浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程

1、 1 第八章第八章 平面解析几何平面解析几何 深研高考备考导航 为教师备课、授课提供丰富教学资源 五年考情 考点 2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年 直线的倾斜角与斜率、直线的方程、距离 17,4 分(文) 15,4 分(理) 3,5 分(理) 4,5 分(文) 圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 10,6 分(文) 14,4 分(理) 14,4 分(文) 5,5 分(文) 21(1)，16 分(理) 13,4 分(文) 16,4 分(理) 17,4 分(文) 椭圆的标准方程及其性质 7,5 分(理) 19,5 分(理) 7,5 分(文) 15,4

2、 分(文) 21(1)，7 分(理) 9,5 分(理) 21,15 分(理) 21(1)，7 分(理) 8,5 分(文) 双曲线的标准方程及其性质 7,5 分(理) 13,4 分(文) 9,6 分(理) 16,4 分(理) 17,4 分(文) 9,5 分(理) 9,5 分(文) 8,5 分(理) 抛物线的标准方程及其性质 9,4 分(理) 5,5 分(理) 15,4 分(理) 16,4 分(理) 直线与圆锥曲线的位置关系及圆锥曲线的综合应用 19,15 分(理) 19,15 分(文) 19,15 分(理) 19,15 分(文) 21,15 分(理) 22,7 分(文) 22(2)，9 分(理)

3、 22,14 分(文) 21(2)，8 分(理) 22,15 分(文) 重点关注 综合近 5 年浙江卷高考试题， 我们发现高考主要考查直线的方程、 圆的方程、 直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的考查 2 第一节第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (2)范围

4、：直线l倾斜角的取值范围是0，) 2斜率公式 (1)直线l的倾斜角为 90，则斜率ktan_. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率ky2y1x2x1. 3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含直线xx0 斜截式 ykxb 不含垂直于x轴的直线 两点式 yy1y2y1xx1x2x1 不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2) 截距式 xayb1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 AxByC0，A2B20 平面内所有直线都适用 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)根据直线

5、的倾斜角的大小不能确定直线的位置( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程yy0k(xx0)表示( ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)若直线l与直线y1，x7 分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为( ) 3 A.13 B13 C32 D.23 B B 设P(x,1)，Q(7，y)，则x721，y121， x5，y3，即P(5,1)，Q(7，

6、3)， 故直线l的斜率k317513. 3已知直线l过圆x2(y3)24 的圆心，且与直线xy10 垂直，则直线l的方程是( ) Axy20 Bxy20 Cxy30 Dxy30 D D 圆x2(y3)24 的圆心为点(0,3)， 又因为直线l与直线xy10 垂直， 所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30. 4直线l：axy2a0 在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_. 【导学号：51062257】 1 或2 令x0，则l在y轴上的截距为 2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为 12a. 依题意 2a12a，解得a1 或a2. 5(2017湖州模拟)过点P(2,3)，并

7、且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为_ 3x2y0 或xy10 当直线过原点时，方程为y32x，即 3x2y0. 当直线l不过原点时，设直线方程为xaya1. 将P(2,3)代入方程，得a1， 所以直线l的方程为xy10. 综上，所求直线l的方程为 3x2y0 或xy10. 直线的倾斜角和斜率 (1)直线xycos 10(R R)的倾斜角的取值范围是_ (2)(2017舟山模拟)若直线l过点P(3,2)，且与以A(2，3)，B(3,0)为端点的 4 线段相交，则直线l的斜率的取值范围是_ (1)4，34 (2)5，13 (1)当k2(kZ Z)时，cos 0，直线为x10，其倾斜角为

8、2. 当k2(kZ Z)时，直线l的斜率为 tan 1cos (，11，)， 所以直线l的倾斜角的取值范围是4，22，34. 综上，的取值范围是4，34. (2)因为P(3,2)，A(2，3)，B(3,0)，则kPA3225， kPB02313. 如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为5，13. 规律方法 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是0，)，斜率的取值范围是 R R. (2)正切函数在0，)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围 2第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确计算； (2)数形结合写出斜率的范围

9、，切莫误认为k5 或k13. 变式训练 1 (1)直线l经过点A(1,2)， 在x轴上的截距的取值范围是(3,3)， 则其斜率k的取值范围是( ) A1k15 Bk1 或k12 Ck15或k1 Dk12或k1 5 (2)直线l经过点A(3,1)，B(2，m2)(mR R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是_. 【导学号：51062258】 (1 1)D D (2 2) 4，2 (1)设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，直线在x轴上的截距为 12k. 令312k3，解不等式得k1 或k12. (2)直线l的斜率k1m2321m21，所以ktan 1. 又ytan 在0，2上是增函数，因

10、此42. 求直线的方程 (1)过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的13的直线方程为_ (2)若A(1，2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程 (1)4x3y130 设所求直线的斜率为k，依题意 k41343. 又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为 y343(x1)，即 4x3y130. (2)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a. 由题意得M(3,2).2 分 若a0，即l过点(0,0)和(3,2)， 所以直线l的方程为y23x，即 2x3y0.6 分 若a0，设直线l的方程为xaya1， 因为直线l过点M(3,2)，所以3a2a1

11、，10 分 所以a5，此时直线l的方程为x5y51，即xy50. 综上，直线l的方程为 2x3y0 或xy50.14 分 6 法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y2k(x3).2 分 令y0，得x32k；令x0，得y23k.6 分 所以 32k23k，解得k1 或k23.10 分 所以直线l的方程为y2(x3)或y223(x3)， 即xy50 或 2x3y0.14 分 规律方法 1.截距可正、可负、可为 0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为 0”的情况，以防漏解 2求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法运用待定系数法要先设出直线

12、方程，再根据条件求出待定系数利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要 变式训练 2 求过点A(1，3)且倾斜角等于直线y3x的倾斜角的 2 倍的直线方程 解 由已知设直线y3x的倾斜角为，2 分 则所求直线的倾斜角为 2.6 分 tan 3， tan 22tan 1tan234.10 分 又直线经过点A(1，3)， 因此所求直线方程为y334(x1)，即 3x4y150.14 分 直线方程的综合应用 已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点求： (1)当|OA|OB|取得最小值时，直线l的方程； (2)当|MA|2|MB|

13、2取得最小值时，直线l的方程 解 (1)设A(a,0)，B(0，b)(a0，b0) 设直线l的方程为xayb1，则1a1b1， 所以|OA|OB|ab(ab)1a1b2baab22baab4，3 分 当且仅当ab2 时取等号，此时直线l的方程为xy20.5 分 (2)设直线l的斜率为k，则k0，直线l的方程为y1k(x1)， 7 则A11k，0 ，B(0,1k)，8 分 所以|MA|2|MB|2111k21212(11k)22k21k222k21k24.11 分 当且仅当k21k2，即k1 时，上式等号成立 所以当|MA|2|MB|2取得最小值时，直线l的方程为xy20.14 分 规律方法 1

14、.求解本题的关键是找出|OA|OB|与|MA|2|MB|2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件 2利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式 变式训练 3 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？ 解 由 ax2y2a4，2xa2y2a24，得xy2，2 分 直线l1与l2交于点A(2,2)(如图) 易知|OB|a22，|OC|2a，6 分 则S

15、四边形OBACSAOBSAOC122(a22)122(2a)a2a4a122154，a(0,2)，12 分 当a12时，四边形OBAC的面积最小.14 分 8 思想与方法 1求直线方程的两种常见方法： (1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程 (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程 25 种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用 易错与防范 1求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率 2根据斜率求倾斜角，一

16、是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性 3应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为 0. 4由一般式AxByC0 确定斜率k时，易忽视判定B是否为 0.当B0 时，k不存在；当B0 时，kAB. 课时分层训练课时分层训练( (四十三四十三) ) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程 A 组 基础达标 9 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1倾斜角为 135，在y轴上的截距为1 的直线方程是( ) Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 D D 直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1，即xy10. 2设直线axbyc0 的倾

17、斜角为，且 sin cos 0，则a，b满足( ) Aab1 Bab1 Cab0 Dab0 D D 由 sin cos 0，得sin cos 1，即 tan 1. 又因为 tan ab，所以ab1，则ab. 3若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10 表示一条直线，则参数m满足的条件是( ) 【导学号：51062259】 Am32 Bm0 Cm0 且m1 Dm1 D D 由 2m2m30，m2m0，解得m1， 故m1 时方程表示一条直线 4在等腰三角形AOB中，OAAB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( ) Ay13(x3) By13(x3) Cy33

18、(x1) Dy33(x1) D D 设点B的坐标为(a,0)(a0)， 由OAAB，得 1232(1a)2(30)2，则a2， 点B(2,0)，易得kAB3， 由两点式，得AB的方程为y33(x1) 5过点(2,1)，且倾斜角比直线yx1 的倾斜角小4的直线方程是( ) Ax2 By1 Cx1 Dy2 A A 直线yx1 的斜率为1，则倾斜角为34. 10 依题意，所求直线的倾斜角为3442，斜率不存在， 过点(2,1)的所求直线方程为x2. 二、填空题 6直线l与两直线y1，xy70 分别交于P，Q两点，线段PQ中点是(1，1)，则l的斜率是_. 【导学号：51062260】 23 设P(m

19、,1)，则Q(2m，3)， (2m)370，m2， P(2,1)， k112123. 7设点A(1,0)，B(1,0)，直线 2xyb0 与线段AB相交，则b的取值范围是_ 2,22,2 b为直线y2xb在y轴上的截距， 如图，当直线y2xb过点A(1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值， b的取值范围是2,2 8 直线l过点(3,4)， 且在两坐标轴上的截距之和为 12， 则直线l的方程为_ 4xy160 或x3y90 由题意知， 截距不为 0， 设直线l的方程为xay12a1. 又直线l过点(3,4)， 从而3a412a1， 解得a4 或a9.故所求直线方程为 4xy160

20、或x3y90. 三、解答题 9(2017温州模拟)直线l过点(2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|b|，求l的方程 解 若ab0，则直线l过点(0,0)与(2,2)，2 分 直线l的斜率k1，直线l的方程为yx，即xy0.6 分 若a0，b0，则直线l的方程为xayb1， 由题意知 2a2b1，|a|b|，解得 a4，b4，12 分 11 此时，直线l的方程为xy40. 综上，直线l的方程为xy0 或xy40.14 分 10设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR R) (1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 【导学号：51062261】 解 (1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零， a2，方程即为 3xy0. 当直线不过原点时，截距存在且均不为 0， a2a1a2，即a11，3 分 a0，方程即为xy20. 因此直线l的方程为 3xy0 或xy20.6 分 (2)将l的方程化为y(a1)xa2，8 分 a0，a20或 a0，a20，a1.12 分 综上可知，a的取值范围是a1.14 分 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为 2 且|PA|PB|，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程为( ) A2xy70 Bxy50