如何求异面直线所成的角

1、如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作 证 求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1 、在直三棱柱ABC A1B1C1 中， CBA 900,点D, F 分别是 A1C1,A1 B1 的中点，若ABBC CC1 , 求 CD 与 AF 所成的角的余弦值。C 1DA1F解：取 BC 的中点 E ，连结 EF ， DF ， QDF /EC且 DF EC四边形 DFEC

2、为平行四边形EF / DCEFA （或它的补角）为 CD 与 AF 所成的角。设AB2,则EF6，AF5，EA5B1CAEB故EF 2FA 2EA230EFA102EF gFAEFA arccos3010二、中点平移法例 2、在正四面体 ABCD 中 , M , N 分别是 BC , AD 的中点，求 AM 解：连结 MD ，取 MD 的中点 O ，连结 NO ，Q O、 N 分别 MD 、 AD为的中点， NO 为 DAM 的中位线，与 CN 所成的角的余弦值。ANO/ AM ，NONC （或它的补角）为 AM 与 CN 所成的角。设正四面体 ABCD 的棱长为 2，则有 NO3 ，CN3,

3、 CO7 , BD22ONO 2CN 2CO 2M2C故 cos ONC2NO gCN32ONC arccos3精选文库三、特殊点平移法例 3、如图，在空间四边形 ABCD 中，点 E 、F 分别是 BC 、AD 上的点，已知 AB4 ，CD 20，EF 7， AFBE1 ，求异面直线 AB 与 CD 所成的角。FDEC3C解：在 BD 上取一点 G ，使得 BG1 ，连结 EG、FG ，GD3在 BCD 中， BEBG1，故 EG/CD，ECGD3同理可证： FG / / ABEBDFGE （或它的补角）为AB 与 CD 所成的角。Q EG/ /CD，EGBE1,故EG5 ；CDBC4同理可

4、得：FG /AB，且 FGDF3，故FG 3;ABAD4AF在FGE 中，利用余弦定理可得EG 2GF 2EF 23252721cos FGE2EG gGF235,2故 FGE 120 .因为 EG / / CD ， FG / / AB ，所以 EG 与 FG 所成的锐角等于AB 与 CD 所成的角，于是 AB 与 CD 所成的角等于 60 .点评：作两条异面直线所成的角时,我们通常考虑在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点（或特殊点）作另一条直线的平行线,常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的中位线（或利用平行线分线段定理）.四、交线平移法例 4、正三棱柱 ABC A1 B1C1 的

5、各棱长都相等 ,求 AB1 与 BC1 所成的角的余弦值。C 1A1解：取 BB1 的中点 O ， B1C1 的中点 F ， AB 的中点 E ,B 1Q F 、 O分别 B1C1 、 BB1 为的中点，FO 为 B1BC1 的中位线，FO / BC1 ，CA同理可证： OE / AB1BFOE （或它的补角）为AB1 与 BC1 所成的角。设正三棱柱 ABCA1B1C1 的棱长为 2，2精选文库则有 OE OF2， EF22 125OE 2OF 2EF 21cos FOE2OE gOF41所以 AB1 与 BC1所成的角为 arccos.4点评：我们用平移法在其中一条直线所对应线段的顶点或者

6、中点作另一条直线的平行线时 , 这条直线总是跑到图形的外面去 , 此时考虑两条都要平移 . 如何平移呢？关键在于找到这样一条连接两条异面直线所对应线段端点的线段 , 然后在这条线段的中点作这两条异面直线的平行线 ( 如练习中 BB1 )、用补形法作两条异面直线所成的角例 5、如图所示 , 正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 求A1C 与 AD1 所成角的大小 .（法一）补形法解：如图，在正方体ABCDA1B1C1 D1 的上方补上一个同样大小的的正方体A1B1C1 D1A2B2C2 D2 ，连结 A1 D2 .Q AA1 / D1D2 且 AA1D1D2四边形 AD1D 2 A1 为平行四

7、边形A1D2 / AD1CA 1D 2 （或它的补角）为 A1C 与 AD1 所成的角。设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2, 则有 A1D2 22，AC1又因为 CD22A1 D22A1C 2故 A1C 与 AD1 所成角为 90.解：（法二）平移法连结 AC ，取 AC 的中点 O， AA1的中点 E ，A 1A1D1的中点 F , 连结 EF ， EO，EQ E 、 F 分别 AA1 、 A1D1 为的中点，AEF 为A1 AD1 的中位线，D2C2A 2B 2D1C1A 1B 1DCAB8，CD220D1C1FB 1DCOBEF / AD1 ，3精选文库同理可证：OE / AC1FEO （或它的补角）为 A1C 与 AD1 所成的角。连结 FO，设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2, 则有 EF2，EO3，FO5又因为 FO 2EF 2EO 2故 A1C 与 AD1 所成角为 90 .点评：补形法就是在长