【中考】备战2020年中考数学一轮专项复习——反比例函数综合问题(含详细解答)

1、备战2020年中考数学一轮专项复习一一反比例函数综合问题一、反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如 y = ( k是常数,k = 0 )的函数叫做反比例函数。x注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)解析式有三种常见的表达形式：(A) y = (k w 0) ;(B) xy = k (k 丰 0); (C) y=kx -1 (kw0)x二、反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。2、位置：(1)当k>0时，双曲线分别位于第一、三象限内；(2)当k<0时，双曲线分别位于第二、四象限内。3、增减性：(1)当k>0时,y= (k w0)为减函数，

2、丫随*的增大而减小；x(2)当k<0时,y = K (k w 0)为增函数，y随x的增大而增大。x4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交5、对称性：(1)对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成中心对称；(2)对于k取互为相反数的两个反比例函数(如：y = 6和丫= 6)来说，它们是关于 x轴，y轴成轴对称。xx一、选择题：1 .下列函数，y = 2x, (2)y=x, (3)y=x 1,y=L是反比例函数的个数有()x+1A.0个B. 1个C. 2个D.3个【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是H (kw0)判定则可.【解析】y = 2x

3、是正比例函数；y = x是正比例函数；y = x 1是反比例函数；y =；-不是反比例函数，是反比例关系；所以共有1个.故选：B.2. (2019?济南)函数y=-ax+a与y=t (aw0)在同一坐标系中的图象可能是()在一、三象限，无选项符合.【解析】a>0时，-a<0, y=- ax+ a在一、二、四象限，y =a<0 时，-a>0, y=-ax+a 在一、三、四象限， y =（a前）在二、四象限，只有 D符合;3.如图，过原点的直线l与反比仞函数y=-的图象交于M, N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是A.日【分析】设N的横坐标是a,则纵坐标是-【解析】设

4、N的横坐标是a,则纵坐标是-则OM =ON =小2.C. 2D. 1,利用a即可表示出ON的长度，然后根据不等式的性质即可求解.3刈2则MN的最小值是2碗.故选：B.34. （2019?阜新）如图，点 A在反比仞函数y= （x>0）的图象上，过点 A作AB，x轴，垂足为点 B,点C在y轴上，则 ABC的面积为（）C0A. 3B. 2C.D. 1【解析】连结OA,如图,AB，x 轴,.OC /AB,，SZOAB= S/CAB,而 SAOAB = y|k| = .S岂AB = q故选：C.5. （2019?遵义）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD在第一象限内，边 BC与x轴平行，A,

5、B两点的纵坐(x>0)的图象经过 A, B两点，若菱形 ABCD的面积为2d可，则k的值为A, B两点在反比例函数 y = j标分另1J为4, 2,反比例函数y =CB的延长线于点E,C. 4D. 6(x>0)的图象，且纵坐标分别为4, 2,4), B (冬 2),1. AE=2, BE= kk,- 菱形ABCD的面积为2诋，- -BCXAE=2® 即 BC=V5, . AB = BC =诋，在 RtMEB 中，BE=.*1- .k= 4.故选：C.2E6.如图，在菱形 ABOC中，ZABO = 120 ,它的一个顶点C在反比例函数y=7的图象上，若将菱形向下平移2个单位

6、，点A恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为(0dTB.y一2【分析】点C作CD，x轴于D,设菱形的边长为 a,根据菱形的性质和三角函数分别表示出C,以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可.【解析】过点C作CD，x轴于D ,设菱形的边长为a,在 Rt yDO 中，OD = a?cos60a, CD=a?sin60a,则C (-三，a)点A向下平移2个单位的点为(-2),即(-a23f 1 Vs ,TaPVa=k解得干2次 :k=-3/3故反比例函数解析式为y=,AA1A2B2A2A3B3,是分别以Ai,A2, A3 ,为直角顶点，一条直角边在yi

7、), C2 (x2, y2), C3 (x3, y3),均在反比例函数 )轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点Ci (xi,=-(x>0)的图象上.则 yi+y2+ yio的值为(其斜边白中点Ci在反比仞函数y =【解析】过Ci、C2、C3分别作x轴的垂线，垂足分别为D. 277Di、D2、D3-，C (2, 2)即 yi = 2, .ODi=DiAi = 2,设 Ai D2= a,则 C2D2= a 此时 C2 (4+ a, a),代入 y=得:a (4+ a) = 4,解得：a= 即：y2=2>/2 = 2,同理：y3= 273-22,y4= 2VI-2V3, .yi+ y

8、2+ -+ yio 2+ 2V2-2+ 273-22+阂15-2«= 210,故选：A.是AC的中点.若 ABP的面积为4,则k的值为（）.C, BD±y轴于点D ,ACBDP, PA. 16B. 8C. 4D. 24由反比【分析】由ABP的面积为4,知BP?AP=8.根据反比例函数 y=中k的几何意义，知本题 k = OC?AC,例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出 OC=BP, AC=2AP,进而求出k的值.【解答】解：: ABP的面积为4-?BP?AP = 4 , 2. BP?AP = 8,.P是AC的中点，A点的纵坐标是 B点纵坐标的2倍，又点A、B都在双

9、曲线y = A （x>0）上，.B点的横坐标是 A点横坐标的2倍，. OC=DP = BP, . k=OC?AC = BP?2AP = 16 .故选A.二、填空题：9. （2019山西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形 ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,k坐标为（-4,0 ）,点D的坐标为（-1,4 ）,反比例函数y （x 0）的图象恰好经过点 C,则k的值为 x0 8【解析】 过点D作DELAB于点E,则AD=5 , .四边形ABCD为菱形，CD=5点C分别位于x轴，y轴的正半轴，点P处，反比例函数y=L经过点该二次函数的解析式为0【解析】点C (0, 3),反比例函数y

10、12经过点B,则点B (4, 3),则 OC = 3 , OA = 4 , -.AC = 5,设 OG = PG= x,则 GA= 4 x, PA= AC CP= AC OC =5 3=2,由勾股定理得：(4-x) 2 = 4+x2,解得：x =,故点G (片,0)将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得:c二。1.4a+4b+c=01一u 11t c=3故答案为：y =x22聆3OABC的顶点O落在坐标原点，点 A、G为线段OA上一点，将 OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线 AC上的B.二次函数y = ax2+bx+c (a却)的图象经过 C (0, 3)、G、A三点，则.(填一般式)11

11、.如图，已知点(1 , 3)在函数y = k(x>0)的图象上，正方形 ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点, xE两点，则点E的横坐标为k函数y=(x>0)的图象又经过 A x【解析】把(1 , 3)代入到ky=",得xk=3DC a+ 一=3,由得 阻+ b- = 3,把代入得3- + b = 3,2424即 b2 = 6,解得 b=±#,因为A在第一象限，所以 b>0,所以b =.把b =、/6代入求得所以点E的横坐标为a + 2=y6故答案为-6.412 .如图，RtMOB中，ZOAB=90 , QBA = 30 ° ,顶点A

12、在反比仞函数 y=，图象上，若 RtZAOB的面积恰好被y轴平分，则进过点 B的反比例函数的解析式为【分析】分别过 A、B作AELx轴于E, BDy轴交AE于F.设A (a, b),则ab = - 4 .根据两角对应相等的两 三角形相似，得出 OAEsbF,由相似三角形的对应边成比例，则 BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出B的坐标，进而得出结果.【解析】 分别过A、B作AEx轴于E, BDy轴交AE于F.设A (a, b).顶点A在反比仞函数y = 一图象上， .ab = - 4. .zOAB=90 ,ZOAE = 90 -zBAF=ZABF, ZOEA=ZBFA= 90. ./O

13、AEs/ABF,. .OA： AB = OE： AF = AE： BF,在 RtMOB 中，ZAOAB = 90 , QBA = 30, .OA： AB=1： g,-a： AF=b： BF= 1 ：迎AF= - V3a|, BF= V3b,/RtMOB的面积恰好被y轴平分，. AC=BC, .BD = DF = 5bF= -a, OD=AE+AF = b-73a,- A ( - gb, b), B (争，b-码也)-?LJlb?b= - 4,2b2*'伍.* =史瓦(b - 73a) =®b2-ab = 10,222故答案为：10.13 .如图，ZOAP, MBQ是等腰直角三

14、角形,4点P, Q在反比仞函数y=（x>0）上，直角顶点A,xB均在x轴上,y=- 4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正ABCD向左平则点Q的坐标为.【解析】ZOAP是等腰直角三角形， .PA=OA.设P 点的坐标是（a, a）,4把（a, a）代入解析式y=，解得a = 2（a=2舍去）, xP的坐标是（2 , 2）, .OA = 2, XBQ是等腰直角三角形， .BQ = AB, .可以设Q的纵坐标是b,，横坐标是b + 2,把Q的坐标代入解析式 y= ±x得 b = b2-，=b = y/5 1（b = 一 #1 舍去）, .点Q 的坐标为（y/5+1 , 4

15、-1）.14 . （2019 ?毕节市）如图，在平面直角坐标中，一次函数方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点 D在反比仞数y=T （k却）的图象上.若正方形移n个单位后，顶点 C恰好落在反比例函数的图象上，则 n的值是【解析】过点D作DE，x轴，过点C作CF，y轴,ABXAD ,. zBAO = ZDAE,.AB = AD, /BOA =/DEA, .ABOdDAE (AAS),. AE=BO, DE= OA,易求 A (1 , 0), B (0, 4), D (5,1), 顶点d在反比仞« y=¥上， .k = 5,5 -y =一, y易证CBmZBAO (AAS),

16、.CF=4, BF=1,C (4, 5),C向左移动n个单位后为(4 - n , 5),-.5 (4 - n) = 5,-'n = 3 ,故答案为3;三、解答题m15.如图，一次函数 y=kx + 2的图象与反比例函数 y =的图象在第一象限的交点为P.PA垂直x轴于点A.PB垂x直y轴于点B.函数y= kx + 2的图象分别交x轴，y轴于点C, D.已知DB = 2OD, APBD的面积S zpbd= 4.求点D的坐标；(2)求k, m的值；(3)写出当x>0时，使一次函数 y=kx + 2的值大于反比例函数 丫 =m的值的x的取值范围. x【解析】在y= kx + 2中，令x

17、=0,得y=2,所以点 D(0, 2).(2)因为 OD=2, DB = 2OD = 4,由 SAPBD = 4,可得 BP= 2,而 OB=OD + DB=6,所以点 P(2, 6).m将P(2, 6)分别代入丫=4+ 2与丫=一，可得 xk=2, m = 12.(3)由图象可知，当x>0时，使一次函数y = kx+2的值大于反比例函数y=-的值的x的取值范围是x>2.x16. (2019遂宁中考 第23题10分)如图，一次函数 y=x- 3的图象与反比例函数 y (kw0)的图象交于点A 与点 B (a, - 4).(1)求反比例函数的表达式;(2)若动点P是第一象限内双曲线上

18、的点(不与点 A重合)，连接OP,且过点P作y轴的平行线交直线 AB于点C,连接OC,若POC的面积为3,求出点P的坐标.k= 4【解析】(1)将B(a, 4)代入一次函数 y = x 3中得：a=-1. B ( - 1 , - 4)将B ( - 1 , - 4)代入反比例函数 y- (k却)中得: x反比例函数的表达式为 y=；(2)如图:解得：m=5或-2或1或2 .一点P不与点A重合，且A (4 , 1 )一 4，m W4又m >0，m =5或1或2,点P的坐标为(5 ,滑)或(1, 4)或(2, 2 ).517. (2019 ?河池)在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的顶点坐标为

19、 A (0, 0), B (6, 0), C (6, 8), D (0, 8),AC, BD交于点E.k(1)如图(1),双曲线y =过点E,直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；x(2)如图(2),双曲线y = =与BC, CD分别交于点 M, N,点C关于MN的对称点C'育 轴上.求证4CMNxzTBD,并求点C'的坐标；k 3(3)如图(3),将矩形ABCD向右平移m (m >0)个单位长度，使过点 E的双曲线y=与AD交于点P.当xMEP为等腰三角形时，求 m的值.Q)(3)【解析】(1)如图1中，O(A) B r四边形ABCD是矩形,. DE=EB,-B (6,

20、0), D (0, 8),E (3, 4),k双曲线y =，过点E,x.*1=12 .12反比例函数的解析式为 y=.(2)如图2中,点M, N在反比例函数的图象上, .DN?AD = BM?AB,. BC=AD, AB = CD, .DN?BC= BM ?CD,DN= CD.广EC ',DN_ BMCD = CB 'CN _ CMCD = CB '.zMCN =/BCD, .ZMCN s/bcD, .zCNM =/CDB, .MN /BD, -CMN sBD. B (6, 0), D (0, 8),4直线BD的解析式为y= - 7Tx+8C, C'关于MN对称

21、, . CC' JMN , . CC' _BD,C (6, 8),直线CC'的解析式为y=；x+/,.C' 0,(3)如图3中，当AP = AE= 5时，P(m, 5), E (m+3, 4), P, E在反比例函数图象上， 1-5m =4 (m+3 ),.m = 12 .当EP= AE时，点P与点D重合，P (m, 8), E (m+3 , 4), P, E在反比例函数图象上， 1-8m =4 (m+3 ),- m = 3 .显然PAwPE,若相等，则 PE/x轴，显然不可能. 综上所述，满足条件的 m的值为3或12 .18 .“六一”儿童节，小文到公园游玩.

22、看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度)如图，它与两面互相垂直的围墙OP, OQ之间有一块空地 MPOQN(MP ±OP, NQ ±OQ),他发现弯道 MN上任意一点到两边围墙的垂线段 与围墙所围成的矩形的面积都相等.比如：A, B, C是弯道MN上的三点，矩形 ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等.爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为Si, S2, S3,并测得S2 = 6(单位：平方米),OG = GH = HI.求Si和S3的值；(2)设T(x, y)是弯道MN上的任一点，写出 y关于x的函数解析式；(3)公园准备对区域MP

23、OQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点 除外)，已知MP=2米，NQ=3米.问一共能种植多少棵花木？【解析】(1)二矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等，弯道为反比例函数图象的一部分.设反比例函数的解析式为 y=k(kw0), OG=GH = HI = a,则 AG = ", BH =, CI =)-所以 S2 = ?a-?a = 6 ,解得 xa 2a 3a2a 3a卜=36.所以$1 = "?2 )"?2=2*36 = 18, S3=?a = -k = -X36 = 12 ; (2)由(1)得，弯道的函数解

24、析式为 y = a 2a 223a 3336-/.T(x, y)是弯道 MN 上的任一点，.y = 36" (3) .MP =2, NQ = 3 , .GM =6=18, OQ =36 = 12. .在横坐标、 xx23纵坐标都是偶数的点处种植花木 (区域边界上的点除外)，当x=2时，y = 18,可以种8棵；当x=4时，y = 9, 可以种4棵；当x=6时，y=6,可以种2棵；当x=8时，y = 4.5 ,可以种2棵；当x=10时，y = 3.6 ,可以种 1棵.故一共可以种 8+4+2 + 2+1 = 17(棵)花木.k19、如图，已知反比例函数y 一与一次函数y x b的图象在第一象限相交于点 A(1, k 4).x(1)试确定这两个函数的表达式；(2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的值范围