现代控制理论PartPPT学习教案

1、会计学1( )( )(0)tAtI( ) t状态转移矩阵满足n n的矩阵，也称为矩阵指数函效，简称矩阵指数。 00( )( )Atx tt xe x 0111( )2!Atk kk kkteIAtA tA tkk结论结论1：前式系统的零输入响应表达式为其中通过假定20120( )kkkx tbbtb tb t代入系统方程中确定参数获得，并利用零时刻的状态条件 状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数Ate第1页/共101页长的帅，其实还还不如长的普通一点。长的帅的男生，很少有机会有追到漂亮女生。 反而是那些长的普通一点

2、的，有点肉的那一型，往往一试惊人。 帅哥的悲哀，往往在于长的太帅，被美眉误认为花心，而对其有警戒心，然而大部分的帅哥都很纯情的。长相令人觉得安全的猪头男， 其实是最不安全的，用一句话形容猪头男的绝招是最恰当不过了扮猪吃老虎。 在这年头， 美女往往被猪头男扒到。真正的帅哥只好去配恐龙。这样下去。不出一百年。地球上的俊男美女会越来越少。 有点肉的那一型， 有点肩膀， 靠起来很舒服的。脸上有明显的 v 字型。这类average looking 的男生， 机会往往特别多。同时， 追女孩子也特别容易成功。他们的桃花运最强。 猪头容易成功的原因有很多： 第一点， 是扮老实纯情 第二点， 是厚脸皮 这两点相

3、加。那种爱你一生一世的肉麻话， 随时都说的出口。扮老实， 所以讲这一类花言巧语，特别容易令人相信。厚脸皮，所以甜言蜜语说的永远不脸红。假的都能说成真的。 第三点， 美女永远都相信，她临幸猪头，猪头就会感激的痛哭流涕，甚至以身相许。因为也许除了她，就不会有人看上猪头了。 这一点是一种令人百思不得其解的神话。因为，以我长期观察，猪头之所以叫猪头，他们非凡的变心能力是令人惊讶的。美眉们的这种想法大概是出于母爱本能吧。第四点，当猪头察觉成功机率小与失败机率时，猪头们往往不浪费子弹，马上转移目标。根据统计学，你的尝试越多，命中目标的机会越大。 至于帅哥失败的机会较大， 有一部份是女孩的警戒心。 长的帅。

4、当你想约女孩子出来时，女孩容易对你起戒心，你所费的功夫就多一些。因为长的帅， 你成了众女士心中的花瓶， (花瓶不是女人的专利0) 你的一举一动往往在许多人的观察之中，也因此，(长的帅的朋友要注意咯) 特别容易受到朋友亲戚的关爱。因此，帅哥不敢说甜言蜜语，害怕所说的话被广播，甚至被原音重现。 而且帅哥，既然身为为帅哥，自然很注重形象，因此脸皮薄。不敢有大动作，更不会死缠烂打， 因此当和猪头同台竞技时，往往未出手就先输一半。如此一来， 帅哥往往不容易追到美眉。因此被猪头追走。奉劝各位帅哥， 形象诚可贵， 爱情价更高。在如此激烈竞争的今日社会， 幽雅的动作， 是很难成功的。 身为帅哥， 是好是坏，

5、有两种解释 当帅哥看到镜子中的自己时， 是自信满满的。 当帅哥看到猪头旁的美眉时， 是充满遗憾的。 身为猪头， 是好是坏， 也有两种解释 当猪头看到镜子中的自己时， 是充满遗憾的。当猪头看到帅哥旁的恐龙时， 是自信满满的喝的是啤酒，这时你入座了 你给自己倒了杯可乐，这叫低配置。 你给自已倒了杯啤酒，这叫标准配置。 你给自己倒了杯茶水，这茶的颜色还跟啤酒一样，这叫木马。 你给自己倒了杯可乐，还滴了几滴醋，不仅颜色跟啤酒一样，而且不冒热气还有泡泡，这叫超级木马。 你的同事给你倒了杯白酒，这叫推荐配置。 人到齐了，酒席开始了。 你先一个人喝了一小口，这叫单元测试。 你跟旁边的人说哥们咱们随意，这叫交

6、叉测试。 但是他说不行，这杯要干了，这叫压力测试。 于是你说那就大家一起来吧，这叫内部测试。 这个时候boss向全场举杯了，这叫公开测试。 菜过三巡，你就不跟他们客气了。 你向对面的人敬酒，这叫p2p. 你向对面的人敬酒，他回敬你，你又再敬他，这叫tcp. 你向一桌人挨个敬酒，这叫令牌环。 你说只要是兄弟就干了这杯，这叫广播。 可是你的上司jj听了不高兴了，只有兄弟么，罚酒三杯。这叫炸弹。 可是你的下级mm听了不高兴了，我喝一口，你喝一杯，这叫恶意攻击。 有一个人过来向这桌敬酒，你说不行你先过了我这关，这叫防火墙。 你的小弟们过来敬你酒，这叫一对多。 你是boss，所有人过来敬你酒，这叫服务器

7、。 酒是一样的，可是喝法是不同的。 你喝了一杯，boss喝了一口，这叫c#。 你喝了一杯，mm喝了一口，这叫vb。 你喝了一杯，你大哥喝了半杯，这叫c+。 你喝了半杯，你小弟喝了一杯，这叫汇编。 你喝了一杯，你的搭档也喝了一杯，这叫c。 酒是一样的，可是喝酒的人是不同的。 你越喝脸越红，这叫频繁分配释放资源。 你越喝脸越白，这叫资源不释放。 你已经醉了，却说我还能喝，叫做资源额度不足。 你明明能喝，却说我已经醉了，叫做资源保留。 你喝一段时间就上厕所，这叫cache。 酒过三巡，你也该活动活动了。 你一桌一桌的走，这叫轮巡。 你突然看到某一桌的漂亮mm，走了过去，这叫优先级。 你去了坐下来就不

8、打算走了，这叫死循环。 你的老大举杯邀你过去，你只好过去，这叫激活事件。 你向一桌敬酒，他们说不行不行我们都喝白的，于是你也喝白的，这叫本地化。 你向boss敬酒，可是boss被围了起来，你只能站在外圈，这叫排队。 你终于到了内圈，小心翼翼的向前一步，这叫访问临界区。 你拍着boss的肩膀说哥们咱们喝一杯，这叫越界。 你不知喝了几圈了，只会说两个字，干了，这叫udp。 可是还有人拿着酒瓶跑过来说，刚才都没跟你喝，这叫丢包。喝酒喝到最后的结果都一样 你突然跑向厕所，这叫捕获异常。 你在厕所吐了，反而觉得状态不错，这叫清空内存。 你在台面上吐了，觉得很惭愧，这叫程序异常。 你在boss面前吐了，觉

9、得很害怕，这叫系统崩溃。 你吐到了boss身上，只能索性晕倒了，这叫硬件休克 第2页/共101页2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵 0000( , )( )( , )( , )t tA tt tt tI的解。0( , )t t定义定义2.1 2.1 时变系统状态转移矩阵是满足如下矩阵微分方程和初始条件重要性质：重要性质： ( , )t tI211020( , )( , )( , )t tt tt t 100( , )( , )t tt t A0( , )t t给定后， 唯一；第3页/共101页变系统状态转移矩阵的公式 100001221( , )( )( )()ttttt

10、t tIAdAAdd只有当 00( )( )( )( )ttttA tAdAdA t（矩阵乘法可交换 ）时00( ,)exp( )ttt tAd有Caley-Hamilton定理定理 111( ) |0nnnnIAaaa 111( )OnnnnAAa AaAa I考虑nn维矩阵A及其特征方程则第4页/共101页12( )()()()n 121nP APO111112()(I)(I)(I)nP APP APP APP AP证明：证明：A一般地任意n阶矩阵与三角矩阵相似，即可得( ) 为改写第5页/共101页1221110OO0nnnnn13123211300000O00O0nnnnn 0000

11、1( )OPA P第6页/共101页Ate的计算分析方法 2.2.1 方法一：直接计算法方法一：直接计算法(矩阵指数函数矩阵指数函数)2 23 3012!3!Atk kkA tA teIAtA tk可证明，对常数矩阵A和有限t值来说，该无穷级数是收敛的。 2.2.2 方法二：对角线标准形与方法二：对角线标准形与Jordan标准形法标准形法 121100nttAttteeePe PPPeAte若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么可由下式给出式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。 第7页/共101页1AtJtePe PA类似地，若矩阵可变换为Jordan标准形，则Ate可由下式确定出 A01

12、0001133A 例例2.1 2.1 考虑如下矩阵 解解 该矩阵的特征方程为323|331(1)0IA A1因此，矩阵有三个相重特征值。 第8页/共101页将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为 100110121P1100110121P P矩阵的逆为1100010100110110001110011121133121001P APJ 第9页/共101页212000tttJ ttttetet eeetee1AtJtPPee211001002110011012100121ttttttetet eetee22222222211221122113222tttttttttttttttttttet

13、et etet et et eetet etet etet etet eetet e第10页/共101页11() AteLsIAA一般，当系统矩阵的阶次较高时，可采用递推算法。 2.2.3 方法三：拉氏变换法方法三：拉氏变换法Ate()SIA，关键是必须首先求出为了求出的逆。A2010 例例2.2 2.2 考虑如下矩阵Ate试用前面介绍的两种方法计算 。 P 1102故可求得所需的变换矩阵为A 解解 方法一 由于的特征值为0和-2（1=0，2= -2），2221111(1)110220210002toAttteeeee第11页/共101页001100202sssIAss111(2)()102s

14、s ssIAs2At11211(1)e() 20tteLsIAe 方法二 由于因此第12页/共101页2.2.4 方法四：方法四： Caley-Hamilton定理法定理法AteAAte利用凯莱-哈密尔顿定理，化为的有限项，然后通过求待定时间的方法。 函数获得210121( )( )( )( )Atmmet It At Aat A1210112111( )( )( )( )tmmtttate2210122212( )( )( )( )tmmtttate210121( )( )( )( )mtmmmmmtttate)(tk(k=0,1,2，m-1) Ate111( ) |0nnnnIAaaa 1

15、11( )OnnnnAAa AaAa I凯莱凯莱-哈密尔顿定理哈密尔顿定理第13页/共101页0102AA 例例2.3 2.3 考虑如下矩阵Ate试用Caley-Hamilton定理法计算。 解解 矩阵A的特征方程为det()(2)0IA 可得相异特征值为1=0，2= -2。 12011012( )( )( )( )ttttette0201( )1( )2( )tttte211( )1,( )(1)2toa ta te首先，由。由于1=0，2= -2，上述两式变为 求解此方程组，可得第14页/共101页221211(1)1( )( )(1)220tAttoteea t Ia t AIeAe01

16、111212122221121121AtmtmmmmtmtmeAAAIeeem或者根据前面所列写方程，可以直接得到第15页/共101页2.3线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解 给定线性定常系统非齐次状态方程为 ( )( )( )x tAx tBu t：( ), ( ),nrn nn rx tR u tRARBR0( )(0)tx tx其中，且初始条件为。 ( )( )( )x tAx tBu t ( )( )( )( )AtAtAtdex tAx tex teBu tdt( )(0)( )tAtAoex txeBud()( )(0)( )tAtA tox te xeBudAt

17、e 在上式两边左乘，可得故可求出其解为将上式由0积分到t，得第16页/共101页( )( ) (0)()( )tox tt xtBud Atet )(式中为系统的状态转移矩阵。 即( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u t( )( ,0) (0)( , ) ( ) ( )tox ttxtBud 推论：推论：对于线性时变系统非齐次状态方程， 类似可求出其解为第17页/共101页2.4 线性时变系统的解线性时变系统的解 一、时变系统状态方程解的特点一、时变系统状态方程解的特点 00ln ( )ln ( )( )ttx tx tad00( )exp( )( )ttx tad

18、x t( )( ) ( )dx ta t x tdt考虑标量时变系统( )( )( )dx ta t dtx t采用分离变量法，即两边积分得到即 00( , )exp( )ttt tad令因此00( )( , ) ( )x tt tx t 第18页/共101页二、线性时变齐次矩阵微分方程的解二、线性时变齐次矩阵微分方程的解 对于齐次矩阵微分方程00( )( ) ( ); ( )( )t tx tA t x tx tx t00( )( , ) ( )x tt tx t 0000( , )( )( , )( , )t tA tt tt tI也可表示为状态转移形式，即：0( , )t t0()ttn

19、 n类似于为非奇异矩阵，并满足以下性质：三、状态转移矩阵的基本性质三、状态转移矩阵的基本性质与线性定常系统的转移矩阵（矩阵指数函数）的性质相似； 第19页/共101页四、线性时变非齐次状态方程式的解四、线性时变非齐次状态方程式的解 00( )( , ) ( )( , ) ( ) ( )tox tt tx ttBud ( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u t相似地，线性时变的非齐次状态方程其解为五、状态转移矩阵的计算五、状态转移矩阵的计算 当仅当00( )( )( )( )ttttA tAdAd A t才有闭合的形式，其余情形只能采用近似的方式进行表达。 满足时，线性

20、时变系统的转移矩阵第20页/共101页第21页/共101页C-rA/D数字计算机D/A被控对象T0m保持器数字控制器被控对象-rT0mC保持器2.5 离散那时间系统状态方程的解离散那时间系统状态方程的解一一. .数字控制系统数字控制系统数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。作状态的被控对象的闭环控制系统。第22页/共101页 二二. .采样过程采样过程(2).采样频率:称称为为采采样样周周期期每每次次闭闭合合时时间间为为重重复复闭闭合合采采样样开开关关经经一一定定时时间间000,TThhT 0

21、1Tsf 采样周期的倒数采样周期的倒数(1).采样周期:t0T02T03T04T05T06T0)(*th(3).采样脉冲序列:.,称采样脉冲序列称采样脉冲序列的时间序列的时间序列周期为周期为关采样后变成重复关采样后变成重复连续时间函数经采样开连续时间函数经采样开T*h0n 0 ( )() 0th tnTt 1000h00lim() 1() 1() hnnTtnTtnTh000()nnTtnT（）第23页/共101页三三. .采样定理采样定理(Shannon(Shannon定理定理) ) .,;,;, )nj()(j )2T(T T 2,2 .,2,2 s*T1*0m2T0T2T2mmmmmm0

22、甚甚至至不不稳稳定定降降低低系系统统的的动动态态性性能能的的误误差差过过长长又又有有较较大大担担将将增增加加不不必必要要的的计计算算负负但但周周期期太太短短效效果果越越好好控控制制了了解解得得越越多多对对系系统统控控制制过过程程的的信信息息采采样样周周期期选选得得越越小小有有对对率率连连续续信信号号频频谱谱的的上上限限频频恢恢复复到到原原连连续续信信号号脉脉冲冲序序列列能能无无失失真真地地再再则则经经采采样样得得到到的的即即等等于于如如果果采采样样角角频频率率大大于于或或 nss 02sm| )(|j2sn第24页/共101页信号保持是指将离散信号信号保持是指将离散信号 脉冲序列转换成连续信号

23、的过程。用于这种转换的元件为保持器。脉冲序列转换成连续信号的过程。用于这种转换的元件为保持器。t)(tH)(t0*t nT00(t)(nT )(nT ) n0,1,2,零阶保持器零阶保持器(zero order holder)(zero order holder)ss-T sH (nT)()1-e G (S)snTs 一阶保持器一阶保持器ss()(n-1)T sT000 (nT)() t-nT , nT(1)snTsnTtnT 第25页/共101页 .Z,(1) (1) )()2()X(TX(0) X(Z),)ZX(nT X(Z) )()( )()(,)( X(Z)ZX(nT X(Z) , e

24、z )eX(nT(S) X: )nT-(t)X(nT(t) X020100nn-0*0nn-0ST0nSnT-0*0n00*00变变换换则则可可求求得得时时能能写写成成闭闭式式如如果果展展开开有有由由记记为为变变换换的的即即为为脉脉冲冲序序列列则则引引入入变变量量拉拉氏氏变变换换 nZnTXZTXZZXtXZtXZtXZZXZtX 四四.Z.Z变换变换(Z-transforms)(Z-transforms)与反变换与反变换(1) (1) 级数求和级数求和1、Z变换变换第26页/共101页111)( 1, 1Z1 1)1(n )Z1(nT1(Z)121 -00n-0ZZZZZZZTnn则若而00

25、0000001aT1221aT-011, 1e 1 e1 aTaTaTaTnnTaTnnanTateZZZeeZZZeZeZeZZeeZ则即若例例1.1.试求单位阶跃函数的试求单位阶跃函数的Z Z变换变换例例2.2.试求取衰减的指数函数试求取衰减的指数函数e e-at-at(a)(a)的的Z Z变换。变换。解:解:第27页/共101页 )(,)()()(),()(11100 iTSiTSitStSiSSAiSSAiiiiiiiieZZAZXeZZAAeZeALSNSMSXSXtX而而而而的的拉拉氏氏变变换换(2) (2) 部分分式法部分分式法1sa21()sa0020()aTaTT ZeZ e

26、0aTZZ e第28页/共101页rdsd-as)!1r(1rrdsd-as)!13(13rdsd-as2r-as1asb)as(b)as(bsa)aS(S1as)as(sa20s)as(sa1asasa)as(sa)aS)(S(Xlimb )aS)(S(Xlimb )aS)(S(Xlimb )aS)(S(Xlimb X(S) 1)as(a 1sa )S(X 1r1r1313r1r2r11r21 部分分式分解公式求得解：解：例3.求取具有拉氏变换为 的连续函数X(t)的Z变换。 :)(3.)(解解变换变换的的的连续函数的连续函数求取具有拉氏变换为求取具有拉氏变换为例例ZtXassa 2、Z反变

27、换反变换第29页/共101页 五、离散系统的差分方程模型五、离散系统的差分方程模型)()1(.)1()()1(.)1()(11011kTrbTkrbTmkrbTmkrbkTyaTkyaTnkyaTnkymmnny(t)KZ0H1/Sr(t)eh(t)-e(t) 例.下图所示为采样控制系统采样器的采样周期为T.试求其差分方程。(4) kTr(kT)1)y(kT)-(kT1)T(k y 1)T(ktkT)-(t)(tke(kT)yy(t) , T)1k(tkt e(kT)(t)e OHZ.hh 时当积分器的输出为在两相邻采样时刻之间的输出为在两相邻采样时刻之间解:第30页/共101页六、脉冲传递函

28、数六、脉冲传递函数G(S)(t)(*tT0)(zc(t)C(Z)(*tC定义：输出脉冲序列的定义：输出脉冲序列的Z Z变换与输入脉冲序列的变换与输入脉冲序列的Z Z变换之比。变换之比。*ZC (t)()()Z(t) G(Z)C ZZG1(S)G2(S)(*tCC(t)(tT0)(*t*C (Z)*1212(Z) G(Z)( )( )Z GGSGG ZG2(s)G1(s)T0C(t)(t)(*t)(*tcm(t)C (Z)12(Z) ( )( )G Z G Z第31页/共101页R(S)G1(S)H(S)G2(S)C(S)F(S)(*SF)(*SC)(SY(S)-1212G G (Z)(Z)R(

29、Z)1 G G H(Z)C脉冲传递函数在数字系统的地位与传递函数在连续系统中的地位相仿。脉冲传递函数在数字系统的地位与传递函数在连续系统中的地位相仿。第32页/共101页七、连续时间状态空间表达式的离散化七、连续时间状态空间表达式的离散化 离散化离散化系统离散化的原则是：在每个采样时刻 ，其中T为采样周期），系统离散化前后的 保持不变。 采样方法是在t=kT时刻对U(t)值采样得U(kT)，并通过零阶段保持器，使 的值在 时间段保持不变。 离散化后的动态方程为：表示kT时刻离散系统的输出Y(kT)和输入U(kT)及其系统状态量X(kT)的关系 第33页/共101页求 。假设 ，求 时刻的状态

30、，只与采样周期T 有关 其中 也只与采样周期T有关 第34页/共101页忽略时刻 中的 符号，直接用k代表kT时刻，得到连续系统离散化公式 G,H=c2d(A,B,T) 八、离散时间系统状态方程求解八、离散时间系统状态方程求解 离散时间状态方程求解有两种方法：递推法（迭代法）和离散时间状态方程求解有两种方法：递推法（迭代法）和Z变换法变换法 第35页/共101页对于线性定常离散系统状态方程 依次取 ，得 称为离散系统的状态转移矩阵 作业：作业：23、24、26第36页/共101页第三章第三章 线性多变量系统的能控性与能观测性分析线性多变量系统的能控性与能观测性分析 能控性(controllab

31、ility) 能观测性(observability) 揭示系统的内部结构关系 Kalman于60年代初首先提出并研究 决定了最优控制问题解的存在性 3.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性 3.1.1 概述概述 能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映 例例1、给定系统的描述为 1122401052xxuxx 1206xyx 第37页/共101页将其表为标量方程组的形式，有：112224526xxuxxuyx 例例2：判断下列电路的能控和能观测性 )(tuRRRRCxyCCRR)(tu1x2x1RLy1RL2R0)(tui1x2xUCUO

32、UC完全 UO完全 第38页/共101页3.1.2 能控性的定义能控性的定义 考虑线性时变系统的状态方程 :BuxtAx)(utDxtCty)()()(00)(xtxtR， ，给出系统能控和不能控的定义 0tR定义定义1：对线性时变系统，如果对取定初始时刻的一个非零初始状态0 xJt 101tt )(tu，存在一个时刻，和一个无约束的的容许控制，是能控的。 10,ttt 0 x1t0)(1tx0 x0t，使状态由转移到时，则称此在时刻第39页/共101页定义2：对线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在0t时刻为能控的，那么称系统在时刻to是能控的。 0tR定义3：对上述线性时变系统，

33、取定初始时刻，如果状态空间中存在是不完全能控的。 0t0t是不能控的，则称系统在时刻一个或一些非零状态在时刻1 对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；R2 容许控制的分量幅值不加限制，且在 上平方可积；0t3 线性系统的能控性与 无关；4 如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非零状态，则称为系统的能达性。5 系统不完全能控为一种“奇异”情况。说明：说明：第40页/共101页3.1.2 能观测性的定义能观测性的定义 系统的状态为：000( )( , )( , ) ( ) ( )ttx tt txtBud 系统输出： 000( )( )( ,)( )( , ) ( ) ( )(

34、 ) ( )tty tC tt txC ttBudD t u t0( )( )( )( , ) ( ) ( )( ) ( )tty ty tC ttBudD t u t若 00( )( , )yC tt tx则则原系统的能观测性研究等价于下列系统 ( ):( )( )xA t xy tC t x第41页/共101页定义定义1：如果系统的状态如果系统的状态x(to)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻to是能观测的。 0 x1tR01tt 10,ttt 0)(ty，存在一个有限时刻，使对所有有，则称此0 x0t在时刻是不能观测的。 0tR定义定义2： 对对系统 ，如果对取定初

35、始时刻的一个非零初始状态:0t系统在时刻是不能观测的。 0tR 定义定义3：对对系统 ，如果对取定初始时刻，如果状态空间中存在0t0 x是不能观测的一个非零初始状态，则称该一个或一些非零状态在时刻第42页/共101页第43页/共101页3.2 定常系统状态能控性判据定常系统状态能控性判据 3.2.1 定常系统状态能控性的代数判据定常系统状态能控性的代数判据 考虑线性连续时间系统 ( )( )( )x tAx tBu t1( ), ( ),nn nn mx tR u tR ARBR0( )(0)tx tx，且。 其中，如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。 01ttt 如果施加一

36、个无约束的控制信号，在有限的时间间隔内，使初始状态0tt 转移到任一终止状态，则称由上式描述的系统在时为状态(完全)能控的。引理引理1格拉姆矩阵判据线性定常系统为完全能控的充分必要条件是，存在10t 使如下定义的格拉姆矩阵 ，T1T100, tAtA tcWteBB edt非奇异。 第44页/共101页111T11111()100T1010010110( )( )0, 0, 0, 0tAtA tttAtAtAtA tcAtAtccx texeBu t dtexeeBB edtWt xexe Wt Wt x采用构造法证明，构造的控制量为 TT110( )0, A tcu tB eWt x 10,

37、 tt， ( )u t在作用下容易解得充分性得证。10, cWt证明：证明：充分性：已知非奇异，欲证系统完全能控。第45页/共101页T0100, 0cx Wt x 采用反证法。要使上式成立，应有TT00A tB ex10, tt ， 10, cWt必要性：必要性：已知系统为完全能控，欲证非奇异。TT112TTTT0100000000, ttAtA tA tcx Wt xx eBB ex dtB exdt进而有cW0nxR为奇异，即存在某个非零， 使下式成立反设另一方面，因系统完全能控，对非零 又成立 0 x1111000( )( )tAtAtAtx texeeBu t dt由此得出100(

38、)tAtxeBu t dt 11T2TT00000( )( )( )0ttAtxeBu t dtxut B u t x dt 00 x必要性得证 矛盾！第46页/共101页定理1代数判据前述线性定常系统为完全能控的充分必要条件为 1nrank BABABnnA其中，为矩阵的维数， 1ncQBABAB称为系统的能控性判别阵。证明： 充分性：已知 ，欲证系统为完全能控。 crankQn采用反证法。反设系统不完全能控，则格拉姆矩阵 T1T100, tAtA tcWteBB edt奇异。意味着存在某个非零向量 使成立 TT11TTTTTT10000, ttAtA tAtA tcWteBB edteBe

39、BdtT0AteB10, tt 现将上式求导直至 (1)n次，再在所得结果中令 0t ，那么可得到 TTT2T10,0,0,0nBABA BABT1T0ncBABABQ第47页/共101页0cQ行线性相关 假设 crankQn矛盾矛盾系统完全能控 必要性：必要性：已知系统完全能控，欲证 .crankQn反设 crankQncQ行线性相关 存在一个非零 n维常向量 TT10ncQBABAB出于问题的一般性 T0,1,1iA Bin凯莱哈密顿定理 1,nnAA21, ,nI A AA表示表示 可用T0,1,2,iA BiT2 23 3112!3!IAtA tA tB所以T1,0, AteBtt 则

40、T1TTT100, 0tAtA teBB edtWt表明 10, Wt为奇异 系统不完全能控 第48页/共101页考虑由下式确定的系统 例3 1122110011xxuxx 11detdet000QB AB为奇异，所以该系统是状态不能控的。 Q 例4 考虑由下式确定的系统1122110211xxuxx 01detdet011QB AB非奇异，所以该系统是状态能控的。 Q 第49页/共101页3.2.2 PBH 判据判据Popov Belevitch提出 Hautus发扬 （1）秩判据）秩判据 ( )( )( )x tAx tBu t系统为完全能控的充要条件是，对矩阵 A的所有特征值 ), 1(

41、nii 均成立 ,1,irankIABn in 或 ,rank sIABnsC )(AsI B即和是左互质的。 证明：证明：必要性：已知系统能控，欲证 ,1,irankIABn in 采用反证法。设对某个 i ，有 ,irankIABn则意味着， 存在一非零向量 ，使成立 T,0iIAB考虑到一般性，上式得到 TTT,0iAB第50页/共101页进而， TTTT10,0,0niBABBAB所以 T1T,0ncB ABABQ nrankQc由的任意性，得到系统为不完全能控，与已知条件矛盾 反设不成立例5 设线性定常系统的状态方程为 010001001010,4000101005020 xxun可

42、直接导出 1000101010,0010100520sssIABss特征值 12340,5,5 ,4rank sIA B系统能控 ,1,irankIABn in 即第51页/共101页（2）特征向量判据）特征向量判据 系统为完全能控的充要条件是，矩阵 A不能有与 B的所有相正交的非零左特征向量Ai 。也即对的任一特征值，使同时满足 TTT,0iAB的特征向量. 0 证明：证明：必要性：反设存在一个向量 0 ，使成立 TTT,0iAB则有 T0BTTT10,0niABBABT1T,0ncB ABABQ nrankQc系统不能控 第52页/共101页3.2.3 状态能控性条件的标准形判据状态能控性

43、条件的标准形判据 xAxBu( ), ( ),nrn nn rx tR u tRARBR如果 的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵 PA112,nP APdiag 每一列与 i 有联系。 XPZ设 11zP APzP Bu1()ijP Bf11 111 11221 rrzzf uf uf u22221 12222 rrzzf uf uf u1 122nnnnnnrrzzf uf uf u若特征向量互异， 当且仅当输入矩阵 1()ijP Bf没有全零行时 系统才是状态能控的。 第53页/共101页若A不具有互异的特征向量 ，系统矩阵可化为Jordan标准形 111116610001

44、001010nJ 系统状态能控性条件：当且仅当则系统是状态能控的。 1S B （1）当特征值相异，对应于不同特征值的无全零行；1S B (2) Jordan块的最后一行对应的行向量不全为零；1S B （3）阵J中同一特征值Jordan块最后一行相对应的行向量线性无关；1S AS第54页/共101页例6 1122102025xxuxx 112233110001040023xxxxuxx 1122133244552100010210000230510000521xxxxuxxuxxxx1122102020 xxuxx 11122233110420100000230 xxuxxuxx11223344

45、5521004021200215130050 xxxxxxuxxxx 第55页/共101页3.2.4 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件用传递函数矩阵表达的状态能控性条件 状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。 状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。例7 ( )2.5( )(2.5)(1)X ssU sss112202.52.511.51xxuxx2.52.511B AB存在可约的因子，系统状态不能控。 第56页/共101页3.2.5 输出能控性输出能控性 xAxBuyCxDu,nrmn nn rm nm rxR

46、uRyRARBRCRDR定义：定义：( )u t01ttt ，在有限的时间间隔如果能找到一个无约束的控制向量内，0( )y t1( )y t转移到任一最终输出使任一给定初始输出，则称系统为输出能控的。系统输出能控的充要条件系统输出能控的充要条件：当且仅当 m(n+1)r 维输出能控性矩阵 21nQCB CAB CA BCAB D 的秩为m。 第57页/共101页3.3 线性连续系统的能观测性线性连续系统的能观测性 xAxyCx考虑系统,nmn nm nxRyRARCR如果每一个状态x(to)都可通过在有限时间间隔tott1内，由y(t)观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常

47、系统。不失一般性，设to=0。 在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。 xAxBuyCxDu()( )(0)( )tAtA tox te xeBud()( )(0)( )tAtA toy tCe xCeBudDu最后两项为已知，因而它们可以从被量测值中消去。 能观测性的充要条件只需要研究零输入系统即可 第58页/共101页3.3.1 定常系统状态能观测性的代数判据定常系统状态能观测性的代数判据 xAxyCx考虑系统：考虑系统：( )(0)Aty tCe x输

48、出：输出：Ate可表示为10( )nAtkkket A10( )( )(0)nkkky tt CA x1011( )( )(0)( )(0)( )(0)nny tt Cxt CAxt CAx即若系统是能观测的 ，则在0tt1时间内，给定输出y(t)，由式唯一地确定x(0)需要1()()TTTnTRCCACA的秩为n。 1TTTTTnTRCA CAC （）代数判据：代数判据：上述线性定常系统，当且仅当nnm维能观测性矩阵nrankRT的秩为n，即时，该系统才是能观测的。 1nCCARCA第59页/共101页11221211021110 xxuxxxyx 试判断系统 所描述的系统是否为能控和能观测

49、的。 例8 解 0111QB AB能控性矩阵 2rankQn故该系统是状态能控的 1101TTTTRCA C能观测性矩阵 2TrankRn系统是能观测的。 第60页/共101页iCranknIAinCranknsIAsC Ai()inPBHPBH秩判据秩判据线性定常系统完全能观测的充要条件是， 的所有特征值均成立或等价地表为 ()sIAC即和是右互质的。ACPBHPBH特征向量判据特征向量判据线性定常系统完全能观测的充要条件是，没有与Ai(1, )in的所有行相正交的非零右特征向量。也即对的任一特征值,0iAC0.使同时满足 的特征值第61页/共101页3.3.2 用传递函数矩阵表达的能观测性

50、条件用传递函数矩阵表达的能观测性条件 能观测性的充要条件能观测性的充要条件：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。 例例7 证明下列系统是不能观测的。 xAxBuyCx01001,001,0 ,4512611613xxxABCx 式中 解 由于能观测性矩阵 2466()575111TTTTTTRCA CAC3TrankR 该系统是不能观测的 ( )(1)(4)( )(1)(2)(3)Y sssU ssss传递函数系统是不能观测 当且仅当系统是状态能控和能观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。

51、第62页/共101页3.3.3 状态能观测性条件的标准形判据状态能观测性条件的标准形判据 xAxyCx1P AP 即非奇异线性变换矩阵P可将A化为对角线矩阵，式中，xPz1zP APzzyCPz 112212(0)0(0)( )(0)(0)0nnttttttne zeezey tCPzCPeze12,ndiag 为对角线矩阵。 系统输出为如果mn维矩阵CP的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。 I 若A可对角化第63页/共101页II. 若A可化为Jordan标准形 xSzxAxyCx1zSASzJzyCSz系统能观测的充要条件为：例例8 下列系统是能观测的： 11122210,1

52、302xxxyxxx2101113001021,2224002002333xxxyxxxyxxx11121000212221 11001002,333011 10231444003555xxxxxxyxxxyxxxxxx（1） J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；（2）与每个Jordan块的第一行相对应的矩阵CS列中，没有一列元素全为零；（3）与相异特征值对应的矩阵CS列中，没有一列包含的元素全为零。 第64页/共101页下列系统是不能观测的 10111,0102222xxxyxxx2101110131021,2220242002333xxxyxxxyxxx112100202121 1

53、 10013002,301 1002431450035xxxxyxxyxxxx第65页/共101页3.3.4 对偶原理对偶原理 能控性能观测性？1:xAxBuSyCx2:TTTzA zC vSnB z ,nrmn nn rm nxRuRyRARBRCR,nmrTn nTn mTr nzRvRnRARCRBR当且仅当系统S2状态能观测（状态能控）时，系统S1才是状态能控（状态能观测）的。 1nB ABAB能控性矩阵 能观测性矩阵 1()TTTTnTCA CAC能控性矩阵 1()TTTTnTCA CAC能观测性矩阵 1nB ABAB对偶原理：对偶原理：第66页/共101页第67页/共101页第四章

54、第四章 Lyapunov稳定性分析稳定性分析4.1 概述概述 线性定常系统的稳定性分析方法很多。 Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。 伟大的俄国数学力学家亚历山大 米哈依诺维奇李亚普诺夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918) 1892年发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题运动稳定性的一般问题”。 论文给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。 文中研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性。 ),(txfx 系统 给定运动 )(tx的稳定性 ),(txfx 扰动方程 给定运动 )(

55、tx原点的稳定性 等价 Routh-Hurwitz稳定性判据Nyquist稳定性判据 第68页/共101页Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法 第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性； 第二法则是一种定性方法构造一个Lyapunov函数，研究其正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，得到稳定性的结论 ； 一般所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。 4.2 Lyapunov意义下的稳定性问题意义下的稳定性问题 4.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点平衡状态、给定运动与扰动方程

56、之原点),(txfx 非线性系统 假设在给定初始条件下，有唯一解 ),;(00txt 0000),;(xtxt 1）2） 若若(, )0,ef x ttex为系统的平衡状态或平衡点 第69页/共101页对于线性定常 1）A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；2）A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态 。对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解。 任意一个孤立的平衡状态通过坐标变换，统一化为扰动方程 ),(txfx 仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题(“原点稳定性问题” )的坐标原点 0), 0(tf简化问题且不失一般性 4.2.2 Lyapun

57、ov意义下的稳定性定义意义下的稳定性定义 Hxxe2/12222211)()()(neneeexxxxxxxx定义定义4.14.10H其中，为向量的2范数或欧几里德范数，即),(txfx 0),(txfe0ex，之平衡状态的H邻域为设系统第70页/共101页定义球域S(）和S(） H0在H邻域内，若对于任意给定的，均有)(S)(S(1)(1) 如果对应于每一个 ，存在一个，使得当t趋于无穷时，始于0exS()的轨迹不脱离S()，则系统平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。一般地，实数与有关，通常也与t0有关。0ex为一致稳定的平衡状态。如果 与t0无关，则称此时之平衡状态0ex则称系统

58、之平衡状态为渐近稳定的，其中球域S(）被称为平衡状态0ex类似地，如果 与t0无关，则称此时之平衡状态为一致渐近稳定的。 0ex(2)(2) 如果平衡状态，在Lyapunov意义下是稳定的，并且始于域S(）0ex的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离S(），且收敛于，0ex的吸引域。即对于先选择的每一球域即对于先选择的每一球域S( ），必存在一球域），必存在一球域S( ），使得当），使得当t趋于无穷时，始趋于无穷时，始于于S( ）的轨迹总不脱离球域）的轨迹总不脱离球域S( ）。）。 第71页/共101页非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。有

59、必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域（发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间），发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。 (3) 状态空间中的所有状态，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，0ex渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。0ex0ex称为大范围渐近稳定。或者说，若系统之平衡状态则平衡状态系统大范围渐近稳定系统大范围渐近稳定系统在整个状态空间中只有一个平衡状态系统在整个状态空间中只有一个平衡状态(4) 如果对于某个实数0和任一个实数 0，不管这两个实数多么小，在S（）0 x，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S(），内总存在一个状态0ex称为不稳定

60、的。 那么平衡状态实际上，渐近稳定性比Lyapunov意义下的稳定性更重要。第72页/共101页在经典控制理论中的稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念有一定区别。经典控制理论(线性系统)不稳定 (Re(s)0)临界情况 (Re(s)=0)稳定 (Re(s)0)Lyapunov意义下不稳定稳定渐近稳定第73页/共101页4.2.3 预备知识预备知识 1 1、纯量函数的正定性、纯量函数的正定性),(txV 如果时变函数由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数)(xV，使得)(),(xVtxV0tt , 对所有0), 0(tV0tt , 对所有),(txV则称时变函数在域（包含状态