一题多解求双曲线的离心率

1、、典例分析，融合贯通典例1【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线xe -或 2 （舍去），所以离心率为y2,若矩形ABCD的四个顶E：-2 = 1(a > 0,b > 0)a b点在e上，ab, CD的中点为E的两个焦点，且2 ABi = 3BC，则E的离心率为【解法1】直接法由题意BC = 2c 所以 AB =3c于是点/3c(c,5)在双曲线E上，代入方程，得a9c2一帚二1e= c = 2a_ 22-2在由a + b = c得E的离心率为【点睛之笔】直接代入,少走弯路!【解法2】通径法b2A(c, 一) B(c, 易得 a ,|AB|2b2V,IBCI 2c,由2 AB

2、3 BC22.2,c a b得离心率e 2e 2.为E的两个焦点可得"-“一己所以| AB |二空a.知"工二3吃,又+则"-笈=0,即2J-2-&=0,解得“2.【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来!【解后反思】解法1 :直接将数据代入，直奔主题，不走回头路!解法2:利用通径，减少计算量!解法3:利用数形结合法，以形助数!典例2 x212009全国卷I ,理4】设双曲线 一2一a2y2-1(a>0, b>0)的渐近线与抛物线 y=x 2+1相切，则b2该双曲线的离心率等于()A. 3B.2C. . 5【解法11役而不求法双曲线的一条渐近线

3、为了=2项 a'b由1 a 3消y得工工一色工+1=0t+l "由题意:如=一 -4 = 0 .二层=4i?.又心2 =十方2一二d =金+而2 - 5口2- x/5 、故选 C. a【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！【解法2】导数法 设切点P(Xo,yo)11 y' 2x,切线斜率k 2x0x02ay0bx0 ay02ab2育,21,b24a2又c2b2,22,22c a 4a 5aC.【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向!【解后反思】 解法1:设而不求法，再也不求人!解法2:利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略!2 x -2 a1的离心率为e2, 则2

4、1的离心率为ei,双曲线”b23.典例3双曲线-yya b1-2 ei1-2 e2ei+e 2的最小值为ei e2的最小值为由双曲线离心率定义知：e122a b,e2a2 b2b,11,故有1 1.ee2【解法1均值不等式法/ + 的二 J瑁上 +B, ( + ) /a ba+bab)> 753巫)=2发:ab等号成立当且仅当° ="即白=遍九2华=2,等号成立当且仅当日二"即包二卷时 ab故答案依次为：L2/.2【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均” 【解法2】换元法不妨设e x1,e21 ,则问题相当于:1，2 1,求x y、xy的取小值。 y由均值

5、不等式得：111172 x2 y2xy一 xy2 ,等号成立，当且仅当x y ,即e1 e2 ,进而推出a b,即 ee272时而（Xy)2-22_2_2xy x y 2xy 22 2 8一2一 一22 28,x y2J2,等号成立，当且仅当J2时取等号（由口 x1，八1,去分母可得: y故答案依次为：1,2,2, 2 .【点睛之笔】换元法，换了都说好!【解后反思】 解法1 : 一正二定三相等，解起题来不需等!解法2:换元法，越换越简练，越换越明了!、精选试题，能力升级221.12018辽宁省八中模拟】已知双曲线与 与 1（a 0,b 0）的左、右焦点为 FF2,在双曲线上存a b在点P满足2

6、 T|FF2i,则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. 1 e 2 B. e 2 C. 1 e ,2 D. e 22【解析】因为。尸为AF居玛的边月玛的中线，可知而三;（瓯+短>双曲线上存在点尸满足 AT国十函卜因瓦,jqij4|po|<2c,由I所性必 可知4cM射，则22,选民222.12018广东省海珠区一模】已知双曲线 C:当 1 1（a a b0,b 0）的两条渐近线均与圆C的离心率为A.B.D.【解析】双曲线2 x 2 a2。1 a 0,b b2的渐近线方程为yC:x26x0化为标准方程4, C3,0 ,半径为2v双曲线2 x 2 a2 y b20,b 0的两条渐近线

7、均和圆6x 5 0相切,3b2222,9b24b24a2,22'b a2, 9b4b24a2b24a" b2_229a 5c ,3/55双曲线离心6x 5 0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则一,3 <5 一，率对于,故选C.53.12018广西柳州市一模】若双曲线2 x2 a2b2(a 0,b0）上存在一点P满足以OP为边长的正方形的面积等于2ab （其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（c/5C.2D.-7解析】试题分析：由条件，I。尸IJ 29,又F为双曲线上一点，从而QH艺。，二2帅皂/二期三日，又=d =a2 + 之口" + 巴=4

8、4一也a 24.12018湖南省永州市一模】已知点2 XP为双曲线一2 a2与 1(a 0,b 0)右支上一点, bFi,F2分别为双曲线的左右焦点，点I为 PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有S ip%IPF21，、-S IF1F2成立，则22双曲线的离心率取值范围为()A. 1,2B. 1,2C. 0,2D.2,3E【解析】如图，设圆I与 F1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E,F,G ,连接IE、IF、IE F1F2"PF，IGPF2,它们分另iJ是IF1F2,IPFi,IPF2的高IPF1PF1IFr产,sIPF2PF2IG2PF，S IF1F2IEi

9、1F1F2其中r是PF1F2的内切圆的半径，因为SIPF11-S 2IFF?所以 一 PF1- PF2F1 F2 ,两边约去2 得 PF12a c11PF22 "2,、一， c离心率为e 一 a5.12018陕西西工大附中六模】PF11PF2 一 F1F22根据双曲线定义，得PF12 ,双曲线的离心率取值范围为1,2 ,故选A.PF22a, F1F22c,22 X V , , 2_ 一 已知双曲线七 1(a 0,b 0)的两条渐近线与抛物线y 8x的a b准线分别交于 A, B两点， 。为坐标原点，若 ABO的面积为4J3 ,则双曲线的离心率为（A. B. 2 C. 13 D. 41

10、解析】/ = Tk的准线方程为二2 ,二双曲线三一g=1（白0工0）的两条渐进M与抛物线F二用工的准线分弁及3金 a b的面积为4点，.小竺=4瓦213"b 二出a j.c = 2a ,g ,目=一二工.a本题选择E选项.2 x6.12013课标全国I,理 4】已知双曲线 C: a2y ,=1 (a> 0, bb 0）的离心率为C的渐近线方程为().A . y = xB.y= 1 x C. y= 1 x D.y = ±x32【答案】：C c 5【解析】：. e , a 222, 22 c a b2a a5b1一 .，a2 = 4b2,-= 一 .，渐近线万程为y4a2

11、7.12011全国新课标，理7】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直,b1x x .a2l与C交于A,B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A.&B. V3C. 2D. 3【答案】B【解析】解：不妨设双曲线C： 一-二1， a b焦点F (-% o)2对称轴22由题设知三一与二La d故选B.1上的一点,Fi,F2是C上的两2x8.12015局考新课标1,理5已知M ( Xo,y0)是双曲线 C: 一2个焦点，若Mf1?mF2 0,则yo的取值范围是().3.3(A) (,)(C)(2422423 '3(D)(2732733，3)_2【解析】由题

12、知Fi( 73,0), F2(73,0),区 2y21,所以mf!?mf =y0)?(3 X0, y°)=xoy02 3 3y02 1 0,解得3y。机故选3A.2b21(a 0,b 0)的左焦点，定点 A为双曲线虚轴的一个端点，过 F, A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若3FA ,则此双曲线的离心率为-4【答案】-3【解析】F为双曲线三4=1(。0田0)的左焦点，定点/为双曲线虚轴的一个端点, a b谩FyO).H。1直线/F； y =-x+i.根据题意知,直线AF与渐近线y =电工相交.y-xb联3两直线：消去工得：yB =y = -x由疑一3八(得丁君一4

13、万，所以4沙.4解得离心率=一.310.12008全国1,理21】双曲线的中心为原点 O,焦点在X轴上，两条渐近线分别为11, 12,经过右焦点F垂直于11的直线分别交11,12于A, B两点.已知oAimaBimqBi(I)求双曲线的离心率;(n)设 AB被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.解析】：C I )设 0A - md _f AB -m , OB =制 + M由勾股定理可得：(用一dy+*=F+d尸得：d TH ?4由倍角公式二1-2b a(I)解得则离心率?二坐3。 22tanZOF-, tanZQB-taii2ZOF- -aOA 3CII)过F直线方程为y = -(x-c),与双