3讲克莱姆法则上课用2.1-2.2.3(哈工大线性代数)ppt课件

1、1 2n11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 的系数行列式不等于零，的系数行列式不等于零，(1)nn3即即1212,nnDDDxxxDDD1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa则方程组则方程组(1)(1)只有唯一解只有唯一解, ,且其解为且其解为 41111111121212212111jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDaabaa其中其中511 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 如果如果

2、n元齐次线性方程组的系数行列式不等于零元齐次线性方程组的系数行列式不等于零, ,即即 1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa此方程组只有唯一零解此方程组只有唯一零解, ,即即120.nxxx61112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 如果如果n元齐次线性方程组元齐次线性方程组有非零解有非零解, ,则系数行列式等于零则系数行列式等于零, ,即即7123123123120353xxxxxxxxx1 111 21203 51D 811 110

3、2123 51D 21 111 0123 31D 31 1 11 2 023 5 3D 3121231,1,1DDDxxxDDD 9 定定 义义 计计 算算换换 法法倍倍 法法分分 拆拆消消 法法应应 用用性质性质降阶公式降阶公式特殊行列式：上（下）三角，特殊行列式：上（下）三角，Vandermonde行行列式列式解线性方程组解线性方程组(Cramer法则法则)行行列列式式转转 置置行列式乘法公式行列式乘法公式10DD 若若4 4阶行列式阶行列式D的某一行的所有元素及其的某一行的所有元素及其 余子式都相等余子式都相等, ,则则D = . .nDD2nn00011不计算行列式值，利用性质证明不计

4、算行列式值，利用性质证明2( )213331xxf xxx2213(1)(2)(3)331xxxxxxx12332( 3)2230332f由于由于( )f x是是 的三次多项式的三次多项式, ,且且x1 1 2(1) 2 2 3 0,3 3 2f2 2 2(2)2 3 303 3 3f13因此有因此有2213(1)(2)(3)331xxxxxxx 的系数为的系数为1.x3141111111111111111aaDbb152143001 11100111 1aarraDrrbbb 1100111100111111aabb121411000110011001 1rraabrrb 223411000

5、110011000arr aba bb 16计算行列式计算行列式123123123123nnnnxmxxxxxmxxxxxmxDxxxxm17212121ninininininimxxxmxxmxDmxxxm221211()1nnniinxxxmxmxxxm 1821100()00nniixxmmxm 11()()nniimxm 19计算行列式计算行列式: :1234123412341234xaaaaxaaaaxaaaaxD()iixa201234123412341234123410000aaaaxaaaDaxaaaaxaaaax用加边法用加边法21(2, 3, 4, 5)1234111223

6、34411000100010001000iiaaaaxarrxaxaxa 224411(1)()iiiiiiiaxaxa4123411122334410000000000000000iiiiaaaaaxaxaxaxaxa231 3 0 13 0 1 41 1 2 10 1 1 0D 31323334AAAA已知已知31323334MMMM241 3 0 13 0 1 41 1 1 10 1 1 01301301411 11011031323334AAAA31323334MMMM31323334AAAA3.25.25a 240a=4A41+8A42+5A43+6A44,aD 3 7 9 74 8

7、 5 63 0 4 91 4 7 226 ( )f xn-1n 12,nx xx( )0,1,2, ,if xin( )0f x 210121( )nnf xaa xa xax( )0,1,2,if xinia272101 1211 1210122212210121000nnnnnnnnnaa xa xaxaa xa xaxaa xa xax0121,na a aan28D 211112122221111nnnnnnxxxxxxxxx1()ijj i nxx 001210naaaa( )0f x 29哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲王宝玲第二章第二章 矩阵矩阵3

8、031m n mn111212122212nnmmmnaaaaaaaaaAm n32()m nijm naAm=nn,mn00| |Aij n nadet 331122nnaaaE , ,I 或或111nEkkk3411121222nnnnaaaaaal 下三角矩阵下三角矩阵: :11212212nnnnaaaaaal 行矩阵行矩阵: :12na aal 12naaa3536()ij m na()ijmnb( )()A+B=Cij m nijij m ncab()() ij m nij m naa() ABAB,()AAAA 00 ( A与与B 要同形要同形).).,()()A+B= B+ A

9、 A+BCAB+C()ijijm nab37()()Aijm nijm nkk aka1,0AAA 0()()AAk lkl()A+ BABkkk() AAAklkl381 122ijijijissjca ba ba b(),ij m sa(),ijs nb()C = ABijm nc,12iiisa aa 12jjs jbbbijc1,1,;1, .sikkjka bim jn39iji j 40(1),pmpnnqmqAA0000(2)mnE A = A, AE = A(3)()()A BCAB C(4) ()()A B+CAB+ ACB+C A = BA+CAAm n 41设设2 3111 21 ,00 312AB2 3 111 21 00 3 12 2 1 3 0 1 21 1 2 0 ( 1) 20 1 3 0 1 2 412421122,abbaABAB 1 11 22 122,ababa ba bBA 1 12