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文档简介

1、样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。1. 三次样条曲线原理假设有以下节点1.1 定义样条曲线 是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：a. 在每个分段区间 （i = 0, 1, , n-1，x递增），  都是一个三次多项式。b. 满足 （i = 0, 1, , n ）c.  ，导数 ，二阶导数 在a, b区间都是连续的，即曲线是光滑的。所以n个三次多项式分段可以写作： ，i = 0, 1, ,

2、n-1其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。1.2 求解已知:a. n+1个数据点xi, yi, i = 0, 1, , nb. 每一分段都是三次多项式函数曲线c. 节点达到二阶连续d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。 插值和连续性：, 其中 i = 0, 1, , n-1微分连续性： , 其中 i = 0, 1, , n-2样条曲线的微分式： 将步长 带入样条曲线的条件：a. 由 (i = 0, 1, , n-1)推出 

3、b. 由 (i = 0, 1, , n-1)推出c. 由  (i = 0, 1, , n-2)推出由此可得：d. 由  (i = 0, 1, , n-2)推出 设 ，则a.  可写为： ，推出b. 将ci, di带入  可得： c. 将bi, ci, di带入 (i = 0, 1, , n-2)可得： 端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式， 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些

4、限制。 选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。a. 自由边界(Natural)首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即 。具体表示为 和 则要求解的方程组可写为：  b. 固定边界(Clamped)首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为c. 非节点边界(Not-A-Knot)指定样条曲线的三次微分匹配，即根据 和 ，则上述条件变为新的方程组系数矩阵可写为：  右下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响： 1.3 算法总结假定有n+1个数据节点a. 计算步长 (i = 0, 1, , n-1)b. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程c. 解矩阵方程，求得二次微分值。该矩阵为三对角矩阵，具体求法参见我的上篇文章：三对角矩阵的求解。d. 计算样条曲线的系数：其中i = 0, 1, , n-1e. 在每个子区间 中，创建方程 &

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