微积分在物理学上的应用

1、微 积 分 在 物1引言微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学 包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而 在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为 零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以 得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微 分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想 和方法即

2、是微积分的思想和方法。2微积分的基本概念及微分的物理含义微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续 变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再 将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出 个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直 线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间 dt,而这一时间内的位移为dt, 在每一段时间内速度的变化量非常小， 可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动 近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，

3、无限求和，就可以得出总的位移。在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这 些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体 的物理量和角度去判断他的正确含义。例：如图所示，一通有交流电流i二%sin酌长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈 ABCD试 求线圈中的感应电动势大小。解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为B= R0i在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为d ?m = BdS = Fldx

4、2兀x线圈围成的面上通过的磁通量为?m =防=咪心 2a线圈中的感应电动势为k-阻m dtH0l0l w . bk lna8s t在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有d?m ,但他们的物理含义却 是不一样的，前者的d?m表示微元面dS上的磁通量，是一个微小量，而后者的d?m表示的是 微笑时间内的磁通量变化量，是一个微小变化量。3微元的选取以及微积分解决物理问题时的一般步骤3.1微元的选取在使用微积分去解决物理问题时，微元的选取是非常重要的，有的时候在微元的选择上 并不是仅仅只有一个，因此，选取一个合适的微元对我们解决问题会有很大帮助。我们通常在微元的选取方面有以下几点注意，第

5、一，在我们选取微元时，要保证我们们 所选择的微元能够让我们可以将原本的问题近似处理的比较简单，以使我们能够更加便利且清晰的区解决物理问题；第二，我们要使我们选择的微元尽可能地大，这样在我们去积分时 可以更为方便，如果微分过细，那么我们的过程会更精准，可是相对的，我们在积分时面临 的过程也会更加繁琐，因此我们要处理好微分和积分之间的运算；第三，能用一元微元去解 决问题时尽量使用一元微元，因为重积分使用起来要比一元积分麻烦的很多。选取微元要遵循以下几个原则：1.可加性原则，由于在题目中我们所选取的微元要可以 叠加演算，因此，选取的微元要具备可加性；2.有序性原则，为了保证我们所选取的微元能 够在叠

6、加区域可以不遗漏，不重复的叠加，我们就需要注意按照量的某种序来选取微元；3.平权型原则，叠加演算实际上就是一种复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数”而言， 叠加演算，也就是求定积分是十分复杂的，但如果“权函数”具备了 “平权性”特征(在定 义域内的值处处相等)，原本复杂的题目就会化成简单的形式更有利于我们去解决问题。例：求半径为R的均匀带电半球面在点 O的电场强度，设球面上电荷面密度6>0.解法一：如图，在球面上任取面元dS,将其上的电荷为一点电荷dq,则有 dq= odS= o(Rd8)(Rsin 0)d 小=o2R2 sin 0d 0d 小则该点电荷元在点。产生的场强dE=dq/(

7、4 兀 e oR2)= o-sin 0d 0d(|)/(4 兀 e o)根据对称性，即得出点。场强Eo沿Z轴正方向，大小为E=/ d dEcos 0=*4 £ o)解法二：如图，沿着与Z轴的垂直方向把半球面分割成许多不同半径的带电圆环，任取一圆 环，其上的电荷在点。产生的场强3dE=dqz/4 n & o(z2 + r2)2=(c/2 & o) sin 0cos 0d 0方向沿OZ轴正方向，点。场强E=/ dE= a/(4 eo)由例子可知选取的微元不同，解法也是不同的，代表的物理含义也是不一样的，然而微 元的选取并不影响结果，因此我们要正确理解其含义，才能更好地从物

8、理概念，物理实质上 去把握微积分。3.2微积分解决物理问题时的一般步骤1 .根据题意分析，选取一个具有广泛意义的微元，对微元进行分析，若是题目简单且物 理含义比较明显，且遵从题意，可直接进行积分。2 .若是题目较复杂，根据题意，对于一个暂态过程写出一个平衡等式，然后对两边微分， 在得到一个微元结果后，对这个分式进行积分操作。以上步骤都是在遵从题意的基础下进行，进行微分分析的结果一般是一个微分方程，在 求解时要注意初始条件，在积分时，更要注意取上下限时，要满足边界条件。例：圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r的小孔，试问从盛满水开始打 开小孔直至流完桶中的水，共需多长时间？解：如图

9、建立坐标系，在没有摩擦力的情况下，当桶内水位高度为h-x时，水从小孔中单位时间内流过单位截面积的流量为v=v2g(h - x),其中g为重力加速度设积分变量x,其变化区间为0 , h任取x,x+ Ax 0,h,当桶中液体下降A x时，所需要的时间用dt表示，根据水的流量 体积相等得冗产dx=v兀2dt 所以 dt=R2/ r2v2g(h - x)dx,x 0,h流完一桶水所需的时间t f=dx0 r2V 2g(h-x)R2但因为被积函数是0, h上的无界函数，所以 1 R2 tf = lim / 2 dxu -i- 0 r V 2g(h-x)=W(52由此题可看出，在我们通常使用微积分解决物理

10、问题时，建立坐标系是很好的一个方法， 可以有助于我们更好地去解决问题。4微积分在物理学各领域的应用4.1 微积分在质点力学的应用微积分在力学中的使用是非常普遍的，要用好微积分去解决问题，首先要在思想上认识到物体在运动过程中，反应其运动特征的物理量是随着时间的变化而变化的。运用微积分可 以得出质点的运动方程以及他的运动状态。就比如说当我们对函数中的t进行求一阶导数时,我们就可以得到该函数所表示的质点的加速度函数。而我们可以将微积分在质点运动时的问题可以分成以下几类：1 .在已知道运动方程的前提下求其中的加速度和速度2 .在已知质点的加速度，以及该质点的初始速度的前提下，求该质点的运动方程。例1：

11、 一人站在岸上，用一条绳子拉船使其向岸边靠拢，如图所示，若人以恒定速率V0收纯,求船的速度。解：如图所示，设设船与轮子的距离为25=l2- h2那么船的瞬时速度为v= dydx dvl2-h 2dlddF1,船的瞬时位移为X,由图可知根据题意可知vo=-dldt所以v=-彳熹历在解决此类问题时，我们要善于从几何关系中找到质点的运动方程， 而在一般情况下运 动方程往往是t的隐函数形式。因此，将方程中的t进行一阶及二阶求导，就可以得出瞬时 速度和瞬时加速度随着一些空间变量的变化规律。例2:如图，质量M=2.0kg的木箱，悬挂在一轻弹簧下，弹簧静伸长xo=0.01m, 一质量m=2.0kg 的橡皮泥

12、距箱子底板h=0.30m处自由落下，黏在箱子底部后，同箱子一起向下运动，求箱子 下降的最大距离。解：球落到箱子底部时的速度为丫户v2gh设当橡皮泥与箱子一起运动时的速度为 v,则 mv 0=(M+m)v所以v=Lv0M+m根据动量定理知(Mg+mg-kX dt=d(m+M)v得出(Mg+mg-kx)dx=(M+m)vdv上式积分后得t：+xi(Mg + mg - kx)dx=d(M+ m)vdv化简整理后 2 (M+mi v2+2kx02=-(M+m)gxi+k(x1 + x0)2整理之后得出x=0.03m例3:质量为m的质点在力的作用下做平面曲线运动，其运动方程为?=Acos w ti+Bs

13、int?,式中,A,B,都是正的恒量，则力在ti=0到t2=这段时间内做的功是多少？2 3解：在这段时间内质点动能的增量为 Ek=2 mv22-2mvi21/22、1/2 .2、2 m(Vx2 +vy2 )t2=兀?23 - 2 m(v xi + Vyi )t1=01刑(Ad cos 3 tdt)2,Bd sin 31、2r1 Ad cos «tx 2(dt ) t2 =兀？23-2m(-dt ) +Bdsinwi 2，-dt(-) t1=0=2mcD 2 (A2 - B2)由动能定理知，功 W等于动能增量A Ek,所以W=2mco 2(A2 - B2)4.2微积分在刚体的定轴转动中

14、的应用刚体的定轴转动的一些基本公式：运动方程：E=9 (t)(表示角位置随时间t的变化关系)角速度：号 dt,52 c角加速度：户等=y例1: 一长为l,质量为m的均匀直杆，两端分别固定有质量为 2m和m的小球，杆可绕与杆1垂直的水平光滑固定轴。在直面内转动，轴到杆中心C的距离OC=.开始杆与水平万向成 年角,且处于静止状态，如图所示，求杆释放后，转到竖直位置时的角速度及质心C的速度和加速度。解：应用积分转动定律，当杆转动到如图(1)的位置时卬有M 合=I Bl3l其中 M合=mg4cos 0+ 2mg41 cos 0- mg4cos 03=2 mgl cos 0(1)I为各物体对轴。的转动惯

15、量之和，即1 Ol O3 ol oI=-ml + m(4) + 2m(力)+ m(;)42=3ml结合上述式子一.d« . d 0 d« Ide, 13d3M 合=Ir=Id7 /=焉 £d3= 丁即 /?23mgl cos 8d 8= J0 d(2?3ml2 w2)得到 =2d(1 + sin出)l 3质心速度为vc = 4 =8 vlg?(1 + sin 00)l 9质心加速度为ac =2 4= g(i + sin出)在熟练掌握定理的同时运用微积分来解答此类问题是对我们是十分有帮助的,因此在解题过程中我们要把两者结合好，才更有利于我们解决此类问题。例2:如图所

16、示，一半径为r的空心管放在竖直的平面内，管内有一链条，它的线密度为伊 开始时，链条的两端分别与管口 A和B重合，受到干扰后，链条的一端由管口滑下，求图示 位置链条的速度。解：如图所示(2)所示取管内链条上的一小质元dm=p rd ,机重力对点O力矩为d M 二 ( p rd)gcos 0r则管内部分链条的重力对O力矩为M1 = /dM1 = r- 0K P rd)gcos 加=r2 p 群in 9而管外链条下垂部分重力对O力矩为M2 = ( 0 r )rg= 0则瞬时和力矩为M= M1 + M2 根据角动量定理得到dLM= 一 dt所以 Md0 = Idco对其进行积分，得到即(Mi + M2

17、)d 9= I co dw 川Mi + M2)d 9= /I d 400(r2 p 器in 0 + 82 p gd =6 / (兀 r p2)r d 解得v= 3g ( 62 - 2 cos 00 + 2当我们遇到这样的题目，要善于在题目中间找到等价关系,灵活的运用微积分和定理之问的关系更有利于我们去解决问题。该题利用角动量定理，再对其进行积分,Vo4.3微积分在静电场方面的应用设真空中的电荷为q, P点位于空间一点，？为从q到P点的矢径。!?D F 1 qt?= - = ；- 4 ?q 04 兀 0 r由叠加原理，点电荷系在空间 P点处的电场强度E?= E E?= E ；岂阍？4 冗 or/

18、由定积分的定义，连续带电体在空间 P点处的电场强度以此求出速度P点的电场强度为?= /dE?= /dq尸-倒?4九0P点的电势为设真空中的电荷为q, P点位于空间一点，？为从q到P点的矢径。VP = / 曲dl?=p4 九 nr由叠加原理，点电荷系在空间 P点处的电势1q1Vp = - £ 4 九 o r i由定积分的定义，连续带电体在空间 P点处的电势OOVP = / E?d?p例1:在一半径为R的非导体细圆环上，电荷的线密度 入= 图所示，小为方位角，求环心处的场强和电势。方cos耙式中而为正的常数，如O处产生的场强大小为解：在圆环上取一线元dl ,其上电荷可视为点电荷，在圆心dEo =入dl _ 4兀町R2（后cos小）Rd小4 兀 0 R2_Xo cos （|）d（|）4兀0R其方向如图（3）所示又 d图?= dEx?+ dEy?= dEcos（）+ 兀 P+ dEsin（小+ 兀 j= -dE cos（|）?- dEsin 小？所以 E0 = - /dE cos（）?- /dEsin 小？入0 cos <|）2d（|）历 cos d sin d d 小=-. ?- /41to R44 兀 0R=-捻？圆心。