【高中数学必修四】复习讲义专题1.3三角函数的诱导公式

1、第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式履知识1 .诱导公式的内容公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2kn+a) =sina (kWZ)cos (2k7i+a) =cosa (k£Z)tan (2kn+a) =tana (k£Z)公式二：设a为任意角，7i+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin (n+a) = -sinacos (n+a) =-cosatan (7i+a) = tana公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系(利用原函数奇偶性)：sin (-a) =-sinacos (-a) =cosatan (f) =-ta

2、na公式四：利用公式二和公式三可以得到7TF与a的三角函数值之间的关系：sin (兀rx) = sinacos (n-a) =yosgtan (n-a)=-】a公式五：任意角a与Nrz的三角函数值之间的关系：2sin ( -a) =cosa2cos ( - -a) =sina2公式六：任意角a与4十a的三角函数值之间的关系：2sin ( +a) =cosa2cos ( +a) =-sina 2推算公式：与a的三角函数值之间的关系： 2/ 3兀.、sin （ 一 +a） =-cosa2/ 3兀 、sin （ -a） =-cosa2/ 3兀、cos （ +a） =sina2/ 3兀、,cos （

3、一。）=-sina22 .诱导公式的规律三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指粉奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍, 则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称.”符号看象限''是把a当成时，原三角函数式中的角（如方+a）所在象限 的符号.注意把a当成锐角是指a不一定是锐角，如 sin （360°+120°） = sin 120°, sin （270°+120°） =-cos120°,此时把 120。当成了锐角来处理.“原三 角函数”是指等

4、号左边的函数.3 .诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为 三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的去负（化负角为正用） 三角函数任意正角的 脱周、 三角函数脱诉近0。0。到360。的 三角函数化锐（把而端克为）锐角三角函数彩"'嗨八运培运,。堪：窿邀慈一嗨、运人翻7卷。盘.=“趣K知识参考答案:2.不变 锐角原三角函数值 3.锐角公。这瑜。这。5f尸凝飕 这八运人翻。广怎.。魏.三蕤趣是重点K一重点掌握诱导公式的内容和规律.K一难点1 .诱导公式的作用：2 .诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是 否要改变以及正负号的选取.K

5、一易错诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要 改变以及正负号的选取.1 .诱导公式的简单应用X函数sinxcosxtanx-asinacosatana712±acosa+sina+sinacosa±tana3ncosa±sina2n±a±sinacosa±tana【例1】sin585。的值为A.乎B.乎C. 一当D,日【答案】A【解析】sin585°=sin (360°+180°+45°) =sin (1800+45°) =-sin450=一半.故选 A.【名师点

6、睛】三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交 错使用公式时导致的混乱.在运用公式时正确判断符号至关重要.三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视.【例2】已知l + cosancos?/ 2若须（1&）= i 0是第二象限角'则.广。A.910B. 5D. 10【答案】D2（2）常见的互余和互补的角常见的互余的角:71.兀+a； -+alj 一一 a：常见的互补的角：£+6与交-6：33乙+6与攻田等.【例3】下列关系式中正确的是A.sin 11 0<cos 100<sin 168&#

7、176;B. sinl68°<sinl l0<coslO0C.sinll0<sinl68o<cosl00D. sin 1680<cos 100<sin 11 °【答案】C【解析】Vcosl00=sin80°, sinl68°=sin (180°-12°) =sin12% Asinl I0<sinl680<cosl0°.故选 Csin(2n-a)cos(7t + a)cos| + a cos【例4求证： 二一-一IE一 a 2cos(7r-a)sin(37c-a)sin (一瓦

8、一 a【答案】答案详见解析【解析】左边=-sina . (-cosa)(-sina)(-sina)(一 cosa) sina sina cos a="tai】a=右边，等式成立.【解析】,皿（J,是第二象限角 1f一：7t + Ct .兀一 Ct sin- sin【名师点睛】（1）化简三角函数式的结果要求所含三角函数名称最少，次数最低，含有特殊角的要写出出 函数值.（2）对含有（k£Z）形式的角，要对上的奇偶性分类讨论.2 .应用诱导公式的思路与技巧（1）应用诱导公式的一般思路化大角为小角;角中含有加减上的整数倍时，用公式去掉N的整数倍.【名师点睛】解决恒等式的证明问题关键

9、是灵活应用诱导公式，将各三角函数化成同角的三角函数，从一 边向另一边推导，或证明两边都等于同一个式子.是好题1. cos(7r+.r)=A. cosxB. -OS.¥C.2.tan390。的值等于A小A.3C.3.廿/ 兀若 cos ( a-)=，则 sin (a+ )4.已知a为锐角,且sina =?贝ij cos5A.Vio5.已知 cos (n+3)1A. 一一 36. cos 61A.-2基础的值为C.(3n+a)C.siiuVioD. -siiuD.D.一,一<0<TCf 则 cos ( B. 13B.1247.已知 cos a =，则 cos(7t-a)=A.

10、B.C.C.C.的值为D.D.D.8,已知cosa = L,则3B.tana = 25/2. nC. sin a + 2D.cos(a-7T)= lx/152>/2T"9.已*知 sine?=-,那么sin（7T-a）等于13A.上B.-5C.513131310. tan (-675°)的值为AlB 忘C "2211.如果cos a + j = - -t a ,兀,那么 tana 等于2) 1312 JA 5n 5-12A.B. C.1212512 .已知 sin(jr-a) = -g ,则 sin (-2兀-a) =.13 .已知 sin ( +a) =

11、- (0,) > 则 sin (n+a)=25214 .已知 sin(3(r + a) = *,则 cos (60°-a)的值为A. 1B. -iC,在22215 .如果A为锐角，sin(兀+ A) = -1，那么cos(兀一A)=2R a2D.在216.若cos(2u-a) =且aw -10 ,则 sin (n-a)A.B.C.D._2一 4+2 317.已知 tan： a+ ；3一，则 cos 4C.1625D.242518.已知角6的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2y=0上，则sin + 0 +cos（7t e）sin； |-sin（7r-）A. -2B

12、. 2C. 0D.19 .化简；（1）sin （兀+ a）sin（2兀- a）cos（一兀一 a）sin（3 兀+ a）cos（兀一 a（2） cos200+cos 160°+sin 1866°-sin （-606°）cc * I 中。 257r26苑/ 257r、20 .计算：sin+ cos+tan （）sin（3;t-a）cos（27r-a）sin21 .已知/"）=- .cos（兀- c）sin（一兀-a）（1）化简/ （a）（2）若a是第二象限角,且cos （畀a）,求f （a）的值.322.已知a为第三象限角，/(a) =兀 sin a- c

13、os2)专+ "an(jr a)tail (-a -兀)sin (a n)(1)化简/ (a)(2)若cos3瓦 a-223.已知tan (兀rz) =-3,求下列式子的值:(1)tana：(2)sin (兀一 a)-cos(7i + a)-sin(27c-a) + cos(-a)f nsin -a +cosI 224. (1)sin2 (a + 7i)cos(a + 7i)cos(-o-27r) 化简：!7 tan (a+ 7i)-sin "兀+ a12sin (-er-2k)(2)已知cos|色一6 =a,求cos逆 + & + sin 空一 6；的值7TKWF

14、25 .（上海）设a£R, 附0, 2兀），若对任意实数x都有sin （3x- ） =sin （ax+b）,则满足条件的有序 3实数对（小b）的对数为A. 1B. 2C. 3D. 426 . （2017北京）在平而直角坐标系xQv中，角a与角£均以Ox为始边，它们的终边关于），轴对称，若 sina=g,则 sin£=.27 . （2017上海）设、s£R.且一!一 +!= 2,则|107w“rR的最小值等于.2 +sin% 2 +sin （2%）28 .（四川）sin750°=.K型题 参考答宗12345678910BADBCDACCA1114

15、1516171825ACDBBBB1 .【答案】B【解析】cos （zr+.r） ="co*.故选B.2 .【答案】A【解析】tan3900=tan30°= .A.33 .【答案】D6.7.8.9.10.11.12.【解析】若cos ( a 与=立, 32【答案】B则 sin (a+ ) =cos| -(a+ ) =cos (a- )=， 故选 D.62632【解析】:a为锐角，且.cok更一 sin% =，则 cos (3n-a)故选B.【答案】C【解析】.c。， (71-0) =-cos=->艮RI cos%- L ,又工亡伊s, /.sin0= Jl-co16

16、=332【答案】【解析】【答案】【解析】【答案】【解析】【答案】【解析】cos =-cos =巫.故选D.4=-cosa=故选A.51兀V 已知 cos a = /. sin(a+ )32已知sina=，那么sin (加一c)13【答案】【解析】【答案】【解析】【答案】=cosa=,故选 C.3=sina=,故选 C.13tan (-675°) =Han6750=-tan (720°-45°) =tan45c=1 .故选 A.cosn a + 2)5一一,a e13)512兀，可得 sina= , costz=；1313tana=-.故选 A.12【解析】V si

17、n(n-a) = - > .sina=- .sin (一2兀rz) ="sin (2n+a) =-sina=，.故答案为：- ''222213 .【答案】-士 5【解析】Vsin( +a) =cosa=- ,(0, ) , /.sin«= f-cos2a =-,则 sin(7r+a) ="sina3 ,25255故答案为：-士.514 .【答案】C【解析】cos (60=-a) =sin90°- <600-a) =sin (30°+<z) =g,故选 C.15 .【答案】D.故【解析】'.5in7l-y

18、l)=-3iM=_L J1.sid* 1.,又3 为锐角 J歹.'.CoKTr <)="C0£T=-CO5 226选D.16.【答案】B【解析cos (2n-a) =cosa=， 32 a£(-,0), /.sina-J-cos2a =-23,则 sin(兀f ) =sina=选B.17.【答案】【解析】7T a + 4cos* -a =siir a + 一4,sin271 ，a + + cos-4；71 a + 4， ncos* a+ -I 4i 94- = >故选B.1 + 3 25918.【答案】【解析】由一知可得，】知2,则原式=二&#

19、163;喀等 =f=2.故选B.cos。- sn】81 - land19.【答案】【解析】原式=一加夕（丁皿（“。）一；-sina （-cosor ）sina(2)原式=cos200ros200+sin (5x360°+66°) -sin (-2x360°+114°)20.21.22.=sin66°-sinl 14°=sin66°-sin (180°-66°)=sin660-sin66°=0.【答案】【解析】sin 25 兀+ cos 626兀/ 25h .+tan 1 1342n.! 471.

20、0 Z7T之 7T二 sin 4兀 + +sin 8兀 + i-tan 6瓦+ 一7T6,.兀.2兀，兀 11,.= sin- + cos-tan- = -l = -l .【答案】【解析】 1) / (a) =cosa： (2) /(0) =¥,(1)/(«) =sin(37t-a)cos(2n-a)sin| -a I ,/、'，'7 I ?) sina cosa (-cosa)-=cosa.cos(兀一 a)sin (一兀一 a)一cosa sina 2) 2) a.LUlL K cos ( +a) =-sina=- > .sina=",2

21、33%是第二象限角, f(a)= cosa = "vl - sina =-【答案】 /(a)=Y0sa： (2)/(a)276【解析】La为第三象限角./(«) =it sin a- cos2 + Jtan(i 2>n-a)tan (-a -兀)sin (-a - n)(-cosa)sincz(-tanof)(-tan a) sin a(2)，一sina=，解得 sina=-> 55.可得 cosa=-71-sin2« 一浮.5:(a) =-cosa= .523.【答案】(1)3： (2) -4.【解析】(1): tan (it-a) =-4ana=-

22、3ttana=3.sin (兀- a)-cos(7r + a)-sin(27r-a) + cos(-a).(Tt )(3nsin I 3 -a | + cos -a j_ sina + cos a + sina + cosa cosa-sina2sina + 2cosc _ 2 tan a + 2cosa-sina 1 - tana8-13一.24.【答案】(1)1： (2) 0.sin2 (a + 7i) - cos (a + ji) - cos (-a - 2jt) sin2a (一cosa) cosaKi : 1 :;:=： Y：-=1 / , 3(兀 ./3 tana- cos a (-sina)tan(a + ju)sin 1 一+ a -sin(-a-2;r)v 7(