一元二次方程中的整体思想(换元法)

1、一元二次方程中的整体思想（换元法）一、内容概述所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。最具体的代表就是换元法的运用。二、例题解析初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。何为换元法呢？解数学题 时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。（一）换元法在解方程中的应用我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解 无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方

2、程来解。然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的 某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。1.利用倒数关系换元24例1解分式方程：x 二3x 4x2 3x分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。但是若稍4加整理成x2 3x -4- 4 0 ,则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单 x 3x了。24解：移项整理得x 3x 二4 0x 3x2一、八，4设x2 3x y ,则原方程可化为 y 4 0 y去分母得y2 4y 4 0

3、解得yi y22_ .2当 y 2 时，x 3x 2 解得 xi 1x2 2经检验：xi 1x2 2是原方程的根所以，原方程的根为 x1 1x2 2练习1解无理方程:1032.利用平方关系进行换元例 2 解方程：2x2 x 5j2x2 x 6分析：代数式2x2 x与，2x2 x有平方关系,因此可以这样解解：设2x2 x y,则原方程可化为 y2 5y 6解得 yi 6 , y2129当 y 6时，12x x 6 解得 xi 4x2一2当y 1时，J2x2 x 1,此方程无实数根经检验：xi 4x2?是原方程的根2_ .9所以，原方程的根为 xi 4x2-2练习2解方程：2x2 6x 5jx2

4、3x 1 5 .一、 一一 -、一一2'.分析：如果这个方程两边平方， 那么就会得到一个一元四次方程，但本题的x项与x的一次项，系数分别成比例，利用换元法可化成一个一元二次方程3.利用对称关系换元 x 2y 2x 3y 5例3解方程组： °°2x2 xy 6y2 16分析：将第二个方程左边分解因式可得x 2y 2x 3y 16,如果设Jx 2y a,a b 5J2x 3y b ,那么原方程组可化为简单的对称方程组2 2a2b2 164.均值换元22.例4 分解因式x 7x 4 x 7x 84发现两个分析：初步观察此代数式， 似乎很难很快找到因式分解的方法，但仔细琢磨

5、，二次三项式很“相似”，不妨可以设x2 7x 6 a ,解题步骤如下：,2解：设x 7x 6 a ,则22_2_ 2_2原式=a 2a 24 ax7x6 x 1x 6当然换元法在因式分解中还有其它的应用，比方说局部换元、和积换元、和差换元等。5.整体代入据已知字母的值，先求其一中间代数式的值，再将该代数式的值，整体代入式中求值。例5已知x J3 1 ,那么解：因为x J3 1 , x3 2 x2 2x因此，原式=一2x 2x 13 2x2 4x x2 2x 12221J3 ,所以 x2 2x 23 2?2 12 1习题部分，一、2 111 .换兀法解方程： x x 4xx2 _2_.2.因式分解:x3x2x7x 121183.解分式方程组:x 2y y 2x312,1x 2y 2x y4.解无理方程：2x2 x 5.2x2 x 65.已知四个连续的整数为m, m 1m 2 , m 3 ,试说明这四个整数的积加上是完全平方数12. 一 . b c6 .已知一bc a