【数学】湖南省益阳市广益实验中学2021届高三上学期新高考第一次适应性考试试卷

1、创新设计图书湖南省益阳市广益实验中学2021届高三上学期新高考第一次适应性考试数学试卷一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求.)1 .已知全集 =丁,集合A = xlV3x>0 , B = xly = ln(x-2),则5n(QA)=()A. 0,3)B, (1,3)C.(2,3JD.(2,3)1-2/2 .若2=-,则Z在复平面内对应的点位于()1-ZA.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限1 1 13 .己知 = b = log3 , c = log1,则4,Z?,c的大小关系为()一 23 2A. a &l

2、t;b<cB. b<c<a C. a <c<b D. b<a<c4 . “ae(l, 4)”是“直线工+)，一。= 0与圆。：(工一1)2 + ()，-2)2=2相交”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5 .九章算术衰分中有如下问题:“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八 十，凡三人俱出关，关税百钱,欲以钱数多少衰出之，问各几何?”翻译为"今有甲持钱560,乙 持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的 比例交税向三人各应付多少税?”则下列说

3、法中错误的是()A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱超过甲C.乙应出的税钱约为32D.丙付的税钱最少6 .已知两个力6=(1,2),外=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力吊，则K =()(1,-5)(-1,5)(5,-1)(-5,1)ax JL/ .7 . 一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险.现给某 病人注射了这种药2500mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物 的利用价值，那么从现在起经过()小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效。(附：1g 2 = 0

4、.301,1g 3 = 0.4771,答案采取四舍五入精确到0.1小时)A. 23小时B. 3.5小时C. 5.6小时 D. 8.8小时8 .已知函数/(x)的定义域为凡/(x + 4)是偶函数，/(6) = 3, /1)在(s,4上单调 递减，则不等式f(2x 4)<3的解集为()A. (4, 6)B. (s,4)U(6,+s)C. (-s,3)U(5, + s)D. (3,5)二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.)9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和

5、净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%则下列判断中正确的是()A.该公司2019年度冰箱类电器营销亏损B.该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同C.该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低sinx,x< 4丸cos X,x> 410.已知函数/(幻=，,则下列结论正确的是()B. /(X)奇函数A. 7")不是周期函数C. 的图象关于直线工=二对称4D. &qu

6、ot;X)在工=三处取得最大值2¥.91 联系电话：4000-916-716创新设计图书11 .在棱长为1的正方体ABCD - ABCR中，点M在棱CG上，则下列结论正确的是（）A.直线BM与平而必平行B.平面截正方体所得的截而为三角形C.异而直线AR与AG所成的角为5 D. 目十 |M0j的最小值为"312 .已知函数/（工）=太111十一，%是函数/（工）的极值点，以下几个结论中正确的是（）A. 0 < x0 < B x0 > C. /（.%）+ 2.” < 0D./（3）+ 2& > 0ec三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，

7、共20分.）13 .1知（2x +1）4 = 4。+（X 1） +（X 1）+ 3（X 1）3 +。4（工1），则。0 + 4 的 值为.2214 .已知F为椭圆C：三+二=1的左焦点，定点4（一3,3）,点P为椭圆C上的一个动 点，则归H+归可的最大值为15 .已知正三棱锥的底边边长为2JJ,侧棱长为、/7,则该正三棱锥的外接球半径和内切 球半径的比值为.36-12% J < x < 22则函数g（x） = x/（x）-9在区间16 .定义函数f（x） = -f-x>21,2 e N）内的所有的零点之和为.四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

8、演算步骤.）17 .（本题满分为10分）在3c, = 165 +3（ 一此：5Z?cosC+4c = 5，这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，然后解答补充完整的题目.在AA8C中，内角A 8, C的对边分别为“,4c,设AA8C的面积为5，已知（1）求tanB的值； （2）若5 = 42,。= 10,求8 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.联系电话：4000-916-716创新设计图书18 .（本题满分为12分）已知正项数列”的前n项和为S”,且满足a；+ an = 2Sn.（1）求“的通项公式，（2）若a=（%-12%），求a的前项和19 .（本题满分为12分）如图，

9、在四棱锥P-A3C。中，P£）J_底面A3C。，ADHBC, NA8C=90。，/BCD = 45。, BC=2AD.P（2）若PC=BC,求平面24。和平面尸8c所成的角（锐角）的余弦值.20 .（本题满分为12分）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、 6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球 中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分 布列和数学期望

10、.2L （本题满分为12分）22/T在平面直角坐标系宜乃中，椭圆二+工=1（。匕o）的离心率是抛物线占a2X2 = 4y的焦点F是椭圆。的一个顶点.（1）求椭圆C的方程（2）设直线/不经过F,且与。相交于A, B两点,若直线FA与的斜率之和为-1,证 明：/过定点.¥.91 联系电话：4000-916-716创新设计图书22.（本题满分为12分）已知函数/（x） = "7x- - In x, g（x） = + nx. xx（1）求g（x）的极小值：（2）若），= /（x）-g（x）在1,+。）上为单调增函数，求?的取值范围；（3）设（幻=%,若在1,6 （e是自然对数的底数

11、）上至少存在一个公,使得 x/（玉）一且（与）（与）成立，求？的取值范围.参考答案一、单项选择题:题号12345678答案CDBABAAD二、多项选择题:题号9101112答案ACDACACDAD15、16 3(2一)2三、填空题：13、 31314、 9四、解答题：17.解：选择条件.由题意得84Gs力7 B = 3(/ +c2 -b2).即 4sin B =¥.91 联系电话：4000-916-716整理可得3cos8-4可“8 = 45 84分又sin B>0.所以cos 8>0,所以n sin 83，八tan B = .5 分cos 3 4选择条件.因为 5Z?c

12、os C+4c = 5a，由正弦定理得，5sinBcosC + 4sinC = 5sinA，5sinBcosC + 4sinC = 5sin(B + C),sinC(4-5cos B) = 0 ,3 分4在区ABC 中，sinC W 0，所以cosB =一,sin B = Jl - cos' B =二，所以 tan B = 5 分5433由 tan 8 =,得 sin B = 又 S = 42,a = 10, 45113225c = 14.7 分则 S = acsin B = xlOcx = 42，解得将 S=42,a= 10,c = 14 代入 6c 2 =16S + 3(62+c2

13、-cJ)中，f#6xl42 =16 x 42 + 3(/?2 +142 -102),解得b = 6走.10分18.解：(1)当 =1 时，a；+q = 2q,. >0,.q = 12 分当22时，Y+4=2S“M；7+qi=Sx，两式作差得：(一 4.】一 1)(4 + %) = °，= 4 > °，. 4= %+15 分创新设计图书即“是以1为首项，1为公差的等差数列，.%=6分(2) a=(2"l)21分7；f =1x21+3x22 +5x23 +(2-1)2”由错位相减法得，=(2 - 3)2i+612分www. 91 taoke. c om联系

14、电话：4000-916-71619.6分【答案】(1)证明：取8。的中点£,连接因为8c =2力。，所以A0 = 8&乂闪为，所以四边形H8E0是平行四边形.因为乙48C = 90。所以四边彩"ED是电形.所以。El 8c.又nBCD = 45。,所以DE=CE = J BC.所以 BCD是直角三角形，即BD1CD.义 PO_L底面/SCO, 8。=底面月8CO,所以 BD LPD. 乂 CD u平面 PCD,CD c 平面 PCD. HPDnCD = D.I«h以 RD 1Ttl PCD. Z PC u 平山尸。所以 RD 1 PC.（2）如图，以。为坐

15、标原点，分别以。6, DC,。尸所在直线为x珀，）,轴，z轴建立空 间直角坐标系。一盯z,设力。=1,则8c=2,由（1）知。E=l, DC = M DB =&又PC=BC,所以PD=、伍所以8（我,0,0）£（0诋0）产（0,0,两方（今冬0）所以就=（一您，夜,0）,配=（0.V2,-&）.设平面P8C的法向量为W =（秘z）,则巧1匣E 1 PC所嘿系卜中沈 +沈7所以平面PBC的一个法向量为五=（1,1,1）.又平面PAD的一个法向量为而= DE =（号号0）所以8SV曲”矗=爵=乎所以平面PAD和平而PBC所成的角（锐角）的余弦值为手.12分20.解：（I

16、）记事件4尸从甲箱中摸出的1个球是红球,顾客抽奖14=（从乙箱中摸出的1个球是红球,用=顾客抽奖1次获一等奖）, B2 = 次获二等奖）, C= 顾客抽奖1次能获奖.由题意，A与&相互独立，A可与可4互斥，4与互斥，且用=442，B2 = A1A1+ A, C=Bi + B?.创新设计图书一4 2 因 P(A)= 1rM，P(A.)=-10 2211所以P(名尸p(m&尸p(a)尸(人2尸乂5=二，p(&)=p(a4+44)=p(4 回)+尸(无4)21211= P(A1)(1-P(A2)+(1.P(A1)P(A2)=-x(1.-)+(1.)x - =J乙J乙乙117故

17、所求概率为P(C尸 PkBx + B2)=p(BI)+p(B2)=- + - = .6 分5210(II)顾客抽奖3次独立重复试验，由(I)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为；， 所以X-8(3,4.于是 P(X=0)=C；W)审喂,P(X=l)=C!(-)'(-)2 = , 5 5125P(X=2A*峙晦,p(X=3)=*)“把专.故X的分布列为X0123P6412548125121251125所以E(X)=*12分21.解：抛物线E： / = 4y的焦点F(0,l)是椭圆C的一个顶点，可得b = l,由° = £= 1一上=空,解得a = 2,a a2 2则椭圆方

18、程为h + y2 = i；4分4(2)证明：当斜率不存在时，设/： x =m> A(mfyA),直线FA与直线FB的斜率的和为一1, %4 +理8 = 券 + * = 专 + 索 =-1 xa xq m m解得m = 2,此时/过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足;侬斜率存在时,设八 y = kx + t9 (tHl),(卬%)，B(x2/y2),联立2+2：14，整理，得(1 + 以2)/+ 8ktx + 4t2 一 4 = 0,8kt4t2-4为+"2 = 一际'%打=际直线FA与FB直线的斜率的和为-1,yx -1 y2 -1 %i(-2 +1 - i)+x2(

19、fe%1 + t- 1) kFA + kFB = + =“142=262 +必)=_ X/2一(弋入额三=-1,a t = -2k 1 ,此时=64k,存在A,使得> 0成立，直线I的方程为y = kx -2k - 1,当 = 2时，y = -1,I过定点(2,-1).12 分22.解：(1)由题意，x>0, g (x) = r + = 一，所以0cx<1 时，g'(x)v0：当x>l r X X-时，g'(x)>0.所以g(x)在(0,1)上是减函数，在(L+S)上是增函数，故g(x)极小值=g(D = 1.3分(2)因为/(x)-g(x) = 优一"-21nx,所以"W-gW=丝-A+,n , Xx-由于/(x) g(x)在内为单调递增函数，所以“2-2工+"?之。在1,0)上恒成立,2x2 x即此二在l,"o)上恒成立，故&qu