高数重积分复习学习教案

1、会计学1高数重积分复习高数重积分复习第一页，编辑于星期三：七点 二十六分。2定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数，将上的有界函数，将闭区域闭区域 D 任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的面积，个小闭区域，也表示它的面积，在每个在每个i 上任取一点上任取一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，1、二重积分的定义第1页/共45页第二页，编辑于星期三：七点 二十六分。3如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直

2、径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第2页/共45页第三页，编辑于星期三：七点 二十六分。4性质当 为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 、二重积分的性质第3页/共45页第四页，编辑于星期三

3、：七点 二十六分。5性质对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性质 若 为D的面积.1 DDdd 性质若在D上，),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 第4页/共45页第五页，编辑于星期三：七点 二十六分。6设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的最上的最大值和最小值，大值和最小值， 为为 D 的面积，则的面积，则 DMdyxfm ),( （二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）性质 设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域D上连续，上连续， 为为D的

4、面积，则在的面积，则在 D 上至少存在一点上至少存在一点),( 使得使得 ),(),(fdyxfD.性质（二重积分中值定理）第5页/共45页第六页，编辑于星期三：七点 二十六分。7、二重积分的计算,:bxaD ).()(21xyx X型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下第6页/共45页第七页，编辑于星期三：七点 二十六分。8 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).(

5、)(21yxy Y型第7页/共45页第八页，编辑于星期三：七点 二十六分。9.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）极坐标系下第8页/共45页第九页，编辑于星期三：七点 二十六分。10.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 D).(0 r 2)sin,cos(Drdrdrrf 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd,20:3 D).(0 r第9页/共45页第十页，编辑于星期三：七点 二十六分。115、二重积分的应用(1) 体积的体积为的体积为之间直柱体之间直柱

6、体与区域与区域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(设S曲面的方程为：).,(yxfz 曲面S的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面积第10页/共45页第十一页，编辑于星期三：七点 二十六分。12当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心为为(3) 重

7、心第11页/共45页第十二页，编辑于星期三：七点 二十六分。13薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连续，平面薄片对于上连续，平面薄片对于x轴和轴和y轴的转动惯量为轴的转动惯量为(4) 转动惯量第12页/共45页第十三页，编辑于星期三：七点 二十六分。14薄片对轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处

8、处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于z 轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数(5) 引力第13页/共45页第十四页，编辑于星期三：七点 二十六分。156、三重积分的定义设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区

9、域1v ，2v ,nv ，其中，其中nv 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的个小闭区域，也表示它的体积体积, 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, 如果当各如果当各小闭区域的直径中的最大值小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的三重积分，记为上的三重积分，记为 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .第14页/共45页第十五页，编辑于星期三：七点 二十六分。167、三重积分的几

10、何意义表示空间区域的体积表示空间区域的体积时时当当 Vdvzyxf,1),(8、三重积分的性质类似于二重积分的性质第15页/共45页第十六页，编辑于星期三：七点 二十六分。179、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐标第16页/共45页第十七页，编辑于星期三：七点 二十六分。18 .,sin,coszzryrx () 柱面坐标.),si

11、n,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv 第17页/共45页第十八页，编辑于星期三：七点 二十六分。19,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐标第18页/共45页第十九页，编辑于星期三：七点 二十六分。2010、三重积分的应用. dvM 其中其中,1 dvxMx 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体的的重重心心为为() 重心,1 dvyMy .1

12、 dvzMz 第19页/共45页第二十页，编辑于星期三：七点 二十六分。21,2 dvzIxy () 转动惯量 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体对对坐坐标标面面,坐坐标标轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量为为,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 第20页/共45页第二十一页，编辑于星期三：七点 二十六分。22D二、典型例题例1解X-型. 21,1: xxyxD

13、第21页/共45页第二十二页，编辑于星期三：七点 二十六分。23例2解1D2D3D先去掉绝对值符号，如图 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 第22页/共45页第二十三页，编辑于星期三：七点 二十六分。24例3解 ,22,20:2axyxaxaxD,321三部分三部分及及分成分成将积分区域将积分区域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD 第23页/共45页第二十四页，编辑于星期三：七点 二十六分。25;2,22:22ayaaxayD ;0,2:223ayaxyaaD .),(),(),(2022220222222 ayaaaaayaayaaay

14、adxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故故第24页/共45页第二十五页，编辑于星期三：七点 二十六分。26例4解).2922(3 a第25页/共45页第二十六页，编辑于星期三：七点 二十六分。27例5解,yxvyxu 令令.2,2uvyvux 则则,DD Dxyo1 yxD uvovu vu 1 v. 11;0;0 vyxvuyvux即即第26页/共45页第二十七页，编辑于星期三：七点 二十六分。28),(),(vuyxJ ,2121212121 DdudvJvuIcos故故 vvduvudvcos2110. 1sin211sin22110 vdv第27页/共45页第二十八页，编辑于星

15、期三：七点 二十六分。29例6 证Dxy bbaa第28页/共45页第二十九页，编辑于星期三：七点 二十六分。30例7 解,ABEDxoy 面上的投影为梯形面上的投影为梯形在在 为顶的柱体为顶的柱体以梯形以梯形为底，为底，是以梯形是以梯形ACFDABED ,轴轴所在平面过所在平面过梯形梯形xACFD, 0 zy 设其方程为设其方程为xyzO第29页/共45页第三十页，编辑于星期三：七点 二十六分。31. 02,)2 , 1 , 1( yzC得其方程为得其方程为点点又因过又因过. 21;0;20: xxyyz第30页/共45页第三十一页，编辑于星期三：七点 二十六分。32例8 解利用球面坐标奇函

16、数，奇函数，的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),(. 0 xdv有有 zdvdvzx)( 1024020sincosdrrrdd.8 第31页/共45页第三十二页，编辑于星期三：七点 二十六分。33例 解法法，故采用先二后一，故采用先二后一为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面被积函数仅为被积函数仅为2221)(zyxzDz 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 第32页/共45页第三十三页，编辑于星期三：七点 二十六分。34例10 证思路：从改变积分次序入手第33页/共45页第三十四页，编辑于星期三：七点 二十六分。35一、选择题一、选择题: :

17、 1 1、 xdyyxfdx1010),(=( )=( ) (A) (A) 1010),(dxyxfdyx； (B) (B) xdxyxfdy1010),(； (C) (C) 1010),(dxyxfdy； (D) (D) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、设、设D为为222ayx , ,当当 a( )( )时时, , Ddxdyyxa222. . (A) 1 (A) 1 ； (B) (B) 323 ； (C) (C) 343； (D) (D) 321 . .测 验 题第34页/共45页第三十五页，编辑于星期三：七点 二十六分。36 3 3、当、当D是是( )( )围成的区域时围成

18、的区域时, ,二重积分二重积分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x轴轴, ,y轴及轴及022 yx；( (B)B)31,21 yx ； (C) (C)x轴轴, ,y轴及轴及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值为的值为( ).( ).其中区域为其中区域为D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 .第35页/共45页第三十六页，编辑于星期三：七点 二十六分。37 5 5、设设 DdxdyyxI)(22, ,其其中中D由由222ayx 所所 围围成成, ,

19、则则I= =( ( ) ). . ( (A A) )40220ardrada ; ;( (B B) )4022021ardrrda ; ; ( (C C) )3022032adrrda ; ;( (D D) )402202 aadrada . . 6 6、设设 是是由由三三个个坐坐标标面面与与平平面面zyx 2= =1 1 所所围围成成的的 空空间间区区域域, ,则则 xdxdydz= =( ( ) ). . ( (A A) ) 481 ； ( (B B) ) 481 ； ( (C C) ) 241 ； ( (D D) ) 241 . .第36页/共45页第三十七页，编辑于星期三：七点 二十六

20、分。38 7 7、设、设 是锥面是锥面, 0(222222 abyaxcz)0, 0 cb与平面与平面 czyx , 0, 0所围成的空间区域在第一卦限所围成的空间区域在第一卦限的的 部分部分, ,则则 dxdydzzxy=( ).=( ). (A) (A) cba22361； (B) (B) bba22361； (C) (C) acb22361； (D) (D) abc361. . 8 8、计算、计算 zdvI, ,其其1,222 zyxz为为中中围成的围成的 立体立体, ,则正确的解法为则正确的解法为( )( )和和( ).( ).第37页/共45页第三十八页，编辑于星期三：七点 二十六分

21、。39 9 9、曲面、曲面22yxz 包含在圆柱包含在圆柱xyx222 内部的那内部的那 部分面积部分面积 s( ).( ).(A)(A) 3； (B) (B) 2；(C)(C) 5； (D) (D) 22. . 10 10、由直线、由直线2, 2, 2 yxyx所围成的质量分布均匀所围成的质量分布均匀 ( (设面密度为设面密度为 ) )的平面薄板的平面薄板, ,关于关于x轴的转动惯量轴的转动惯量 xI= =( ).( ). (A) (A) 3； (B) (B) 5； (C) (C) 4； (D) (D) 6. . (A) (A) 101020zdzrdrdI；(B)(B) 11020rzdz

22、rdrdI； (C) (C) 11020rrdrdzdI； (D) (D) zzrdrddzI02010. .第38页/共45页第三十九页，编辑于星期三：七点 二十六分。40二、计算下列二重积分二、计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )(22, ,其中其中D是闭区域是闭区域: : .0 ,sin0 xxy 2 2、 Ddxy arctan, ,其中其中D是由直线是由直线0 y及圆周及圆周 1, 42222 yxyx, ,xy 所围成的在第一象所围成的在第一象 限内的闭区域限内的闭区域 . . 3 3、 Ddyxy )963(2, ,其中其中D是闭区是闭区 域域: :222Ryx 4 4

23、、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .第39页/共45页第四十页，编辑于星期三：七点 二十六分。41三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: : 1 1、 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(； 2 2、 21110),(xxdyyxfdx； 3 3、 00)sin,cos(rdrrrfda. .四、将三次积分四、将三次积分 yxxdzzyxfdydx),(110改换积分次序为改换积分次序为 zyx. .五、计算下列三重积分五、计算下列三重积分: : 1 1、 ,)cos(dxdydzzxy: :抛物柱面抛物柱面xy 2, zxozoy及及平平面面所围成的区域所围成的区域 . .第40页/共45页第四十一页，编辑于星期三：七点 二十六分。42 2 2、,)(22 dvz