高数正弦级数和余弦级数学习教案

1、会计学1高数正弦级数和余弦级数高数正弦级数和余弦级数第一页，编辑于星期三：七点 二十五分。(1)(1)当周期为当周期为 2的奇函数的奇函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann定理 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.第1页/共22页第二页，编辑于星期三：七点 二十五分。(2)(2)当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级展开成傅里叶级数时数时, ,它的傅里

2、叶系数为它的傅里叶系数为), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann证明,)()1(是是奇奇函函数数设设xf nxdxxfancos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n奇函数第2页/共22页第三页，编辑于星期三：七点 二十五分。 0sin)(2nxdxxf), 3 , 2 , 1( n同理可证(2)定义 如果如果)(xf为奇函数为奇函数, ,傅氏级数傅氏级数nxbnnsin1 称为称为正弦级数正弦级数. .如果如果)(xf为偶函数为偶函数, , 傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数. . nxdxxfbnsin

3、)(1偶函数定理证毕.第3页/共22页第四页，编辑于星期三：七点 二十五分。解所给函数满足狄利克雷充分条件.,), 2, 1, 0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx2)0()0( ff收敛于收敛于2)( , 0 ),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 第4页/共22页第五页，编辑于星期三：七点 二十五分。 2 2 3 3xy0,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx和函数图象), 2 , 1 , 0(, 0 nan第5页/共22页第六页，编辑于星期三：七点 二十五分。 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2n

4、nxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n第6页/共22页第七页，编辑于星期三：七点 二十五分。观察两函数图形第7页/共22页第八页，编辑于星期三：七点 二十五分。解所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续.,)( 为偶函数为偶函数tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E), 2 , 1( n第8页/共22页第九页，编辑于星期三：七点 二十五分。 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12, 02, 1)2(42knknkE当当当当), 2 , 1(

5、 k 01)1cos(1)1cos(ntnntnE第9页/共22页第十页，编辑于星期三：七点 二十五分。 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE, 0 第10页/共22页第十一页，编辑于星期三：七点 二十五分。非周期函数的周期性开拓,0)(0)()( xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况. 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓第11页/共22页第十二页，编辑于星期三：七点 二十五分。奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x第12页/共22页第十三页，编辑

6、于星期三：七点 二十五分。偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 第13页/共22页第十四页，编辑于星期三：七点 二十五分。解(1)求正弦级数.,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn当当当当第14页/共22页第十五页，编辑于星期三：七点 二十五分。3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x第15页/共22页第十六页，编辑于

7、星期三：七点 二十五分。(2)求余弦级数.,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x第16页/共22页第十七页，编辑于星期三：七点 二十五分。第17页/共22页第十八页，编辑于星期三：七点 二十五分。1、基本内容:奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;第18页/共22页第十九页，编辑于星期三：七点 二十五分。练习题第19页/共22页第二十页，编辑于星期三：七点 二十五分。三、三、 将以将以 2为周期的函数为周期的函数2)(xxf 在在),( 内展开成内展开成傅里叶级数傅里叶级数, ,并求级数并求级数 01121)1(nnn的和的和 . .四、四、 证明证明: :当当 x0时时, , 1222624cosnxxnnx. .第20页/共22页第二十一页，编辑于星期三：七点 二十五分。一、一、nxnnnxfnnsin2sin2)1()(121 . . ), 2, 1, 0,)12( nnx二、二、nxnn