连续函数的概念与性质PPT学习教案

1、会计学1连续函数的概念与性质连续函数的概念与性质1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x x y y )(xfy xx 00 x第1页/共45页2.连续的定义连续的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是第2页/共45页第3页/共45页例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数

2、试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 第4页/共45页3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 第5页/共45页例例2 2.0,

3、0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf第6页/共45页4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说或者说函数在该区间上连续函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且

4、在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如，多项式函数在例如，多项式函数在R上是连续的。上是连续的。第7页/共45页定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx第8页/共45页意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符

5、号可以与函数符号互换;.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 例例3 3.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解).(lim)()(lim)(lim,)(,)(lim),(000ufafxfxfaufaxxuauxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若设设定理定理2 2第9页/共45页:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(

6、),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf第10页/共45页1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xo

7、xy第11页/共45页2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 第12页/共45页解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .1为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间

8、断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.oxy112xy 1xy2 第13页/共45页如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特特点点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点xoxy112第14页/共45页3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0

9、, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间第15页/共45页例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间第16页/共45页例例8 8.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解

10、xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a第17页/共45页1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)第18页/共45页可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型

11、跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x第19页/共45页思考题思考题1第20页/共45页思考题思考题1解答解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.1、一类；一类；二类。、一类；一类；二类。2、第21页/共45页定理定理3 3 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理4 4 一

12、切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .三、初等函数的连续性第22页/共45页初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在其在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上上连连续续函函数数在在区区间间 注意注意1注意注意2初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.第

13、23页/共45页例例9 9. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例1010.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx第24页/共45页四. 连续性在求极限中的应用利用函数y=f(u)在u=A点连续的定义，可以证明，如果)(lim()()(lim)(lim000 xfAfxfA，xxxxxxx特别：（1）当f(u)=au 则)(lim)(00limxxxxxxaa（2）当f(u)=logau 则)(limlog)(lo

14、glim00 xxxxaaxxu)(lim)(lim00 xxxxxx)(lim)(lim00 xxxxxx (3)当f(u)= (为实数)，则特别： 第二章中的对数函数、幂函数、指数函数求导公式的推导过程要用到下面几个极限 第25页/共45页xxx)1ln(lim)1(0为实常数）(1)1 (lim)3(0 xxxxaxx1lim)2(0例11. 求下列极限 （a0a1） 解：（1）exxx10)1 (lim (重要极限)xxxxxxxxx10100)1(limln)1ln(lim)1ln(lim =lne=1 第26页/共45页)1ln(lim)(lnln)1ln(lim1lim000uu

15、aauuxauuxxaauuauln11)(ln)1ln(lim1)(ln0uaauxx1, 1)2(则令auxln)1ln( uxxu1)1 (, 1)1 ()3(则令)1ln()1ln(xu第27页/共45页)1ln()1ln(limlim1)1 (lim000uxxuxuxxxxx)1ln(lim1)1ln(lim)1ln(lim000uuuuxxuxx11)1ln(lim10uuu第28页/共45页定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对

16、于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如, 2max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y五、闭区间上连续函数的性质第29页/共45页定理定理3(3(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.第

17、30页/共45页xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理4(4(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界定在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上有界上有界在在函数函数baxf第31页/共45页定义定义: :.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 第32页/共45页ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少

18、有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy 定理定理 6 6( (介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那那么么，对于，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf )( )(ba . . xyo)(xfy 第33页/共45页几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy

19、证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 第34页/共45页推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1111.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,

20、1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理, ,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xxMm第35页/共45页例例1212.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即第36页/共45页bxaxxf sin)(证：证： , 0)sin(1)sin()( baabbaababaf, 0)0( bf 上连续，上连续，在在ba 0., 0)(babaf 取取若若. 0)(, 0 fba使使（否则至少否则至少第37页/共45页.),()(dcdfcf 或或取取证：若证：若),()(dfcf 否则，不妨设否则，不妨设 上连续。上连续。上连续，则在