八年级数学上册12.4分式方程分式的化简与求值素材(新版)冀教版

1、 分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似， 例如，分式的分母的值不能是零， 即分式只有在 分母不等于零时才有意义； 也像分数一样，分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于 零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据在分式运算中， 主要是通过约分和通分来化简分式， 从而对分式进行求值. 除此之外，还要根据分式的具体 特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值. 例1化简分式： 2a2 + 3a + 2 a2 - a - 5 風 + 1 a + 2 3a2 - 4a - 5 2aJ -8a 5 a 2 3 分析：直接通分计算较繁，

2、先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式， 再化简将简 便得多. 3a2 - 6a + 2a - 4 -1 -6a - 2a + 6 - 1 - + - a - 2 - a - 3 -2)(玄一耳仗+ 1)丰2) (a + l)(a + 2)(a - 2)(a - 3) 8a + 4 (a+ D(a + 2Xa-2Xa-3J 说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式.解原式二 2aa 4-2a4-a + l + l a. +1 a2 + 2a-3a_6+l a + 2 a + 1 -(3a 4-2) a - -(a - 3) + - a + 2 1 + (2a-2) =(2a

3、+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2) : a + 1 a + 2 a - 2 a - 3 1 -1 2 例2求分式 1 1 2 4 8 16 当a=2时的值. 分析与解 先化简再求值直接通分较复杂，注意到平方差公式: 2 2 a -b =(a+b)(a-b)， 可将分式分步通分，每一步只通分左边两项. 百+ ，2 t 4 , 8 , 16 (i-a)(i + a) 口 TT7- W- TT 4 4 , 8 , 16 1-a + FT? + 177 + 1+ a16 5 8 16 16 16 匸孑 1+a3 12 l-aK l + als 32 _ 32 的值 若abc=1，求 分析：

4、本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂下面介绍几种简单的解法. 解法1：因为abc=1,所以a, b, c都不为零. 原式= - + ab + a + 1 b ab -+ be + b + 1 ab ca + c + 1 2(1 + /) +2(17) 4 8 16 (l-aa)(l + aa) * 1 + a* 1 + + 1 + a16 3 ab abc a ab + a + 1 abc + ab + a abca + abc + ab a aV 1 - + - + - - - ab + a + 1 1 + at + a a + 1 + ab a + ab + 1 - =L, ab

5、+ a + 1 解法 2 因为 abc=1,所以 0, b*0, CM0. 4 1 b be b + 1 + be be + b + 1 bca + be +b b be - + - be + b +1 - 1 + be + b 前后两个分式中就有可以相互消掉的一对相反数， 这种化简得方法叫“拆项相消”法， 它是 分式化简中常见的技巧 例5化简计算（式中a, b，c两两不相等）: 2a - b - c a2 - ab - ac + be 2c a - b 2a - b - c 分析：本题关键是搞清分式 、 -1 的变形，其他两项是类似的，对于这个 原式= ab 4-a + abc b + 1

6、+ be b + 1 + be b + -be + b + 1 b be be + b + 1 I + be + b 例4化简分式： I x2 + 3x + 2 x2 + 5s + 6 x2 + 7x + 12 1 be 十亡 分析与解 三个分式一齐通分运算量大， 可先将每个分式的分母分解因式， 然后再化简. (x + 3)0 + 4) 1 1 1 1 1 1 x+1 x + 2 x+2 x + T x + 3 x+47 1 1 3 _ _ =. _ x + 1 x + 4 x1 + 5x + 4 说明：本题在将每个分式的分母因式分解后, 各个分式具有 的一般形 (x n)(x n+1) 式，

7、与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成 1 (x n) 1 (x n+1) 两项，这样, 2b - c i 乱 j- + b - ab - be + ac 4 解法3由abc = L 将之代入原式 5 分式，显然分母可以分解因式为 (a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面 的解法. (a - b) + (a c) (b - c) + (b - a) + (c - a) + (c - b) (a - b)(a -c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b) 例6 已知：x+y+z=3a(a丰0,且 x, y, z不全相等)，求 (x -

8、a)(y a) + (y - _ a) + (g - a)(x _ Q (x - a)2 十(y _ a)2 + (z _ a)2 分析：本题字母多，分式复杂.若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0 ，那么题目只与x-a , y-a , z-a有关，为简化计算，可用换元法求解. UV + VW + WU 解：令 x-a=u , y-a=v , z-a=w，则分式变为 十 1 ，“一 且由已知有11 + V + V7 = 0. + V + W = 0两边平方得 2 2 2 u +v +w+2(uv+vw+wu)=0 . 由于x, y, z不全相等，所以u, v, w不全为零，所以u2

9、+v2+W0,从而有 UV + VW + WU 1原式= A + B 1 1 - 一 + 说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用 豈二 J的变形技巧 6 ,开* -6P -2 +12科+ 23 求分式 -8 + 15 分折 直按将x的值代入原式乎值，计算繁琐，可检 土9 站 简分式后再计算求值. 解 K = = 6-2* 4* 73 + 3 =4 -羽, 所以盟-4 = J,所以 (x-4) =3,即卩 x-8x+13 = 0. X +1 iri X2 + 1 和一 分析：原式中只出现了 ： 的形式, 换元法. 1 1 而且 X? =(X - _)2 - X X 2 ,因此可用 适当

10、变形，化 7 _ 43 2 3 2 2 原式分子=(x -8x +13x )+(2x -16x +26x)+(x -8x+13)+108 =10, 原式分母=(X2-8X+13)+2=2 , 斯以 原式諾 说明本例的解法采用的是整体代入的方法， 这是代入消元法的一种特殊类型， 应用得 当会使问题的求解过程大大简化. 例g 若小弋土士小址,求空如泌也的值 c b a abc 解法1利用比例的性质解决分式问题. 若a+b+cz0,由等比定理有 a + b - c a - b + c a + b + c c b a (a+ b - c) + (a - b + c) + c) a + b + c =1

11、, 所以 a+b-c=c , a-b+c=b , _a+b+c=a , 于是有 若a+b+c=0,则 a+b=-c , b+c=-a , c+a=-b , 于是有 (a + b)(a + c)(b 4- c) _ -= - ， - - 1 abc abc 说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求 解. 解法2设参数法.令 a + b - c a- b + c - a + b 4- c - = - - -= - =k* c b a 贝U (a + b)(a + c)(b + c) abc 2c 2b * 2a abc 9 a+b=(k+1)c， a+c=(k+1)b， b+c=(k+1)a . +有 2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c), 所以(a+b+c)(k-1)=0 , 故有 k=1 或 a+b+c=0. 当k=1时， (a + b)(b + c)(c + a) 2c 2a 2b - - = 8. abc abc (a + tX + c) (c + a) c)(a)(b) - = - e - - 1. abc a