必修二圆的方程题型归纳非常完美

1、圆的方程题型一：圆的方程典例1、若圆C的方程为X求圆C的标准方程； 若点B也在圆C上，且弦AB长为8,求直线AB的方程; 2x y2 4y 4 0 ,则该圆的圆心坐标为 【详解】圆的方程为X2 2x y2 4y 4 0,化为:(X if (y 2)9.圆的圆心坐标为：(1, 2).故答案为：(1, 2).典例2、求满足下列条件的各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径长为3;圆心为点C 3,4 ,半径长是5 圆心为点C(8, 3),且经过点P(5,1)【详解】(1)设圆的标准方程为(X a)2 (y b)2 r2，因为圆心在原点，即a 0,b0 ,又由半径长为3 ,即r 3，圆的标准方程为X2

2、y29.设圆的标准方程为(X(y b)?/，以为圆心为点C 3,4 ,即a 3,b 4 ,半径长是5 ,即r 5，所以圆的标准方程为(X 3)2 (y 4)2 5. 设圆的标准方程为(X a)2 (y b)2 r2，因为圆心为点C(8, 3),即a 8,b3，又由圆经过点 P(5II),则 r IPCl 7(8 5)2 ( 3 1)2 5所以圆的标准方程为(X 8)2 (y 3)225.典例3、已知圆IC的圆心坐标为C 3,0 ,且该圆经过点 A 0,4(3) 直线I交圆C于M , N两点，若直线 AM , AN的斜率之积为2,求证：直线I过 一个定点，并求出该定点坐标【详解】(1)圆以(3,

3、0)为圆心，|AB| 5为半径，所以圆的标准方程为 X 3 2 y225.(2)k不存在时，直线I的方程为：X 0 ；k存在时，设直线I的方程为：y kx 4，y kx 4联立方程X 32 y225 k724，所以直线I的方程为：7x 24y 96 0，综上所述，直线I的方程为X 0或7x 24y 96 0.(3)设直线 MN : y kx t， M x1,kx1 t ， N X2,kX2 t ，11kt 4 kx2 t 4kAM kANX1X22 k2 2 x2 k t 4 x1 X2联立方程'"2 上 2k21 X2 2kt 6 X t2160X 3 y225所以X1X2

4、2kt 61 k2X1X2t2 161 k2代入得 k2 2 t2 16 kt 4k 2kt 6k20，化简得k 62 ,所以直线I的方程为:X t,所以过定点6, 12 .题型二：直线与圆的位置关系典例1、过原点O作圆y2 6x 8y200的两条切线，设切点分别为 P、Q,则直线PQ的方程是解：圆 X2 y2 6x 8y200可化为(X 3)2 (y 4)25圆心C(3,4),半径为R过原点O作C的切线,切点分别为P， Q，直线PQ可看作已知圆与以OC为直径的圆的交线,2以OC为直径的圆的方程为 Xm y 2 由基本不等式可得 m n 1 mnmn ,即 mn?4mn 4 0 , -25 ,

5、24即X2 y2 3x 4y 0,两式相减得3x 4y 200,即直线PQ的方程为3 4y 200，故答案为：3 4y 200.2 2典例2、已知圆C: x+y - 4x = 0.(1) 直线I的方程为X , 3y 0 ,直线I交圆C于A、B两点，求弦长IABl的值;(2) 从圆C外一点P (4, 4)引圆C的切线，求此切线方程.【详解】(1)化圆C: x2+y2- 4x = 0为：(X - 2) 2+y2= 4,知圆心(2, 0)为半径为2,故圆心到直线的距离d1 , AB 2JR2 d2 23 ;(2)当斜率不存在时，过 P (4 , 4)的直线是X = 4,显然是圆的切线；4 2k3当斜

6、率存在时，设直线方程为y - 4 = k (X - 4).由r= 2 ,解得k .Jk2 12当且仅当m n时，等号成立，；m 0, n 0, m n 0 ,解得m n 2 2屁因此，m n的取值范围是 22 2,.故选：A.【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数的取值范围，解题的关键就是利用基本不等式构造不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题 此时切线方程为3x - 4y+4 = 0.综上所述：切线方程为 X = 4或3x - 4y+4 = 0.典例3、已知m 0, n 0,若直线m 1 X n 1 y 20与圆2 2X y 2x 2y 10相切，则m n的取值范围为()A. 2 2 2,

7、B. 2 2 2,C. 2,2 2. 2D. 0,2 2 22 2【详解】将圆的方程化为标准方程得X 1 y 11,该圆的圆心坐标为 1,1 ,2 2半径为1,由于直线 m 1 X n 1 y 20与圆X 1 y 11相切，Im n则.221 ,化简得m n 1 mn ,寸 m 1 n 1典例4、函数y J1 x2 I与函数y k(x 2)的图象有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是.【详解】由题意可知，函数y V!X2 I的图象是以(0,1)为圆心，半径为r 1的上半(2,0)的直线.如图所示则需直线I夹在半圆的切线1y k(x 2)的图象有两个不同的公共点与过点(1,1)的直线2之间，即

8、k直线2过点(1,1)与点(2,0)21 101又直线1为半圆X2 (y 1)21 (y 1)的切线圆心(0,1)到直线1 :y k (X 2)的距离等于半径r 1| kh (0 2) 1|(kJ2 1,解得k14433 k 1故答案为:4,1典例5、已知直线1 : kx y 0 (k R)与直线 2 : X ky 2k0相交于点A,点B是圆(X 2)2 (y3)22上的动点，贝IJ IABl的最大值为(A- 3；2B- 52D- 3 2 2【详解】由kx y 0x ky 2k 20,消去参数k得(X1)2(y1)2所以A在以C(1,1)为圆心，.2为半径的圆上,又点B是圆(X 2)2 (y

9、3)22上的动点，此圆圆心为D(2,3),半径为.2 ,CD(2)2) (1 3)2 AB 的最大值为ICDl 2 25 /2 - 故选：C.题型三：圆与圆的位置关系典例1、已知圆CI : X2 y2 2x 4y 1 0 ,圆C?: (X 3)2 (y 1)2 1 ,则这两个圆的公切线条数为()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【详解】根据题意，圆 G：x2 y2 2x 4y 1 0,即(x+1)2+(y 2)2 4 其圆心为(1,2),半径r1 2 ,圆 C2： (X 3)2 (y 1)2 1 ,其圆心为(3, 1),半径 D 1 ,则有C1C2丿42 32 5 r1 r2 ,两圆外离

10、，有4条公切线；故选：D.典例2、已知圆(Xa)2(ya)28(a0)与圆2y22有公共点，则a的取值范围是.【详解】因为圆(Xa)2(ya)28(a0)与圆2y22有公共点，所以两圆位置关系为外切、相交、内切，所以得到 22 2 Ja2 a2222，因为a 0 ,故解得1 a 3 ,即a的取值范围为1,3 .故答案为：1,3 .典例3、点A、B分别为圆 M X2+ (y 3) 2= 1与圆N: (X 3)2+ (y 8)2 = 4上的动点，点C在直线x+ y = 0上运动，则IACl + IBCl的最小值为()A. 7B. 8C. 9D. 10【详解】解：设M(0, 3)关于直线!.

11、7;.-Q的对称点为P( 3, 0),且N(3, 8) 5： m :盯縄 ？ 肿.×:故选A.题型四：轨迹问题典例1、设P 1,0是圆0： X2 y2 4内一定点，过P作两条互相垂直的直线分别交 圆O于A、B两点，则弦AB中点的轨迹方程是 .【详解】设 AB 的中点为 M (x, y),设 A(XI, y1), B(x2, y2).则 2x x1 x2, 2y y1 y2. (1)由题意A, B均在圆O上则有：X12 y12 4,X22 y22 4.又由条件有BP AP ,即即 BP AP0.=(1X1, yJ (1X2,y2)=1X1X2(X1X2)y20(3)将(1)代入(3)中

12、有：x1X2 y1y2 x1 X2 1 2x 1(4)2 2 2 2将(1)中两式平方相加得：4x 4y (XI X2)(y1 y2).2,22C22C2(5)即 4x 4y X1 2x1X2 X2y1 2y1 y2 y22 20.故答案为：2x 2y 2x 30将(2), (4)代入(5)得：4x2 4y2 8 2(2x 1).即弦AB中点的轨迹方程是 2x2 2y2 2x 3典例2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点,已知 A 3,0 , B 0,3 ,动点M满足MB2 MA， 则OM斜率k的取值范围是A.B.C.3 丄 2_2432 24D.2 上 3 34解析：设点 M(x,y), VI

13、MB 2MAlX2 (y 3)24(x 3)2 y2整理得：（X 4）2 （y 1）28 ,则点M是以（4,1）为圆心,2_2为半径的圆,2则 k kx y 0,X当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径,所以2 2F 1!,解得:1 k22 32 k4所以3 2 2 3、2_24.故选：A跟踪训练1、圆心为A 2,半径等于5的圆的方程是（A.(X2)2(y3)2B. (X2)2 (y3)25C.(X2)2(y3)225D. (X2)2 (y23)25解析:因为圆心a,b即为2, 3 ,半径r =5,所以圆的标准方程为:25 ,故选：C.【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较

14、易2、已知圆C的圆心在直线X y 0上，过点(2,2)且与直线X y 0相切，则圆C的 方程是.【详解】根据题意，圆C的圆心在直线X y 0上，设圆C的圆心为(a,a),半径为r.又由圆C过点(2,2)且与直线X y 0相切,2则有r2 (a 2)2 (a 2)2 启解得a 1 ,故圆心的坐标为(1,1),则r2 (a 2)2 (a 2)22，则圆C的方程为(X 1)2 (y 1)2 2.故答案为：(X 1)2 (y 1)2 2 .3、 方程X2 y2 ax 2y 2 0表示圆，则实数a的取值范围是 .解：，,方程 X2 y2 ax 2y 2 0表示圆，a2 22 4 2 0a2 4 a2或a

15、 2 ,即 a ,2,故答案为：，2 口 2，4、 过点P( 3, 1)的直线I与圆X2 y2 1有公共点，则直线I的倾斜角的取值范围是( )(0,B. (0,C.0,D.0,6363【详解】由题意得直线I斜率存在，设为k ,则直线I :y 1 k(X 3) kX y :3k 10,由直线I与圆X2 y2 1有公共点得"'1 2k? 2-3k 0 0 k . 3 , k2 1从而倾斜角取值范围是0,选D.35、已知圆的方程为X2 y2 2x 8y 8 0 ,过点P(1,0)作该圆的一条切线，切点为A ,那么线段PA的长度为【详解】圆 X2 y2 2x 8y 8 0 ,即(X

16、1)2 (y 4)2 9 , 故C( 1,4)为圆心、半径R 3 ,由切线长定理可得切线长IPAl JlPCFR220 9 Jii ,故答案为：11 6、已知圆IC的方程为X2 y2 2x 2y 1 O ,当圆心C到直线kx y 4 0的距离 最大时，k的值为()A1IfLA-B. -5C. 一D. 555解：因为圆IC的方程为X2 y2 2x 2y 1 O ,配方可得(X 1)2 (y 1)2 1 ,所以圆的圆心为C( 1,1)半径r 1，直线kx y 4 O可化为y kx 4 ,恒过定点B(0, 4)，当直线与BC垂直时，圆心C到直线kx y 40的距离最大，41由斜率公式可得BC的斜率为

17、 厂両 5，1由垂直关系可得：k ( 5) 1 ,解得k -,故选：A .57、知点P x,y在圆C : X 1 2 y 1 21上,则-2的最小值是【详解】 匚2表示圆上的点和点 0, 2连线的斜率，X设直线y 2 kx ,即kx y 20,如图，当直线与圆相切时，此时直线的斜率最小,4故答案为:3&若关于X的方程x2 2x kx 2有且只有一个实数解，则实数k的取值范围是解析：可设y1' X2 2x,y2 kx 2 ,其中力；x2 2x可转化为x 1? y2 1 ,X 0,2 ,可转化成直线与圆的位置关系问题，画出图形，再进行求解。【详解】设 y1 J 2 , y2 kx

18、2, y12x 可转化为 X 1 y2 1 , X 0,2 ,画出图形，如图所示：关于X的方程J x2 2x kx 2有且只有一个实数解等价于两函数图像只有一个交点直线恒过0,2点，圆心坐标为1,0 ,半径为1，当直线与圆刚好相切时,k 21 k21 ,解得k当直线与圆相交于2,0时,k21 ,故直线的斜率取值范围为圆.函数y k(x 2)的图象是恒过点y k(x 2)的图象有两个不同的公共点,故答案为:9、函数y J1 x2 I与函数y k(x 2)的图象有两个不同的公共点，则实数k的取 值范围是.【详解】由题意可知，函数y J1 x2 I的图象是以(0,1)为圆心，半径为r 1的上半(2,

19、0)的直线I.如图所示则需直线I夹在半圆的切线1与过点(1,1)的直线2之间即 k1kk2T直线2过点(1,1)与点(2,0) kl2 語 1 又直线I1为半圆2 (y 1)21 (y 1)的切线圆心(0,1)到直线I1 : yk1(x 2)的距离等于半径r 1k1(0 2) 1| I.'(k1)2 1,解得k1故答案为:(4，1时,10、设集合 M X) y Iy X b , NX) y y 3 J4X U ,当 Mn实数b的取值范围是【详解】因为集合 M X, y y X b , N x, y y 3 4XX2 ， M PI因此直线y X b与曲线y 3 J4 X2有交点;又y 3

20、 4x X2可化为(X 2)2 (y 3)24 1 y 3表示以(2,3)为圆心，2为半径的半圆，作出图像如下：当y X b与圆(X 2)2 (y 3)24相切时，圆心到直线的距离等于半径;所以有2 3 b1 12 ,解得:b 12 2或b 12 2 (由图像可舍去该值)又b为直线y X b在y轴截距，为使直线与半圆有交点，则有b3 ； 因此实数b的取值范围是1 2、. 2,3 .故答案为：1 22,311、若圆X2 y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同的点到直线 l : ax by 0的距离为2 2 ,则直线l的倾斜角的取值范围是（A.J 12 4B.0, 512 12C.D.512,

21、 12【详解】由圆X2 y24x 4y 100的标准方程(X - 2) 2+ ( y- 2) 2= 18,则圆心为(2, 2),半径为3J2 ,设直线l : ax by 0为y = kx圆上至少有三个不同的点到直线l : ax by 0的距离为2 2,则圆心到直线的距离应不大于等于r- 2 2 = 2 ,二12 2丨.22整理得：k2- 4k+1 0,解得:1 k2k2 、3 ,由 tan15 ° = tan (45°- 30°)tan45 tan301 tan 45 tan30k = tan ,则直线l的倾斜角的取值范围12512，故选:D.12、已知直线 :2

22、k 1 X k 1 yR与圆2、十225交于A ,B两点，则弦长AB的取值范围是（A.4,10B.3,5C.8,10D.6,10【详解】由直线l : 2kR ,可得k 2x y又由2x yX y 1,解得,即直线恒过定点P 1, 2，圆心C 1,2，2IABCP当CP l时弦长最短，此时,解得ABmin622 rtan30tan75 ° = tan (45° +30。)喻45 伽3°1 tan 45再由I经过圆心时弦长最长为直径 2r 10 ,所以弦长AB的取值范围是6,10 .故选：D.2 2 2 213、已知圆 C1: X 1 y 1 1 ,圆 C2 : X

23、2 y 1 4, A, B分别是 圆C1 ,C?上的动员若动点M在直线h: X y 10上，动点N在直线2: X y 10上，记线段IMN的中点为P ,则IPA IPBl的最小值为（）A. 3B.竽C 皿 3D.丽 3【详解】由题意，点动点M在直线1: X y 10上，动点N在直线2: X y 10上，线段MN的中点为P ,可得点P在直线X y 0上，又由 IPAl IPBl IPGl r1 IPCJ r2 IPCIllPC2|3,点G 1,1关于直线X y 0对称的点C 1, 1 ,则 IPCIllPC21 IPCllPC2 cc2 13 ,所以 IPA IPBl 的最小值为 Ji3 3故选

24、：D一 2 214、已知圆C : X 1 y 22和点,0 ,若圆C上存在两点 A B使得APB 一，则实数Xq的取值范围是（）3A. 3,1B. 1,3C. 2 ,3D. 2 ,4【详解】当PA和PB与圆C相切时， APB最大，要使圆C上存在两点A, B使得 APB ,36PCL2 2Sin6,即22 ,解得1 X。3 ,故选B.15、已知A( 1,0) , B(1,0) , C为平面内的一动点，且满足轨迹方程为()IAq 2bc ,则点IC 的A.C.6x1=0B.2 X2y6x1 = 01010D.22101XXyX33,由两点间距离公式可得02 2X y2 2X y【详解】由题，设C为

25、x,y ,T IAq 2BCX2 y2 6x 1= 0 故选：B的最小值为,若ABC的面积为<3,贝U m的值为【详解】直线mx y 2 0(m R)恒过圆C : 2 L I 22 (y 1)2 2内的定点M (0,2),2 ,圆心C到直线的-距离d ICM1,所以 AB 2>lr2 d2即弦长AB的最小值为2；由ABCIr2 sin ACB2X 1 y 0、2 I X 1 y 0即 x2 2x 1 y22 x2 2x 1 y2 ,16、直线mx y 20(m R)与圆C :x2 y2 2y 10相交于A,B两点，弦长| AB |即 ACB 一或。若 ACB 一，则圆心到弦AB的距

26、离-31 CM,故不符合题意；当2ACB 3时，圆心到直线的距离为1 CM,设弦AB的中点为N,又CM1,故 NCM 4.故答案为2,即直线的倾斜角为，则 m的值为17、若C为半圆直径AB延长线上的一点，且 AB BC 2 ,过动点P作半圆的切线,切点为Q ,若PC 3PQ,则PAC面积的最大值为【详解】由题意，以 AB所在的直线为X轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，因为 AB BC 2 ,所以C(3,0),设P(,y),因为过点P作半圆的切线PQ ,因为 PC3PQ ,所以J(X3)2yJJJx2y21 ,整理得2y23x 60以点P的轨迹方程是以3(严为圆心以r 124 V

27、p为半径的圆,3所以当点P在直线X 三上时， PAC的面积最大，2最大值为SPAC 1 4f33 .故答案为：33 .J/K .18、已知A, B为圆C:(X 1)2(y 1)25上两个动点且 AB=2,直线 l : y k(X 5)，若线段AB的中点D关于原点的对称点为 D ,若直线I上任一点P,都有PD 1 ,则实数k的取值范围是.【详解】设圆C关于原点对称的圆为圆 C : (X 1)2 (y 1)25，则A，B关于原点对称的点 AIB在圆C上,AB的中点为AB的中点D关于原点的对称点为 D'，AB AB 2 5 CD2 C D 2，设C到直线I的距离为d.则d 2 1 d 3，3

28、,7k28k 8 0，解得k 4 62或k 4 6 277k的取值范围是(4 6、21,74 6 27【点睛】本题考查图形的对称关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题19、已知两个定点A(0,4) , B(0,1),动点P满足IPAl 2PB ,设动点P的轨迹为曲 线 E ,直线 I： y kx 4.(1) 求曲线E的轨迹方程；(2) 若I与曲线E交于不同的C、D两点，且 CoD 120 ( O为坐标原点)，求直线 I的斜率；(3) 若k 1，Q是直线I上的动点，过Q作曲线E的两条切线OM、ON ,切点为M、N ,探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.【详解】(1)由题，设点P的坐标为(X,y)，因为 | PAI 2| PBI ,即 X2 (y 4)2 2