形式化定义。v然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有解析式的表达，所以初学者不易掌握。 YXffyxfyx),( ,211121yy 25上述三种函数

15、定义，各有各的不同特点。“变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的，对于初学者更容易接受。“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势。“关系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、人工智能设计中具有一定的作用。 26函数数学的基本概念之一。在物质世界里，常常是一些量依赖于另一些量，即一些量的值随另一些量的值的确定而确定。函数就是这类依赖关系的一种数学概括。中国大百科全书数学卷273 3 函数在中学数学中的重要作用函数在中学数学中的重要作用函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数

16、学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。 282930三、初等函数三、初等函数v初等函数的定义初等函数的定义v初等函数的几个问题初等函数的几个问题v初等函数的定义域和值域初等函数的定义域和值域311. 1.初等函数的定义初等函数的定义v中学所学习的主要初等函数有：常量函数、中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等，称为反三角函数等，称为基本初等函数基本初等函数。v定义（初等函数）定义（初等函数） 由基本初等函数经过有限由基本初等函

17、数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做初等函数。函数叫做初等函数。v基本初等函数一个重要的特点是它能通过一基本初等函数一个重要的特点是它能通过一个统一的代数式在定义域上表达出来。个统一的代数式在定义域上表达出来。 32 初等函数可以根据函数解析式所用的初等函数可以根据函数解析式所用的运算种类进行分类：运算种类进行分类：超越函数无理函数有理分函数有理整函数有理函数代数函数初等函数33 证明一个初等函数是超越函数通常用证明一个初等函数是超越函数通常用反证法反证法。的根。的多项式为系数的方程是以变数字母代数函数0)()()()(0111xpyx

18、pyxpyxpxynnnn343536课堂练习课堂练习!代数函数与超越函数的主要区别何在？研代数函数与超越函数的主要区别何在？研究函数究函数y=sinxy=sinx的超越性，并证明你的结论。的超越性，并证明你的结论。37&代数函数代数函数 是以变数字母是以变数字母 的多项式为系的多项式为系数的方程数的方程 的根，初等代数函数是代数函数一般定义下的根，初等代数函数是代数函数一般定义下的特例，而超越函数的超越性表现在不存在的特例，而超越函数的超越性表现在不存在一个非零多项式一个非零多项式 ，当代入，当代入 以后，以后，能够在实数集内使能够在实数集内使 ，这里的，这里的 是任是任何一个超越函

19、数。何一个超越函数。 )(xfx 0.)(0111xpxfxpxfxpxfxpnnnnyxp, xfy 0,xfxp xf38& 对于对于y=sinxy=sinx不满足任何代数方程，下不满足任何代数方程，下面给出证明：面给出证明： . 0.00sin10sin.sinsin. 0)sin,(),(000111xpxpkxzkkxpxxpxxpxxpxxpyxpnnnn有无数个根时，由上式得，），（则有满足式假设存在一个非零多项 0.sinsinsinsin1211xpxxpxxpxxynnnn满足39 0.sinsinsin0sin1211xpxxpxxpxyxynnnn满足，不恒为题

20、得证。为零多项式。矛盾，命所以同理）式情形完全相同，故与（),(. 0)()()(. 0)(1211yxpxpxpxpxpnn402.2.初等函数的几个问题初等函数的几个问题v初等函数和微积分的关系初等函数和微积分的关系v无理数幂的问题无理数幂的问题v对数的意义对数的意义v三角函数三角函数413.3.初等函数的定义域和值域初等函数的定义域和值域v函数的定义域函数的定义域是使函数有意义（包括函数是使函数有意义（包括函数表达式的数学意义和问题的实际背景所限表达式的数学意义和问题的实际背景所限定的意义）的自变量的取值范围。定的意义）的自变量的取值范围。v 确定函数定义域的原则确定函数定义域的原则v

21、确定初等函数定义域的依据确定初等函数定义域的依据 确定某些复合函数定义域的原则确定某些复合函数定义域的原则42函数的值域函数的值域就是函数值组成的集合。就是函数值组成的集合。v确定函数值域的原则v求函数值域的方法v8种方法：观察法、配方法、反函数法、不等式法、三角代换法、判别式法、最值法。43四、函数的图像与函数的特征四、函数的图像与函数的特征v关于函数的图像关于函数的图像v用初等变换作出函数的图像用初等变换作出函数的图像v函数的一些主要性质函数的一些主要性质v关于函数的高考试题选讲关于函数的高考试题选讲441.1.关于函数的图像关于函数的图像v心理学认为：心理学认为：人们大脑里的长期记忆是以

22、比人们大脑里的长期记忆是以比较稳定的图式结构存在的。较稳定的图式结构存在的。v每个有序实数对与平面上的一个点一一对应。每个有序实数对与平面上的一个点一一对应。所以作函数图像基本的方法就是描点法。所以作函数图像基本的方法就是描点法。v不可能把函数的每个点都描述清楚，需要借不可能把函数的每个点都描述清楚，需要借助函数的特征，先了解图形的大致轮廓，然助函数的特征，先了解图形的大致轮廓，然后再做出函数的图形来。后再做出函数的图形来。 45绘制函数绘制函数y=f(x)y=f(x)图像的主要步骤图像的主要步骤v确定函数的定义域；确定函数的定义域；v研究函数的有界性；研究函数的有界性；v研究函数的奇偶性；研

23、究函数的奇偶性；v研究函数的单调性；研究函数的单调性；v研究函数的周期性；研究函数的周期性；v找出函数的特殊点；找出函数的特殊点；v如果函数有渐近线，则先把渐近线求出来，再讨如果函数有渐近线，则先把渐近线求出来，再讨论函数的变化趋势论函数的变化趋势v用平滑曲线将各部分连接起来，曲线上个别不属用平滑曲线将各部分连接起来，曲线上个别不属于图像的点用于图像的点用“。”表示空缺。表示空缺。 46例例 做出函数做出函数 的图像。的图像。 xxy14748，49654321-1-2-3-4-5-6-8-6-4-22468h x f x 50课堂练习课堂练习515232.521.510.5-0.5-1-1.

24、5-2-2.5-3-4-3-2-11234h x g x f x 2532.2.用初等变换作出函数的图像用初等变换作出函数的图像平移变换平移变换对称变换对称变换 奇函数关于原点对称，偶函数关于奇函数关于原点对称，偶函数关于y y轴对轴对 称；称； bxfyaxfy)()(xfyxfy)()(xfyxfy)()(xfyxfy54放缩变换放缩变换)()()()(xkffxfykxfyxfy55例例 利用初等变换做出函数利用初等变换做出函数 的图像的图像。1) 121sin(2xy1) 121sin(2) 121sin(2)21sin(2sin2sinxyxyxyxyxy564321-1-2-3-4

25、-6-4-2246f x 574321-1-2-3-4-6-4-2246g x f x 584321-1-2-3-4-6-4-2246h x g x f x 594321-1-2-3-4-6-4-2246q x h x g x f x 604321-1-2-3-4-6-4-2246r x q x h x g x f x 61课堂练习：课堂练习：1.1.利用初等变换做出函数利用初等变换做出函数 的图像。的图像。 1) 12sin(21xy的图像。利用变换法作出函数252. 2xxy624321-1-2-3-4-6-4-2246f x 634321-1-2-3-4-6-4-2246g x f x

26、644321-1-2-3-4-6-4-2246h x g x f x 652.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-2-1123q x h x g x f x 662.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-2-1123r x q x h x g x f x 67212252. 2xxxy6887654321-1-6-4-2246s x r x q x h x g x f x 2-369703.3.函数的一些性质函数的一些性质有界性有界性奇偶性奇偶性单调性单调性周期性周期性71无无界界有有界界，证证明明：例例xxyxxy11. 1272的有界性。的有界性。：讨

27、论函数：讨论函数例例2112xy73。有有下下界界所所以以，则则值值，都都有有内内的的一一切切解解：在在函函数数定定义义域域（11. 110)0222111xxxyxx.111, 1121122MxMMyxx或或有有定定义义域域内内的的一一切切值值，都都使使得得对对函函数数有有上上界界，则则必必存存在在如如果果但此式不能成立。但此式不能成立。.11.1111111M222无无上上界界所所以以这这时时，就就有有时时，只只要要因因为为当当xyMxMxMx7475注意：注意：P117第二自然段。第二自然段。7677周周期期。的的公公倍倍数数为为它它们们的的一一个个和和上上的的周周期期函函数数，则则它

28、它们们的的和和与与积积也也是是为为有有理理数数，若若分分别别是是它它们们的的正正周周期期。、上上的的周周期期函函数数，都都是是集集合合与与定定理理：设设21TT2121TTMTTM)()(21xfxf函函数数的的情情形形。定定理理推推广广到到任任意意有有限限个个利利用用数数学学归归纳纳法法，可可把把为为周周期期的的函函数数。是是以以同同理理可可证证，数数。的的公公倍倍数数）为为周周期期的的函函、（是是以以即即。有有则则对对任任意意的的为为正正整整数数）。记记、证证明明：设设T)()(TTT)()()()()T()T()()(,TTT(2121212122112121TT21xfxfxfxfxf

29、xfqxfpxfTxfTxfMxqpqppq78的的一一个个周周期期。练练习习：求求xxxxf4sin2cos2sin)(思考：思考：y=xcosx是否为周期函数。是否为周期函数。794.4.关于函数的高考试题选讲关于函数的高考试题选讲v为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用可使用2020年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为为6 6万元。该建筑物每年的能源消耗费用万元。该建筑物每年的能源消耗费用C C（单位：（单位：万元）与隔热层厚度万元）与隔热层厚度x x（单位：（单位：cmcm）