【培优提高】反比例函数典型例题解析

1、 人教版九年级数学下册 第26章 反比例函数 培优提高典型例题解析一、解答题1.如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=kx（k0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）（1）求反比例函数y=kx（k0）的表达式；（2）若P是y轴上一点，且满足ABP的面积为6，求点P的坐标【答案】解：（1）一次函数图象过A点，m=1+2，解得m=3，A点坐标为（1，3），又反比例函数图象过A点，k=1×3=3，反比例函数y=kx（k0）的表达式为y=3x（2）y=3xy=x+2，解得x=1y=3或x=-3y=-1B（3，1），设直线与y轴的交点为C（0，2），ABP的面积为6，12PC

2、|xB|+12PC|xA|=6，12PC（1+3）=6，PC=3，P（0，5）或（0，1） 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=kx（k为常数，且k0）在第一象限的图象交于点E，F过点E作EMy轴于M，过点F作FNx轴于N，直线EM与FN交于点C若BEBF=1m（m为大于1的常数）记CEF的面积为S1 ， OEF的面积为S2 ， 求S1S2的值 （用含m的代数式表示）【答案】解：过点F作FDBO于点D，EWAO于点W，BEBF=1m，MEDF=1m，MEEW=FNDF，MEDF=FNEWFNEW=1m，设E点坐标为：（x，my），则F点坐标

3、为：（mx，y），CEF的面积为：S1=12（mxx）（myy）=12（m1）2xy，OEF的面积为：S2=S矩形CNOMS1SMEOSFON ， =MCCN12（m1）2xy12MEMO12FNNO，=mxmy12（m1）2xy12xmy12ymx，=m2xy12（m1）2xymxy，=12（m21）xy，=12（m+1）（m1）xy，S1S2=12m-12xy12m-1m+1xy=m-1m+1故答案为：m-1m+13.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点（1）利用图中的条件求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的

4、x的取值范围【答案】解：（1）从图象可知：A（2，1）B（1，n），把A的坐标代入反比例函数y=mx得：m=2，即反比例函数的解析式是：y=2x，把B（1，n）的坐标代入反比例函数y=2x得：n=2，B（1，2），把A、B的坐标代入y=kx+b得：1=2k+b-2=-k+b，解得k=1，b=1，即一次函数的解析式是：y=x1；（2）根据图象可知一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是1x0或x2 4.如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，2），B（1，0）两点，与反比例函数y=k2x的图象在第一象限内的交点为M（m，4）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在

5、点P，使AMMP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）把A（0，2），B（1，0）代入y=k1x+b得b=-2k1+b=0，解得k1=2b=-2，所以一次函数解析式为y=2x2；把M（m，4）代入y=2x2得2m2=4，解得m=3，则M点坐标为（3，4），把M（3，4）代入y=k2x得k2=3×4=12，所以反比例函数解析式为y=12x；（2）存在A（0，2），B（1，0），M（3，4），AB=5，BM=22+42=25，PMAM，BMP=90°，OBA=MBP，RtOBARtMBP，ABPB=OBBM，即5PB=125，PB=10，OP=11，P点

6、坐标为（11，0）5.如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象交于点A2，5、C5，n，交y轴于点B，交x轴于点D（1）求反比例函数 y=mx 和一次函数 y=kx+b 的表达式； （2）连接OA、OC求AOC的面积 【答案】（1）解：将A（-2，-5）代入y=mx，得m=-2×（-5）=10.则反比例函数为y=10x.将C（5，n）代入y=10x得n=2,则C（5,2）.将A（-2，-5），C（5,2）代入y=kx+b中得-2k+b=-55k+b=2解得k=1b=-3即直线y=x-3.（2）解：直线y=x-3与x轴，y轴的交点分别为D（3,0），B（0，-

7、3），则OD=3，OB=3，又因为A（-2，-5），C（5,2）则SAOC=SAOB+SBOD+SDOC=12×5×3+12×3×3+12×3×2=15. 6.有这样一个问题：探究函数y=1x-1+x的图象与性质小东根据学习函数的经验，对函数y=1x-1+x的图象与性质进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=1x-1+x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图

8、象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）【答案】解：（1）x1，（2）令x=4，y=14-1+4=133；m=133；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值，也没有最小值；故答案为该函数没有最大值，也没有最小值 7.如图，RtABC中，O为坐标原点，AOB=90°，B=30°，如果点A在反比例函数y=1x（x0）的图象上运动，那么点B在哪个图像上运动？【答案】解：分别过A、B作ACy轴于C，BDy轴于D设A（a，b）点A在反比例函数y=1x（x0）的图象上，ab=1在OAC与BOD中，AOC=90°-B

9、OD=OBD，OCA=BDO=90°，OACBOD，OC：BD=AC：OD=OA：OB，在RtAOB中，AOB=90°，B=30°，OA：OB=1：3，b：BD=a：OD=1：3，BD=3b，OD=3a，BDOD=3ab=3，又点B在第四象限，点B在函数y=-3x的图象上运动 8.如图，点A为函数 y=18x(x>0) 图象上一点，连结OA，交函数 y=2x(x>0) 的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，求ABC的面积 【答案】解：设点A的坐标为（a， ），点B的坐标为（b， ）， 点C是x轴上一点，且AO=AC，点C的坐标是（2a，0），设

10、过点O（0，0），A（a， ）的直线的解析式为：y=kx， =ak，解得，k= ，又点B（b， ）在y= x上， = b，解得， =3或 =3（舍去），SABC=SAOCSOBC= =186=12 9.（2015赤峰）如图，直线y=2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CDx轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且OCP与OBC相似，求过点P的双曲线解析式【答案】解：直线y=2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，令y=0，可得2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，如图1，当OBC=COP时，OCPBOC，OBOC=OCCP，即42

11、=2CP，解得CP=1，P（2，1），设过点P的双曲线解析式y=kx，把P点代入解得k=2，过点P的双曲线解析式y=2x，如图2，当OBC=CPO时，OCPCOB，在OCP和COB中，OBC=CPOCOB=OCPCO=OCOCPCOB（AAS）CP=BO=4，P（2，4）设过点P的双曲线解析式y=kx，把P点代入得4=k2，解得k=8，过点P的双曲线解析式y=-8x综上可得，过点P的双曲线的解析式为y=2x或y=-8x 10.如图，在RtAOB中，ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数 y=kx 在第一象限内的图象分别交OA、AB于点C和点D，连结OD，若SBOD=4，请回

12、答下列问题：（1）求反比例函数解析式； （2）求C点坐标 【答案】（1）解：ABO=90°，SBOD=4， 12 ×k=4，解得k=8，反比例函数解析式为y= 8x ；（2）解：ABO=90°，OB=4，AB=8，A点坐标为（4，8），设直线OA的解析式为y=kx，把A（4，8）代入得4k=8，解得k=2，直线OA的解析式为y=2x，解方程组 y=8xy=2x ，得 x=2y=4 或 x=-2y=-4 ，C在第一象限，C点坐标为（2，4） 11.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA

13、，OC的长是方程x23x+2=0的两个根（OAOC）（1）求点A，C的坐标； （2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= kx （k0）的图象的一个分支经过点E，求k的值； （3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）解：x23x+2=(x1)(x2)=0，x1=1，x2=2，OAOC，OA=2，OC=1，A（2，0），C（1，0）（2）解：将C（1，0）代入y=x+b中，得：0=1+b，解得：b=1，直线CD的解析式为y=x

14、+1点E为线段AB的中点，A（2，0），B的横坐标为0，点E的横坐标为1点E为直线CD上一点，E（1，2）将点E（1，2）代入y= kx  （k0）中，得：2= k-1 ，解得：k=2（3）解：假设存在，设点M的坐标为（m，m+1），以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：以线段BE为边时，E（1，2），A（2，0），E为线段AB的中点，B（0，4），BE= 12 AB= 1222+42=5 四边形BEMN为菱形，EM= (m+1)2+(-m+1-2)2 =BE= 5 ，解得：m1= -2-52 ，m2= -2+52M（ -2-52 ，2+ 52 ）或（ -2+

15、52 ，2 52 ），B（0，4），E（1，2），N（ 52 ，4+ 52 ）或（ 52 ，4 52 ）；以线段BE为对角线时，MB=ME， (m+1)2+(-m+1-2)2=m2+(-m+1-4)2 ，解得：m3= 72 ，M（ 72 ， 92  ），B（0，4），E（1，2），N（01+ 72 ，4+2 92 ），即（ 52  ， 32  ）综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（ 52 ，4+ 52 ）、（ 52 ，4 52 ）或（ 52  ， 32  ） 二、综合题12.如图，一次函数 y1

16、=kx+b （k0）的图象与反比例函数 y2=mx （m0，x0）的图象交于点A（-3，1）和点C，与y轴交于点B，AOB的面积是6（1）求一次函数与反比例函数的解析式；  （2）求 sinABO的值； （3）当x0时，比较 y1 与 y2 的大小 【答案】（1）解：把A(3，1)代入 y2mx 得mxy3×13，反比例函数的解析式为 y-3x .过点A做ADy轴于D，A(3，1)，AD3.SAOB 12OB AD， 12OB 36，OB4.B(0，4).把A(3，1).B(0，4)代入 y1kxb 得-3kb1b4 ， k1b4 .一次函数的解析式为yx4（2）解：在Rt

17、ABD中，AD3，BDBOOD413ABO45°sinABOsin45° 22（3）解：由 y-3xyx4 得 x1-1y13 ， x2-3y21 .C(1，3).当x<3或1<x<0时， y2 > y1当3<x<1时， y2 > y1 13.已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y= ax 交于一象限内的P（ 12 ，n），Q（4，m）两点，且tanBOP= 18 （1）求双曲线和直线AB的函数表达式； （2）求OPQ的面积； （3）当kx+b ax 时，请根据图象直接写出x的取值范围 【答案】（1）解：

18、）过P作PCy轴于C， P（ ，n），OC=n，PC= ，tanBOP= ，n=4，P（ ，4），设反比例函数的解析式为y= ，a=4，反比例函数的解析式为y= ，Q（4， ），把P（ ，4），Q（4， ）代入y=kx+b中得， ，直线的函数表达式为y=x+ （2）解：过Q作QDy轴于D， 则SPOQ=S四边形PCDQ= ×（ +4）×（4 ）= （3）解：由图象知， 当x+ 时， 或x014.如图，直线l1：y=x与双曲线y= kx 相交于点A（a，2），将直线l1向上平移3个单位得到l2 ， 直线l2与双曲线相交于B、C两点（点B在第一象限），交y轴于D点 （1）求双曲

19、线y= kx 的解析式； （2）求tanDOB的值 【答案】（1）解：A（a，2）是y=x与y= 的交点， A（2，2），把A（2，2）代入y= ，得k=4，双曲线的解析式为y= （2）解：将l1向上平移了3个单位得到l2 ， l2的解析式为y=x+3，解方程组 ，得 ， ，B （1，4），tanDOB= 15.如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），ABx轴于点B，cosOAB 35 ，反比例函数y= kx 的图象的一支分别交AO、AB于点C、D延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E已知点D的纵坐标为 32 （1）求反比例函数的解析式； （2）求直线EB的解析式； （3）求SOE

20、B 【答案】（1）解：A点的坐标为（a，6），ABx轴，AB=6cosOAB 35 = ABOA ， 6OA = 35 ，OA=10，由勾股定理得：OB=8，A（8，6），D（8， 32 ）点D在反比例函数的图象上，k=8× 32 =12，反比例函数的解析式为：y= 12x ；（2）解：设直线OA的解析式为：y=bxA（8，6），8b=6，b= 34 ，直线OA的解析式为：y= 34 x，则 12x = 34 x，x=±4，E（4，3），设直线BE的解式为：y=mx+n，把B（8，0），E（4，3）代入得： 8m+n=0-4m+n=-3 ，解得： m=14n=-2 ，直线B

21、E的解析式为：y= 14 x2；（3）解：SOEB= 12 OB|yE|= 12 ×8×3=12 16.如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1= kx 的图象上一点，ABx轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D（0，2），若SAOD=4 （1）写出点C的坐标； （2）求反比例函数和一次函数的解析式； （3）当y1y2时，求x的取值范围 【答案】（1）解：设点C的坐标为（m，0）， C是OB的中点，OC=BC在COD和CBA中， ，CODCBA（ASA），OD=BA点D（0，2），点A的坐标为（2m，2）SAOD=

22、SABC+SDOC=2SDOC=2× OCOD=2m=4，m=2，点C的坐标为（2，0）（2）解：m=2， 点A的坐标为（4，2）点A在反比例函数y1= 的图象上，k=4×2=8，反比例函数的解析式为y1= ；将C（2，0）、D（0，2）代入y2=ax+b中，解得： ，一次函数的解析式为y=x2（3）解：联立两函数解析式成方程组， ，解得： 或 ，两函数图象的另一个交点为（2，4）观察函数图象可知：当2x0 或x4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，当y1y2时，x的取值范围为2x0 或x417.在平面直角坐标系中，点A（3，4）关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函

23、数y= kx （x0）的图像经过点B，过点B作BCx轴于点C，点P是该反比例函数图像上任意一点，过点P作PDx轴于点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ、CQ （1）点B的坐标是_；k的值为_ （2）判断QDC与POD的面积是否相等，并说明理由 【答案】（1）（3，4）；12（2）解：相等理由如下： 设点P的坐标为（m，n），其中m0，n0，点P在反比例函数y= （x0）的图像上，n= ，即mn=12SPOD= ODPD= mn= ×12=6，A（3，4），B（3，4），ABx轴，OC=3，BC=4，点Q在线段AB上，SQOC= OCBC= ×3×4=6SQOC

24、=SPOD 18.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= kx （k0，x0）的图象上，点D的坐标为（ 5 ，2）（1）求k的值； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= kx （k0，x0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离 【答案】（1）解：作DEBO，DFx轴于点F，点D的坐标为（ 5 ，2），DO=AD=3，A点坐标为：（ 5 ，5），k=5 5 ；（2）解：将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= kx （x0）的图象上D，DF=DF=2，D点的纵坐标为2，设点D（x，2）2=

25、 55x ，解得x= 552 ，FF=OFOF= 552 5 = 352 ，菱形ABCD平移的距离为 352 ，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= kx （x0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为 535 ，综上，当菱形ABCD平移的距离为 352 或 553 时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上 19.如图，反比例函数y1= kx 的图象与一次函数y2= 14 x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1= kx 的图象上 （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象回答：当x为何范围时，y1y2； （3）求PAB的面积 【答案】（1）解：把x=

26、4代入y2= x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y1= ，得k=4反比例函数的表达式为y1= （2）解：点A与点B关于原点对称， A的坐标为（4，1），观察图象得，当x4或0x4时，y1y2（3）解：过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图，点A与点B关于原点对称，OA=OB，SAOP=SBOP ， SPAB=2SAOP y1= 中，当x=1时，y=4，P（1，4）设直线AP的函数关系式为y=mx+n，把点A（4，1）、P（1，4）代入y=mx+n，则 ，解得 故直线AP的函数关系式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，S

27、AOP=SAOC+SPOC= OCAR+ OCPS= ×3×4+ ×3×1= ，SPAB=2SAOP=1520.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N（1）求过O，B，E三点的二次函数关系式； （2）求直线DE的解析式和点M的坐标； （3）若反比例函数y= mx （x0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上 【答案】（1）解：设过O，B，E三点的二次函数关系式为：y=ax2+bx+

28、c；把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax2+bx+c，得 c=016a+4b+c=236a+6b+c=0 ，解得： a=-14b=32c=0 ，过O，B，E三点的二次函数关系式为：y= 14 x2+ 32 x（2）解：设直线DE的解析式为：y=kx+b，点D，E的坐标为（0，3）、（6，0）， b=36k+b=0 ， 解得 k=-12b=3 ，直线DE的解析式为：y= 12 x+3；点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，点M的纵坐标为2又点M在直线y= 12 x+3上，2= 12 x+3x=2M（2，2）；（3）解：y= mx （x0）经过点M（2，2），m=

29、4该反比例函数的解析式为：y= 4x ，又点N在BC边上，B（4，2），点N的横坐标为4点N在直线y= 12 x+3上，y=1N（4，1）当x=4时，y= 4x =1，点N在函数y= 4x  的图象上 21.如图，直线 y=kx与双曲线 y = 6x 交于A、B两点，点C为第三象限内一点（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值； （2）当k= 32 ，且CA=CB，ACB=90°时，求C点的坐标； （3）当ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式 【答案】（1）解：把（a，3）代入 y = 6x ，得 3=-6a  ，解得a=2；（2）

30、解：连接CO，作ADy轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则ADO=CEO=90°，DAO+AOD=90°，直线 y=kx与双曲线 y = 6x 交于A、B两点，OA=OB，当CA=CB，ACB=90°时，CO=AO，BOC=90°，即COE+BOE=90°，AOD=BOE，DAO=EOC，ADOOEC，又k= 32 ，由y= 32 x和y= 6x 解得 x1=-2y1=3 ， x2=2y2=-3 ，所以A点坐标为（2，3），由ADOOEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，所以C（-3，-2）； （3）解：连接CO，作ADy轴于D点，作

31、CEy轴于E点，则ADO=CEO=90°，DAO+AOD=90°，直线 y=kx与双曲线 y = 6x 交于A、B两点，OA=OB，ABC为等边三角形，CA=CB，ACB=60°，BOC=90°，即COE+BOE=90°，AOD=BOE，DAO=EOC，ADOOEC， ADOE=ODCE=AOOC ，ACO= 12 ACB=30°，AOC=90°， AOOC=tan30°=33 ，C的坐标为（m，n），CE=-m，OE=-n，AD= 33 n，OD= 33 m，A（ 33 n， 33 m），代入y= 6x 中，得m

32、n=18. 22.如图，已知A（3，m），B（2，3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点（1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方； （3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得OBC的面积等于OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标 【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= kx ，把B（2，3）代入，可得k=2×（3）=6，反比例函数解析式为y= 6x ；把A（3，m）代入y= 6x ，可得3m=6，即m=2，A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B

33、（2，3）代入，可得 2=3a+b-3=-2a+b ，解得 a=1b=-1 ，直线AB 的解析式为y=x1（2）解：由题可得，当x满足：x2或0x3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C如图所示，延长AO交双曲线于点C1 ， 点A与点C1关于原点对称，AO=C1O，OBC1的面积等于OAB的面积，此时，点C1的坐标为（3，2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2 ， 则OBC2的面积等于OBC1的面积，OBC2的面积等于OAB的面积，由B（2，3）可得OB的解析式为y= 32 x，可设直线C1C2的解析式为y= 32 x+b'，把C1（3，2）代入，可得2= 32 &

34、#215;（3）+b'，解得b'= 52 ，直线C1C2的解析式为y= 32 x+ 52 ，解方程组 y=6xy=32x+52 ，可得C2（ 43,92 ）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3 ， 则OBC3的面积等于OBA的面积，设直线AC3的解析式为y= 32 x+ b'' ，把A（3，2）代入，可得2= 32 ×3+ b'' ，解得 b'' = 52 ，直线AC3的解析式为y= 32 x 52 ，解方程组 y=6xy=32x-52 ，可得C3（ -43,-92 ）；综上所述，点C的坐标为（3，2），（ 43,92 （） -43,-92 ） 23.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= mx 的图象相交于点A（2，1），点B（1，n） （1）求此一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足不等式kx+b mx 0的解集； （3）在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG的边均平行于坐标轴，若点E（a，a），如图，当曲线y= mx （x0）与此