几何分布的期望与方差总结

1、 几何分布的期望与方差几何分布的期望与方差 几何分布，（1）Ep1，（2）Dpp12 （1）由Pkqpk()1，知 Eppqq pkqpqqkqpkk231232121() 下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记 Sqqkqkk12321 qSqqkqkqkkk2121() 两式相减，得 ()1121q Sqqqkqkkk Sqqkqqkkk1112(), 由01p，知01q，则limkkq 0，故 1231112122pqkqSqpkkklim() 从而Ep1 也可用无穷等比数列各项和公式Saqq111(| |)，推导如下： 记Sqqkqk12321 qSqqkqk2121()

2、 相减， ()111121q Sqqqqk 则Sqp11122() 还可用导数公式()xnxnn1，推导如下： 12321xxkxk 2323n ()n ()n()n()nkkxxxxxxxx 22(1)()1()n1(1)(1)xxxxxx 上式中令xq，则得 1231112122qqkqqpk() （2）为简化运算，利用性质DEE22()来推导,可见关键是求E2。 Epqpq pk qpk22222123 pqqk qk()12322221 对于上式括号中的式子，利用导数，关于 q 求导：k qkqkk21 ()，并用倍差法求和，有 12322221qqk qk ()qqqkqk2323

3、2224433(1)2(1)112n(1)(1)(1)(1)qqq qqqpqqqqp 则Eppppp23222()，因此DEEppppp22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。 例例 1. 一个口袋内装有 5 个白球和 2 个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望E与方差D。 解：每次从袋内取出白球的概率p 57，取出黑球的概率q 27。的取值为 1，2，3，有无穷多个。我们用 k表示前 k1 次均取到黑球，而第 k 次取到白球，因此 Pkqpkkk()( )( )(, , ,)11275712 3 。可见服从

4、几何分布。所以 Ep175 Dpp115757142522( ) 例例 2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为 p（0p1）。他有 10 发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。 解：射手射击次数的可能取值为 1，2，9，10。 若k k(, , )129，则表明他前k 1次均没击中目标，而第 k 次击中目标；若 k10，则表明他前 9 次都没击中目标，而第 10 次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为Pk()()(, , )() ()112911019pp kpkk Eppp pppp 112191101089()()()() ()() ()12 19 110189pppp 用倍差法，可求得 12 19 18()()pp 11119 111119 1929929()()()()()()pppppppp 所以Epppppppp()()()()119 110 111929910 说明：本例的试验是有限次的，并且Pp